Шредингер тедеуін шешу мысалдары

11.3.1 Бірлшемді шексіз тере потенциалды шырдаы микроблшекті кйі.

Массасы m блшек Ох осі бойымен ана озалсын. Блшекті озалысы шырды абыраларымен шектеулі, абыраларды координаталары x=0 жне x=L. Мндай рістегі блшекті потенциалды энергиясы 11.1 - суретте крсетілген. Блшекті функциясы х координатасына ана туелді боландытан, Шредингерді (11.4) стационарлы тедеуі мына трде жазылады

(11.5)

Блшек шырдан шыа алмайды, сондытан жне айматарда . Пси-функцияны здіксіздік шартынан шыатыны, шырды шекараларында ол нлге те болуы ажет

11.1 сурет

. (11.6)

Шекаралы шарт - (11.6) тедеуі (11.5) тедеуіне осымша. Шырды шектерінде (бл аймата ) (11.5) рнегі мына трде жазылады

. (11.7)

Бл тедуді шешімін табу дегеніміз, блшекті (знергетикалы спектр) толы энергиясыны ммкін мндерін жне осы мндерге сйкес келетін толынды функциясын табу.

Жоарыдаы (11.7) тедеуі – тербелістер теориясындаы белгілі тедеу. Ол (11.6) шартты энергияны мына мндерінде анааттандырады

, (11.8)

мндаы - бтін сандар.

Бл нтиже микроблшекті потенциалды шырдаы энергетикалы спектрі дискретті жне блшек энергиясы квантталатынын крсетеді. Ал энергияны квантты мндері - энергия дегейлері, n-бас квантты сан деп аталады.

Блшекті меншікті функциясы (11.8) рнегіне сйкес,

, . (11.9)

Нормалау (11.2) шартынан коэффициенті табылады,

11.2 сурет

жне (11.9) рнегі мына трде жазылады

. (11.10)

Блшекті потенциалды шырдаы энергетикалы дегейлері 11.2 –суретте (а), сонымен атар функциясыны сызбасы (б) жне координатасы х нкте айналасында блшекті болуыны (в)- ытималды тыыздыыны сызбалары келтірілген.

Квантты жне классикалы блшектерді айырмашылытары 11,2- суретте сипатталан. Классикалы блшек шырда кез-келген энергияа ие бола алады жне шыр тбіндегі тыныштытаы блшек шін . Ал квантты блшек спектрі дискретті, оны е аз энергиясы n=1 мніне сйкес келеді жне ол нлге те болмайды. Квантты блшек тыныштыта боуы ммкін емес. Классикалы блшек шырды кез келген нктесінде болу ытималдыы бірдей. Квантты блшекті, мысалы е тменгі n=1 энергетикалы дегейде шырды ортаы блігінде болу ытималдыы е жоары болады, ал шырды шет жаында кез-келген дегейде блшекті табылу ытималдыыны тыыздыы нлге те.

11.3.2 Туннельдік эффект.

Туннельдік эффект – классикалы физиканы задарына айшы келетін, кеістікті айматарынан микроблшектерді тіп кетуі. Блшекті (бірлшемді) х осі бойымен тікбрышты арапайым потенциалды тосауылдан туін арастырамыз (11.3 суретті ара). Егер блшектерді толы энергиясы потенциалды тосауылды биіктігінен аз болса, онда нктесінде ол шаылады. Шредингер тедеуінен шыатыны аймата блшекті бгеттен ту ытималдыы нлден згеше. Бгетті сол жаында тскен жне шаылан толын, ал о жаында тек ткен толын болады. Бгет ішінде -функциясы толынды сипатта болмайды, ытималдылы экпоненциалды кемиді.

Сурет

Туннельдік эффект арылы металдардаы электрондарды суы эмиссиясын, альфа ыдырауын, ядроларды спонтанды блінуін жне т.б. тсіндіруге болады.

11.3.3 Гармоникалы осциллятор.

Сызыты гармоникалы осцилятор - квазисерпімді кшті серінен бір лшемді озалыс жасайтын жйе. Ол классикалы жне квантты теория есептерінде олданылады. Квантты гармоникалы осциляторды потенциалды энергиясы

. (11.11)

Мндаы - блшек массасы;

- тербеліс жиілігі жне озалыс х осі бойымен болады.

Квантты осциллятор шін Шредингер тедеуін шешу крделі математикалы есеп.

Квантты гармоникалы осциляторды тек энергетикалы спектрін ана арастырамыз

(11.12)

мндаы – кез келген теріс емес бтін

11.4 сурет сан.

Осциляторды энергетикалы спектрі (11.12) рнегінен дискретті екені шыады жне энергияны е тменгі мні . Бл квантты осцилляторды негізгі дегейі. Кршілес екі дегейлер аралыы -квантты сана туелсіз, яни бірдей ( 11.4 суретке араыз ).

Сонымен негізгі дегей болса, онда квантты осцилляторды тотату ммкін емес. Мысалы абсалютті нл температурада да кристалл тордаы атомдарды тербелісі тотамайды. Квантты тербелісті е аз энергиясы нлдік энергия деп аталады