Лапласты трлендіруін тпелі процестерді есептеуге олдану жне жіктеу теоремасы

тпелі процестерді классикалы діспен есептеу басты жадай бойынша интегралдауды тратыларын белгілеу жне басты функцияларды жне оларды туындыларын табу шін алгебралы тедеулерді жйесін дркін-дркін шешуді талап етеді. Бл жадай осы діспен есептеуді негізгі иыншылыына жатады. Электр слбелер рделендірген сайын жне дифференциялды тедеуді дрежесі скен сайын бл иыншылытарда седі.

Сондытан, тапсырылан басты жадайлар бастапы тедеулерге кіргізіліп сызыты дифференциалды тедеулерді шешу дісті пайдалану олайлы болады, йткені бл дісте керекті функцияларды табу шін интегралдауды тратыларын белгілеуді ажеттігі жо болады.

Сызыты дифференциалды тедеулерді Лапласты трлендірулерге негізделген операторлы діспен интегралдауа болады.

Операторлы дісті маызы – тп нса деп аталатын кейбір тапсырылан бір атарлы шектелген затты айнымалыны функциясына баса бейнесі деп аталатын комплексті айнымалыны функциясы салыстырылады. Функция рбір аыры уаыт аралыта Дирихле жадайына амтамасыз ету керек жне кезде нлге те болу керек.

Салыстыру мына формула бойынша ткізіледі

Бл кейіптемеде - функцияны стінен Лапласты тікелей трлендіруін крсетеді.

Оны былай белгілейді:

немесе , мнда - функцияны Лапласты бейнесі. Кері, егерде бейнесі бойынша тп нсаны табу керек болса, онда Лапласты кері трлендіруі олданады

яни бірінші интегралды тедеуді функцияа атысты шешу.

екінші интегралды былай белгілеугенде болады:

немесе .

Тп нсадан туындыларды жне интегралдарды бейнелері шін кейіптемелерін (шыарусыз) келтірейік:

Егер де болса, онда

жне т.с.с.

Егер де функция жне оны туындылары кезде кенет згерсе, онда (7.4) жне (7.5) кейітемелерге оларды мнін осы кенет згерісті есепке алып ою керек яни нлді о жаында, бл жадай оларды аргументтерінде 0+ белгімен крсетілген. Егер де кезде функцияны жне оны туындыларыны басты мндері нлге те болса, онда бірінші жне одан соы туындыларды бейнелері те жеіл табылады:

жне т.с.с.

Тп нсауды интегралды бейнелеріні трі:

Егерде интеграл кезде кенет згерсе, онда оны мнін нлдік о жаынан алу керек, бл жадай оны жоары шегінде 0+ белгімен крсетіледі.

Бейне дрыс блшек трде берілсін, алымны жне блгішті жалпы тбірлері жо. функцияны полюстеріні орыны тедеуді тбірлерімен белгіленеді. Бл тедеуді тбірлерін деп белгілейміз.

Екі жадай болуа ммкін:

а) барлы тбірлер жай;

б) кейбір немесе барлы тбірлер еселі.

а) жай тбірлерді жадайы

те жай жадайда бейне радионалды блшек трде болады:

блшек ысарылмайды, яни жне мшелерді жалпы тбірлері жо, ал жне - затты сандар. Бірінші бейнені тп нсасын жікте теормасы деп аталатын кейіптеме бойынша табуа болады:

Мнда p_к сипаттамалы тедеуді, яни тедеуді жай тбірлері, бір тбір нлге те болуы ммкін.

Егер де бір тбір нлге те болса, яни блгіш ішінде р кбейткіш бар болса, онда жіктеу теореманы баса трі олданады.

б) еселі тбірлерді жадайы

Егер де кп мшелі тбірлеріні ішінде еселі тбірлер болса, онда жіктеу теореманы састы жасауа болады, біра о жаында осындымен (бір осынды тбірлер саны бойынша, ал екінші рбір тбір шін оны еселік реттігімен).

Сонымен, тедеуде еселі тбірлер болса, онда кесінді бойынша тп нсау мына формула бойынша есептеледі:

Шаршы жашаны блгішіндегі кріністі алдымен шамаа ысартып, содан кейін дифференциялдау керек.