Раздел 4. Практическое использование методов

Математической экономики

1. Технология экономико-математического моделирования.

2. Декомпозиция и сокращение размерности больших моделей.

3. Экономико-математический анализ оптимальных решений.

4. Имитационное моделирование на ЭВМ.

5. Проблемы внедрения математического моделирования.

в практическую деятельность менеджера.

6. Применение экономико-математических методов в процедурах

финансового оздоровления несостоятельных предприятий.

Задания к контрольной работе

Задача к разделу 1

Вариант 1

Известна матрица прямых затрат по промышленности, сельскому хозяйству и прочим отраслям материального производства

Задан также вектор конечного продукта

Определите вектор валовой продукции.

Вариант 2

Фирма работает в трех отраслях и выпускает три вида продукции, что и определяет структурную матрицу прямых затрат:

Доли продукции каждой из отраслей, не поступающие в сферу производственного потребления, а поставляемые на рынок, заданы:

Определите вектор условно-чистой продукции.

Вариант 3

Предприятие состоит из трех цехов, выпускающих три вида продукции. Маркетинговые исследования позволили определить объемы продукции, которые могут быть реализованы на рынке. Следовательно, матрица прямых затрат и вектор конечной продукции известны:

Определите значения межотраслевых потоков.

Вариант 4

Пусть матрица прямых затрат по промышленности, сельскому хозяйству и строительству, а также вектор валовой продукции заданы:

Определите вектор конечной продукции и матрицу полных затрат.

Вариант 5

Фирма работает в трех отраслях. Данные о прямых затратах известны и представлены структурной матрицей:

Определите изменение цен при увеличении условно-чистого дохода до следующих объемов:

Вариант 6

Предприятие состоит из трех цехов, каждый из которых выпускает один вид продукции, то есть матрица прямых затрат известна:

Валовый выпуск продукции составляет соответственно:

Определите:

1) ассортиментный вектор Y;

2) как изменится валовая продукция, если конечная продукция увеличится на

Вариант 7

Предприятие выпускает продукцию трех видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй продукцию второго вида, третий продукцию третьего вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат и объемов конечной продукции:

Рассчитайте возможное увеличение цен, если планируется увеличить условно-чистый доход до следующих объемов:

Вариант 8

Постройте сводный баланс производства и распределения.

Вариант 9

Фирма работает в трех отраслях. Данные о прямых затратах известны и представлены структурной матрицей:

Определите производственную программу в отраслях и коэффициенты косвенных затрат.

Вариант 10

Предприятие состоит из трех цехов, выпускающих три вида продукции. Исследования рынка позволили установить объемы конечной продукции. Следовательно, матрица прямых затрат и вектор конечной продукции известны:

Определите вектор индексов динамики цен при необходимости увеличения условно-чистой продукции до следующих значений:

Задача к разделу 2

Вариант 1

Расчетный узел в банке имеет два кассира. Клиент, пришедший в момент занятости кассиров, становится в очередь. Число мест в очереди не ограничено.

Интенсивность потока клиентов = 0,3 в час. Интенсивность обслуживания = 0,57 в час. Все потоки событий простейшие.

Определите:

1) среднее число заявок в очереди;

2) среднее время ожидания;

3) среднее число занятых каналов.

Вариант 2

В цехе колбасного завода установлено три шприца для шприцовки фарша в колбасную оболочку, которые обслуживает один мастер. Каждый шприц останавливается в среднем 2 раза в час. На устранение неполадок мастер затрачивает в среднем 20 минут.

Определите:

1) вероятность того, что мастер свободен;

2) среднее число неисправных шприцов.

Вариант 3

В бригаде из двух наладчиков каждый рабочий работает сам за себя. Они обслуживают 6 швейных машин, установленных на участке детской одежды швейной фабрики. Остановка швейной машины случается 2 раза в час, неисправность швейной машины мастер устраняет в среднем за 20 минут. Машина, остановившаяся в момент, когда мастера заняты, становится в очередь.

Определите:

1) вероятность того, что мастер свободен;

2) среднее число занятых рабочих;

3) среднее число неисправных машин.

Вариант 4

Поток клиентов, прибывающих в банк, имеет интенсивность 9 клиентов в час. Обслуживание одного клиента в среднем длится 8 минут. Сколько операционистов должно обслуживать клиентуру, чтобы среднее число клиентов, ожидающих обслуживание, не превышало трех?

Найдите в этом случае среднее время ожидания клиентом начала

обслуживания.

Вариант 5

Автомобили поступают на моечную станцию в соответствии с пуассоновским распределением с интенсивностью 5 автомобилей в час. Продолжительности выполнения работ, связанных с мытьем и чисткой автомобиля, подчиняются экспоненциальному закону со средним значением, равным 10 мин на один автомобиль. Моечная станция может одновременно обслуживать только один автомобиль.

Определите:

1) среднее число автомобилей в очереди на обслуживание;

2) вероятность того, что прибывший на моечную станцию автомобиль будет вынужден ждать, пока его начнут обслуживать;

3) среднюю продолжительность пребывания автомобиля на станции.

Вариант 6

Закусочная, расположенная у автомагистрали, имеет прилавок, возле которого может остановиться один автомобиль. По статистическим оценкам автомобили подъезжают к закусочной в соответствии с пуассоновским распределением вероятностей со средней частотой 2 автомобиля за 5 минут. Для выполнения заказов клиентов в среднем требуется 1,5 минуты.

Определите:

1) вероятность того, что у закусочной не окажется ни одного автомобиля;

2) среднее время ожидания от момента прибытия клиента до начала его обслуживания;

3) среднее число ожидающих обслуживания (но еще не обслуживаемых) клиентов.

Вариант 7

На стоянке автомобилей имеется всего 10 мест, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку в соответствии с пуассоновским распределением вероятностей при =10 автомобилей в час. Продолжительности пребывания автомобилей на стоянке распределены экспоненциально со средним значением, равным 10 мин.

Определите:

1) вероятность того, что автомобиль не найдет на стоянке свободного места;

2) абсолютную пропускную способность стоянки;

3) среднее число мест, не занятых автомобилями.

Вариант 8

Автоматическая телефонная станция имеет пять линий связи. Предположим, что поток требований пуассоновский с интенсивностью два вызова в минуту и время каждого разговора имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием, равным 1,5 мин. Требование получает отказ, если в момент его поступления на АТС все пять линий связи заняты.

Определите:

1) вероятность отказа;

2) абсолютную пропускную способность АТС;

3) среднее число занятых линий.

Вариант 9

Рабочий производит наладку нового оборудования. Заявка, пришедшая от бригадира в момент, когда рабочий занят, систему не покидает, а становится в очередь, так как на предприятии больше нет рабочих, способных выполнять наладку оборудования.

Интенсивность потока заявок на наладку = 0,35 в час. Средняя продолжительность наладки оборудования у рабочего составляет часа. В очереди может находиться не более трех заявок (m = 3).

Определите:

1) вероятность того, что рабочий не занят наладкой оборудования;

2) вероятность отказа заявки в обслуживании;

3) коэффициент использования канала.

Вариант 10

В механическом цехе три рабочих-станочника выполняют работу по обработке деталей. Интенсивность потока деталей = 0,4 в час. Средняя продолжительность обработки детали часа. Все потоки событий простейшие. Деталь, пришедшая на обработку в момент занятости рабочих, становится в очередь. В очереди может находиться одновременно 4 детали (m = 4).

Определите:

1) вероятность того, что в системе нет ни одной заявки;

2) вероятность отказа заявки в обслуживании;

3) среднее число занятых рабочих.

Задача к разделу 3

Вариант 1

Компания, производящая стиральный порошок, работает в условиях свободной конкуренции. Порошок выпускается блоками, причем цена одного блока в будущем месяце является неопределенной: 10 ден. ед. с вероятностью 0,3; 15 ден. ед. с вероятностью 0,5; 20 ден.ед. с вероятностью 0,2. Полные затраты f на производство q блоков стирального порошка определяются зависимостью f=1000+5q+0,0025q².

Постройте таблицу решений и определите суточный выпуск продукции компании (в блоках), при котором среднесуточная прибыль будет максимальной.

Вариант 2

Бизнесмен предполагает построить ночную дискотеку неподалеку от университета. По одному из допустимых проектов бизнесмен может в дневное время открыть в здании дискотеки столовую для студентов и преподавателей. Другой вариант не связан с дневным обслуживанием клиентов. Представленные бизнес-планы показывают, что план, связанный со столовой, может принести доход в 250000 ден. ед. Без открытия столовой бизнесмен может заработать 175000 ден. ед. Потери в случае открытия дискотеки со столовой составят 55000 ден. ед., а без столовой – 20000 ден. ед.

Определите наиболее эффективную альтернативу на основе средней стоимостной ценности в качестве критерия.

Вариант 3

Фирма производит косметику для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 ден. ед. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 ден. ед., потери фирмы составляют 115 ден. ед., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35.

Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?

Вариант 4

Магазин «Молоко» продает в розницу молочные продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов сметаны следует закупить у производителя для торговли в течение недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение недели будет 7, 8, 9 или 10 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1. Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 70 ден. ед., а продается сметана по 110 ден. ед. за бидон. Если сметана не продается в течение недели, она портится, и магазин несет убытки.

Сколько бидонов сметаны желательно приобретать для продажи? Какая ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

Вариант 5

Директор лицея, обучение в котором ведется на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250 мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если население города, в котором организован платный лицей, будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль 250000 ден. ед. в год, незначительное расширение учебных помещений могло приносить 90000 ден. ед. прибыли. Если население города увеличиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в 120000 ден. ед. убытка, а малое – 45000 ден. ед. Однако информация о том, как будет изменяться население города, отсутствует.

Постройте дерево решений и определите лучшую альтернативу, используя критерий Вальда. Чему равно значение ожидаемой денежной оценки для наилучшей альтернативы в отсутствие необходимой информации?

Вариант 6

Дополним исходные данные варианта 5, предположив, что государственная статистическая служба предоставила информацию об изменении численности населения: вероятность роста численности населения составляет 0,7; вероятность того, что численность населения останется неизменной или будет уменьшаться, равна 0,3.

Определите наилучшее решение, используя критерий максимизации ожидаемой денежной оценки. Чему равно значение ожидаемой денежной оценки для наилучшей альтернативы при получении дополнительной информации? Какова ожидаемая ценность информации?

Вариант 7

Компания «Чиз» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов – сырная паста. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Затраты на производство одного ящика равны 45 ден. ед. Компания продает каждый ящик по цене 95 ден. ед. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

Вариант 8

Автозавод получает реле поворота от двух поставщиков: А и Б. Качество этих изделий характеризуется данными в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Процент брака	Вероятность для поставщика
А	Б
	0,7	0,4
	0,1	0,3
	0,09	0,15
	0,07	0,1
	0,04	0,05

Полные затраты, связанные с ремонтом одного бракованного реле, составляют 5 ден. ед. Реле поступают партиями по 20000 шт. Поскольку качество изделий у поставщика Б хуже, он уступает всю партию на 500 ден. ед. дешевле. Постройте дерево решений. Какого поставщика следует выбрать?

Вариант 9

Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка новой модели персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250000 ден. ед., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185000 ден. ед. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50000 ден. ед. прибыли и 10000 ден. ед. убытков – при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и не благоприятного исходов фирма оценивает одинаково.

Постройте дерево решений. Какую технико-экономическую стратегию следует выбрать фирме?

Вариант 10

При крупном автосалоне планируется открыть мастерскую по предпродажному обслуживанию и гарантийному ремонту автомобилей. Если рынок будет благоприятным, то большая мастерская принесет прибыль в 60000 ден. ед., а маленькая – 30000 ден. ед. При неблагоприятном рынке салон потеряет 65000 ден. ед., если будет открыта большая мастерская, и 30000 ден. ед. – если откроется маленькая. Не имея дополнительной информации, директор автосалона оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,6.

Постройте дерево решений. Какую мастерскую следует открыть при магазине: большую или маленькую?

Задача к разделу 4

Вариант 1

Для изготовления трех видов продукции используют два типа сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 60, х₂ = 0, х₃ = 10.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевое значение х₂;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 12 единиц и уменьшении на 8 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 3 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого типа сырья.

Вариант 2

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 0, х₂ = 100, х₃ = 0.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения х₁, х₃;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 10 единиц и уменьшении на 15 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 3 ед., на изготовление которого расходуется 3 ед. сырья типа I и 4 ед. сырья типа II.

Вариант 3

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 75.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения х₁, х₂;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 9 единиц и уменьшении на 6 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 4 ед., на изготовление которого расходуется 3 ед. сырья типа I и 2 ед. сырья типа II.

Вариант 4

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 50, х₂ = 0, х₃ = 5.

Требуется:

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 8 единиц и уменьшении на 10 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 3 ед., на изготовление которого расходуется 4 ед. сырья типа I и 2 ед. сырья типа II.

Вариант 5

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 42, х₂ = 0, х₃ = 12.

Требуется:

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 12 единиц и уменьшении на 15 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 4 ед., на изготовление которого расходуется по 3 ед. каждого типа сырья.

Вариант 6

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 30, х₂ = 0, х₃ = 20.

Требуется:

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 12 единиц и уменьшении на 10 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 7 ед., на изготовление которого расходуется 6 ед. сырья типа I и 3 ед. сырья типа II.

Вариант 7

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 0, х₂ = 25, х₃ = 30.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевое значение х₁;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 16 единиц и уменьшении на 8 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 6 ед., на изготовление которого расходуется 5 ед. сырья типа I и 3 ед. сырья типа II.

Вариант 8

Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья

А Б В

I

II

Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 0, х₂ = 20, х₃ = 20.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевое значение х₁;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 6 единиц и уменьшении на 9 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 4 ед., на изготовление которого расходуется по 3 ед. каждого типа сырья.

Вариант 9

Для изготовления трех видов продукции используют два типа сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья

А Б В

I

II

Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 0, х₂ = 30, х₃ = 30.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевое значение х₁;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 8 единиц и уменьшении на 10 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 6 ед., на изготовление которого расходуется 2 ед. сырья типа I и 4 ед. сырья типа II.

Вариант 10

Для изготовления трех видов продукции используют два типа сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья

А Б В

I

II

Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 10, х₂ = 0, х₃ = 60.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевое значение х₂;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 10 единиц и уменьшении на 12 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 3 ед., на изготовление которого расходуется 3 ед. сырья типа I и 1 ед. сырья типа II.