Задания для самостоятельного решения

Глава 2 «Интегральное исчисление».

Теоретические вопросы

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования: непосредственное интегри­рование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

5. Интегрирование некоторых рациональных дробей.

6. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.

7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

8. Замена переменной и интегрирование по частям в определен­ном интеграле.

9. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

 

Неопределенный интеграл

Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. f(x)dx = F(x)+C, где F(х)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть , а С - произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного инте­грала:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач, ознакомьтесь с таблицей интегралов.

1.	9.
2.	10.
3.	11.
4.	12.
5.	13.
6.	14.
7.	15.
8.	16.
9.

 

Примечание:Формулы интегрирования сохраняют свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

Tаким образом, применение основной таблицы сразу расширяется.

Например

Задачи 1 – 10

Метод замены переменной (подстановкой)

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Интегралы в следующих примерах берутся методом замены переменной (подстановкой).

При этом вводится новая переменная t = (x), которая является функцией от х. Если новая переменная введена удачно, то в результа­те замены получаем табличные интегралы.

Некоторые рекомендации по введению новой переменной смот­рите ниже в примерах.

Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:

или

Пример 1.

Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t удобно принимать показатель степени, ес­ли под интегралом присутствует производная этого показателя с точ­ностью до постоянного множителя.

В конце возвращаемся к первоначальной переменной, подставив вместо t выражение (-x³).

Проверка. Если интеграл взят правильно, то производная от по­лученного результата равна подынтегральной функции:

что и требовалось доказать.

Пример 2.

Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянно­го множителя).

Проверка:

Пример 3.

Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дро­би подынтегральной функции.

Проверка:

Пример 4.

Проверка:

Пример 5.

Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выраже­ние, если под интегралом присутствует также его производная с точ­ностью до постоянного множителя.

Проверка:

Пример 6.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Примечание.Сделайте самостоятельную проверку в примере 6-14

Пример 7.

Новая переменная иногда выбирается из следующих соображе­ний: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).

Пример 8.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Пример 9.

За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит про­изводную этой функции с точностью до постоянного множителя.

Пример 10.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

 

Метод интегрирования «по частям»

Этим методом интегрируются некоторые произведения, например, произведения степенной функции на логарифмическую или на показательную, или на тригонометрическую, или на обратные тригонометрические функции и др.

Интегрирование «по частям» производится по формуле

Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за « », а оставшийся множитель вместе с принять за « ».

Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного ин­теграла, надо правильно выбрать « » и « ».

В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за «u». Если подынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за «u» принимается степенная функция.

Пример 11.

Пример 12.

Пример 13.

Пример 14.

Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего ра­зобьем интеграл на два табличных:

Обязательно сделайте проверку в примерах 6-14.

 

Определенный интеграл

В этих задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

где F(x) - первообразная для f(x), то есть F'(x) = f(x);

a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Обратите внимание на то, что определенный интеграл - это чис­ло в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает опреде­ленный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а за­тем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Например

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

Решение. Построим параболу и прямую.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точ­ки пересечения ее с осями координат.

Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

; ; ,

Тогда .

Итак, вершина параболы в точке .

Точки пересечения параболы с осью Ох: , тогда

, откуда ; , то есть точки и .

Точка пересечения с осью Оу: , тогда ; то есть точка .

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви пара­болы направлены вверх (рис. 9).

Прямую у = х-1 строим по двум точкам:

получены точки (0;-1) и (1 ;0). Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и пря­мой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

,

где функции f₁(x) и f₂(x) ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f₂(х) f₁ (х) при х Є [а;b].

В нашей задаче f₁(x) = x² -6x + 5;f₂(x) = x-l; x Є [l;6].

Поэтому

 

Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:

Задания для самостоятельного решения

 

.Найти неопределенные и определенные интегралы.