Формулы для расчета показателей работы СМО
В задачах к разделу 2 рассматриваются четыре модели массового обслуживания. Ниже приводятся общие описания этих моделей и некоторые формулы, необходимые для расчета основных характеристик их функционирования. Во всех моделях рn – вероятность того, что в системе находится n требований (заявок); = /, где – интенсивность потока заявок (среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени), – интенсивность обслуживания (величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки 
; среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени).
5.2.1. Системы с ожиданием при неограниченном входящем потоке
На n одинаковых каналов поступает простейший поток заявок интенсивностью . Если в момент поступления заявки все каналы заняты, то эта заявка становится в очередь и ждет начала облуживания. Время обслуживания каждой заявки является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .
Расчетные формулы
Вероятность того, что все каналы свободны
Вероятность того, что занято k каналов, при условии, что общее число заявок, находящихся на обслуживании, не превосходит числа каналов,
Вероятность того, что в системе находится k заявок, в случае, когда их число больше числа каналов,
Вероятность того, что все каналы заняты,
Среднее время ожидания заявкой начала обслуживания в системе
Средняя длина очереди
Среднее число свободных от обслуживания каналов
Пример
Автозаправочная станция с двумя колонками обслуживает пуассоновский поток машин с интенсивностью =0,8 машин в минуту. Время обслуживания одной машины подчиняется показательному закону со средним значением 2 минуты. В данном районе нет другой АЗС, так что очередь перед АЗС может расти практически неограниченно. Найдите:
1) среднее число занятых колонок;
2) вероятность отсутствия очереди у АЗС;
3) вероятность того, что придется ждать начала обслуживания;
4) среднее число машин в очереди;
5) среднее время ожидания в очереди;
6) среднее время пребывания машины на АЗС;
7) среднее число машин на АЗС.
Решение. По условию задачи
Поскольку /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
Находим вероятности состояний СМО:
Среднее число занятых колонок:
Вероятность отсутствия очереди у АЗС:
Вероятность того, что придется ждать начала обслуживания равна вероятности того, что все колонки заняты:
Среднее число машин в очереди:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания машины на АЗС:
Среднее число машин на АЗС:
5.2.2. Системы с ожиданием при ограниченном входящем потоке
Система состоит из n каналов обслуживания. Каждый из них может одновременно обслуживать только одну заявку. В систему поступает простейший поток заявок интенсивностью . Число источников заявок ограничено, так что в системе может находиться не более m заявок. Если все каналы заняты, заявка становится в очередь и ждет начала облуживания. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .
Расчетные формулы
Вероятность того, что занято k каналов, при условии, что общее число заявок, находящихся на обслуживании, не превосходит числа каналов,
Вероятность того, что в системе находится k заявок, в случае, когда их число больше числа каналов,
Вероятность того, что все каналы свободны
Средняя длина очереди (среднее число заявок, ожидающих начала обслуживания)
Среднее число заявок, находящихся в системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:
Среднее число свободных от обслуживания каналов
5.2.3. Системы с отказами
Отличительной особенностью модели является отсутствие блока ожидания. Это означает, что заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, покидает ее не обслуженной, т.е. теряется.
На вход n-канальной системы поступает простейший поток заявок интенсивностью . Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром . Если заявка застала все n каналов занятыми, она получает отказ.
Расчетные формулы
Вероятность того, что в системе находится k заявок
Вероятность того, что все каналы свободны
Вероятность отказа
Вероятность обслуживания заявки pобс, или относительная пропускная способность системы q,
Абсолютная пропускная способность
А = q.
Среднее число свободных от обслуживания каналов
5.2.4. Системы с ограниченной длиной очереди
На вход n-канальной системы поступает простейший поток заявок интенсивностью . Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром . Каждая вновь поступившая заявка, застав все каналы занятыми, становится в очередь только в том случае, если в ней находится меньше m заявок. Если число заявок в очереди равно m, то заявка покидает систему не обслуженной: получает отказ.
Расчетные формулы
Вероятность того, что все каналы свободны,
Вероятность того, что в системе находится k n заявок,
Вероятность того, что в системе находится k > n заявок,
Вероятность отказа заявке в обслуживании, которая равна вероятности того, что в системе уже находится (n+m) заявок,
Среднее число свободных от обслуживания каналов