Самостоятельная работа № 1

Глава 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Теоретические вопросы

Понятие функции одной переменной.
Предел функции.
Непрерывность функции.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно большие функции и их свойства.
Односторонние пределы.
Производная функции.
Таблица производных.
Правила дифференцирования.
Производная сложной функции.
Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Исследование функций с помощью производных.

Литература

Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.- М.:Наука,1989,т.1,2.
В.С. Щипачев Высшая математика.- М.: Высшая школа, 1990.
П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах.- М.: Высшая школа,1998,ч.1,2.

Предел функции

Пусть функция определена на множестве . Число А называется пределом функции при , если , что при .

Это записывают так:

Если и , то используют запись ; если и , то .

Числа и называются соответственно левосторонним и правосторонним пределами функции в точке .

Если существуют пределы и , то:

1) , где ;

2) ;

3) .

При решении задач полезно знать следующие “замечательные” пределы:

1) 2) ; 3) ; 4)

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида , , , , и т.д.

Существуют различные приемы раскрытия данных неопределенностей:

деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (при ); сокращение на множитель, создающий неопределенность; применение “замечательных” пределов и т.п.

Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение. При получаем неопределенность вида . Чтобы найти предел данной дробно - рациональной функции, необходимо предварительно разделить числитель и знаменатель дроби на , т.к. степень - наивысшая степень многочленов, определяющих данную рациональную функцию. Применяя основные теоремы о пределах и свойства бесконечно малых величин, получаем:

Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

Решение Здесь имеет место неопределенность вида . Вычисление данного предела основано на применении первого “ замечательного” предела ( ).Имеем:

Решение. При данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к 1, а показатель – к (неопределенность вида ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй “замечательный” предел ( ). Получим:

Так как при ,то . Учитывая, что , находим .

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки

3) .

Теорема. Для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства: .

Точка называется точкой разрыва непрерывности функции, если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции.

Если существуют конечные односторонние пределы , причем не все три числа равны между собой, то называется точкой разрыва первого рода. В частности, если:

1) , то называется устранимой точкой разрыва;

2) , то называется точкой разрыва типа скачка, причем разность называется скачком функции в точке .

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода.

Справедливо следующее утверждение.

Задание 2. Задана функция

Исследовать функцию на непрерывность. Сделать чертеж.

Решение Функция задана различными непрерывными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента . Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых меняются аналитические выражения функции, т.е. точки и . Определим значения функции и ее односторонние пределы в этих точках:

1) :

Так как , то в точке функция непрерывна.

2) :

Так как , то точка является точкой разрыва непрерывности функции первого рода типа скачка.

Скачок функции в точке разрыва равен: =2. График функции представлен на рисунке:

Дифференцирование функций

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что стремится к нулю.

То есть:

Основные правила нахождения производной

Если - и - дифференцируемые функции в точке , (т.е. функции, имеющие производные в точке ), то:

1) ;

2) ;

4) .

Таблица производных основных функций

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

Правило дифференцирования сложной функции. Если и , т.е. , где и имеют производные, то

Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пусть зависимость переменной от переменной задана параметрически посредством параметра :

Тогда

Задание 3. Найти производные данных функций.

Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2 таблицы производных, получаем:

Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13 таблицы производных, получаем:

Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем:

Решение. Полагая , где , согласно формуле нахождения производной сложной функции, получим:

Решение. Имеем: Тогда, согласно формуле нахождения производной функции, заданной параметрически, получаем:

Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т.е. . Для второй производной используются следующие обозначения: или , или .

Производной - го порядка от функции называется производная от ее производной -го порядка. Для производной -го порядка используются следующие обозначения: или , или .

Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Если функции и являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при , и при этом существует предел отношения при , то существует также и предел отношения при . Причем

Правило применимо и в случае, когда .

Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.

Неопределенности вида и т.д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида или .

Задание 4. Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя.

Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т.к. при . Применим правило Лопиталя:

После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида , т.к. при . Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим:

Исследование функций

а) Возрастание и убывание функций

Функция называется возрастающей на отрезке , если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то возрастает на отрезке .

Функция называется убывающей на отрезке ,если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то убывает на отрезке .

Если функция является только возрастающей или только убывающей на данном интервале, то она называется монотонной на интервале.

b) Экстремумы функций

Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой минимума функции .

Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой максимума функции .

Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Точка называется стационарной точкой, если или не существует.

Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то - точка максимума функции .

Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то -точка минимума функции .

a) Направление выпуклости. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх на интервале , еслион расположен ниже касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала.

Достаточным условием выпуклости вверх графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , еслион расположен выше касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала.

Достаточным условием выпуклости вниз графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала.

Точка , в которой меняется направление выпуклости графика функции , называется точкой перегиба.

Точка , где или не существует, является абсциссой точки перегиба, если слева и справа от нее имеет разные знаки.

d) Асимптоты

Если расстояние от точки графика функции до некоторой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат, то прямую называют асимптотой графика функции.

Если существует число такое, что , то прямая является вертикальной асимптотой.

Если существуют пределы , то прямая является наклонной (горизонтальной при k=0) асимптотой.

e) Общее исследование функции

Общее исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции

2. Точки пересечения графика с осями координат

3. Исследование функции на непрерывность, четность / нечетность и периодичность

4. Интервалы монотонности функции

5. Точки экстремума функции

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

7. Асимптоты графика функции

8. График функции.

Задание 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Функция определена на всей числовой оси за исключением точки , где знаменатель дроби обращается в нуль.

2) График данной функции пересекает координатную ось в точке , т.к. при .

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью , необходимо решить уравнение . Но данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у графика данной функции нет точек пересечения с осью .

3) Данная функция непрерывна во всей области своего определения. Для исследования функции на четность проверим выполнение условия ; для исследования функции на нечетность проверим выполнение условия . Имеем:

Так как и , то, следовательно, данная функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.

Исходная функция не периодична, т.к. для любого .

4) Найдем производную данной функции:

Определим стационарные точки. Для этого приравняем . Получим:

Производная не существует в точке . Но точка не принадлежит области определения данной функции. Следовательно, стационарными точками данной функции являются точки и . Отметим все три точки на числовой оси:

Определим знак производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить в производную любое значение из рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке. Следовательно, исходная функция убывает на интервале , возрастает на интервале (что показано на рисунке).

5) Так как производная меняет знак при переходе через стационарные точки, то эти точки являются точками экстремума. А именно, - точка максимума, - точка минимума. Максимальное значение функции равно , минимальное значение .

6) Вычислим вторую производную данной функции:

Вторая производная нигде не обращается в нуль, но не существует при . Точка не принадлежит области определения данной функции. Отметим эту точку на числовой оси:

Определим знак второй производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить во вторую производную любое значение из рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке.

Следовательно, график данной функции является выпуклым вверх в интервале и выпуклым вниз в интервале (что показано на рисунке).

Так как вторая производная нигде не обращается в нуль и точка , где не существует, не принадлежит области определения данной функции, то у исходной функции нет точек перегиба.

7) Найдем предел данной функции при слева и справа: