Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

 

Введемо позначення: n - загальна кількість можливих елементарних результатів дослідження,

m₁ - кількість сприятливих появі події А результатів досліджень,

m₂ - кількість сприятливих події В результатів досліджень.

Кількість елементарних результатів досліджень, сприятливих появі або події А, або події В становитиме (m₁ + m₂). Тоді

Р(А + В) =

= (m₁ + m₂) / n = m₁/n + m₂/n =

= Р(А) + Р(В).

Наслідок теореми додавання несумісних подій:

Нехай маємо 3 події А, В та С. Так як ці події попарно несумісні, то поява однієї з 3 подій А, В та С, рівносильно появі однієї з двох подій, А+В та С, тому згідно з теоремою

Р(А + В + С) =

= Р[(A + B) + C] = Р(А + В) + С =

= Р(А) + Р(В) + Р(С).

Для довільної кількості попарно несумісних подій доведення здійснюється методом математичної індукції.

Приклади теореми додавання ймовірностей несумісних подій.

Приклад 1. В ящику 30 кульок: 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорової кульки.

Розв'язок:

Поява кольорової кульки передбачає появу або синьої, або червоної кульки.

Загальна кількість подій = 10 + 5 + 15 = 30. Ймовірність появи червоної кульки (подія А):

Р(А) = 10 / 30 = 1 / 3.

Ймовірність появи синьої кульки (подія В):

Р(В) = 5 / 30 = 1 / 6.

Події А та В несумісні (поява кульки одного кольору виключає появу кульки іншого кольору), тому теорема додавання застосовна.

Шукана ймовірність: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 1/3+ 1/6 = 1/2.

Приклад 2. Стрілець стріляє по мішені, розділеній на 3 області. Ймовірність потрапляння в першу область дорівнює 0,45, у другу - 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілець при одному пострілі влучить або в першу, або в другу область.

Розв'язок:

Події А - "стрілець влучив у першу область" та В - "стрілець влучив у другу область" - несумісні (потрапляння в першу обасть виключає потрапляння в другу область), тому теорема додавання застосовна.

Шукана ймовірність: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

Приклад теореми про повну групу подій.

Консультаційний пункт інститута отримує пакети з контрольними роботами з міст А, В та С. Ймовірність отримання пакета з міста А складає 0,7, з міств В - 0,2. знайти ймовірність того, що наступний пакет надійде з міста С.

Розв'язок:

Події "пакет отримано з міста А", "пакет отримано з міста В" та "пакет отримано з міста С" утворюють повну групу, томі сума ймовірностей цих подій становить 1:

0,7 + 0,2 + р = 1 шукана ймовірність р = 1 - 0,9 = 0,1.

Приклади протилежних подій:

Приклад 1. Потрапляння і промах при постілі по мішені - протилежні події. Якщо А - потрапляння, то протилежна подія - промах.

Приклад 2. З ящика наудачу взяли деталь. Подя "з'явилась стандартна деталь" та "з'явилась нестандартна деталь" протилежні.

Приклади теореми про протилежні події.

Приклад 1. Ймовірність того, що день буде дощовим, р = 0,7. Знайти ймовірність того, що день буде ясним.

Розв'язок:

Події "день буде дощовим" та "день буде ясним" - протилежні, тому шукана ймовірність q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3.

Приклад 2. В ящику є n деталей, m з яких - стандартні. Знайти ймовірність того, що серед k навмання витягнутих деталей є хоча б одна стандартна.

Розв'язок:

Події "серед витягнутих деталей є хоча б одна стандартна" та " серед витягнутих деталей немає жодної стандартної" - протилежні. Позначимо першу подію через А, в другу - через В.

Тоді, Р(А) + Р(В) = 1.

Загальна кількість способів, якими можна витягнути k деталей з n, становитиме С^k_n. Кількість нестандартних деталей становить (n - m); з цієї кількості деталей можна С^k_n-m способами витягнути k нестандартних деталей. Тому ймовірність того, що серед витягнутих k деталей немає жодної стандартної становить Р(В) = С^k_n-m / C^k_n. Тоді ймовірність того, що має місце подія А: Р(А) = 1 - (С^k_n-m / C^k_n).

Завдання 1.

У грошово-речовій лотореї на кожні 10 000 білетів розігрується 150 речових та 50 грошових призів. Чому дорівнює ймовірність виграшу а) речового; б)грошового; в) будь-якого?

Розв'язок:

Р(а) = 150 / 10 000 = 0,015.

Р(б) = 50 / 10 000 = 0,005.

Р(с) = Р(а) + Р(б) = 0,015 + 0,005 = 0,02.

Завдання 2.

Ймовірність того, що стрілок при одному пострілі виб'є 10 балів, дорівнює 0,1; ймовірність вибити 9 балів становить 0,3; ймовірність вибити 8 чи менше балів дорівнює 0,6. знайти ймовірність, що при одному пострілі стрілок виб'є не менше 9 балів.

Розв'язок:

Р(А) = Р(10 балів) + Р(9 балів) = 0,3 + 0,1 = 0,4.

Завдання 3.

В партії з 10 деталей 8 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання витягнутих 2 деталей є хоча б одна стандартна.

Розв'язок:

Загальна кількість способів, якими можна витягнути з 10 деталей 8 стандартних становить С⁸₁₀. Нестандартних деталей (10 - 8) . Їх можна витягнути С²₂ способами. Ймовірність того, що серед витягнутих деталй немає жодної стандартної становить Р(В) = С²₂ / С²₁₀ = 1 / (10! / 2!*8!) = 1 / (9*10 / 2) = 1 / 45.

Протилежна до події "серед витягнутих деталей жодної стандартної" - "серед витягнутих хоча б одна стандартна" повна група подій.

Р(А) = 1 - Р(В) = 44/45.

Завдання 4. В ящику 10 деталей, серед яких 2 нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 наудачу вибраних деталей виявиться не більше 1 нестандартної деталі.

Розв'язок:

Сприятливим для появи події є такі: витягнуті 6 стандартних з 8 стандартних деталей та витягнуто 1 нестандартну + 5 стандартних деталей. Приймемо: А - немає серед 6 деталей нестандартних; В - є хоч одна.

 

Загальна кількість способів, якими можна витягти з 10 деталей 6 деталей С⁶₁₀.

Кількість способів, якими можна вибрати з 8 стандартних 6 деталей С⁶₈.

Кількість способів, якими можна вибрати з 2 нестандартних деталей одну С¹₂.

Кількість способів, якими можна вибрати з 8 стандартних деталей 5 становить С⁵₈.

Тоді Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = С⁶₈/С⁶₁₀ + С¹₂*С⁵₈ / С⁶₁₀ =

= (8! / 6!*2!) / (10! / 6!*4!) + (2! / 1!*1!) * (8! / 5!*3!) / (10! / 6! * 4!) =

=(7*8 / 2) / (7*8*9*10 / 2*3*4) + (2) * (6*7*8 / 2*3) / (7*8*9*10 / 2*3*4) = 28 / (5040 / 24) + (2) * (56) / (5040 / 24) =

= (28 + 2*56) / 210 = 140 / 210 = 14 / 21 = 2 / 3.

Завдання 5. Події А, В, С та Д утворюють повну групу. Ймовірності подій такі: Р(А) = 0,1; Р(В) = 0,4; Р(С) = 0,3. Яка ймовірність події Д?

Розв'язок:

Р(Д) = 1 - (Р(А) + Р(В) + Р(С)) = 1 - 0,8 = 0,2.

Завдання 6. За статистичними даними ремонт майстерні, у середньому на 20 зупинок токарного верстата припадає: 10 - для заміни різця, 3 - внаслідок несправності привода, 2 - внаслідок несвоєчасної подачі заготовок. Інші зупинки відбуваються за інших причин. Знайти ймовірність зупинки верстата з інших причин.

Розв'язок:

Маємо повну групу подій. Р(інші) = 1 - (Р(заміна різця) - Р(несправність привода) + Р(подача заготовок)) = 1 - (10/20 + 3/20 + 2/20) = 1 - (0,5 + 0,25) = 1 - 0,75 = 0,25.