Есепті ойылымы жне негізгі ымдар.

V-блім. Санды интегралдау

Арапайым квадратурлы формулалар

Есепті ойылымы жне негізгі ымдар.

Бл блімде аныталан интегралды жуытап есептеу дістері арастырылады, мндаы - берілген интеграл астындаы функция, жне - интегралды тменгі жне жоары шектері.

Санды интегралдау деп интеграл астындаы функцияны жуытаушы функциямен алмастыру арылы аныталан интегралды есептеу процесін айтады.

Интегралды жуытап есептеу формулаларын квадратурлы формулалар деп атайды.

Алдымен математикалы анализ курсынан белгілі аныталан интеграл ымын енгізейік. кесіндіде зіліссіз функциясы берілсін. нктелер арылы кесіндісін n арапайым кесінділерге блеміз, мндаы . арылы р арапайым кесіндіні зындытарын белгілейміз. р арапайым кесіндіден кез-келген нктесін тадап алып, осы нктедегі функцияны мні мен кесінді зындыыны кбейтіндісін анытайы, яни :

(5.1.1)

Барлы арапайым кесінділер шін алынан шамаларды осындысын райы:

. (5.1.2)

осындысын интегралды осынды деп атайды. арылы кесінділерді зындыыны е лкенін белгілейік.

нлге мтылан кезде (5.1.2) интегралды осындыны аырлы шегі бар жне нктелерді нктелерді тадау тсіліне туелсіз болсын. Онда осы шекті функциясны кесіндідегі аныталан интегралы деп атайды жне деп белгілейді, яни

(5.1.3)

Теорема (Аныталан интегралды бар болу туралы). Егер функциясы кесіндіде зіліссіз болса, онда интегралды осындыны шегі бар жне ол кесіндісін арапайым кесінділерге блуіне, нктесін тадау тсіліндеріне туелсіз.

5 сурет

жадайы шін енгізілген ымдарды геометриялы маынасы 5-суретінде крсетілген. нктелерді абциссалары ретінде - , ординаталары ретінде - мндері болып табылады. (5.1.1) рнегі арапайым тіктртбрыштарды (суретте штрих сызытармен белгіленген) ауданын сипаттайды, ал (5.1.2) интегралды осынды осы тіктртбрыштар арылы рылан фигураны ауданын береді. кесіндісін арапайым кесінділерге бліктейтін нктелер санын кбейткен сайын жне кезде, фигураны жоары шекарасы (сыны) исыымен беттеседі.

Жоарыдан исыымен, тменнен х осімен жне тзулермен шенелген фигураны исысызыты трапеция деп атайды. Осыдан аныталан интегралды геометриялы маынасы: ол жоарыда сипатталан исысызыты трапецияны ауданы болып табылады.

Интеграл астындаы функция аналитикалы трде берілген кезде, кп жадайда оны Ньютон-Лейбниц формуласымен есептеуге болады:

мнда – функцияны алашы функциясы. Біра екі негізгі жадайларда бл формуланы олдануа келмейді: 1) интеграл астындаы функция крделі трде беріліп, оны алашы функциясын белгілі дістермен, формулалармен есептеуге келмесе; 2) интеграл астындаы функция кесте трінде берілсе. Бл жадайларда санды интегралдау дістері олданылады. Олар интеграл астындаы функцияны арапайым рнектермен, мысалы кпмшелікпен, жуытауа негізделген.

Санды интегралдауды арапайым дістерін арастырайы: