Определители. Свойства определителей.

Элементарные преобразования над матрицами. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому виду, пример.

Под элементарными преобразованиями над матрицей понимают: 1.Вычеркивание 0-го ряда; 2.Замена местами любых двух параллельных рядов; 3.Умножение на ненулевое число. 4.Транспонирование. 5.Умножение любого ряда на число. 6.Прибавление к любому ряду параллельного ряда, умноженное на любое ненулевое число. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В. С помощью таких преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному) виду; более того матрицу можно преобразовать таким образом, что останутся в конечном счете только 0 и 1. Число полученных 1 составляет ранг матрицы.

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Основные понятия

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае ( ) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где - алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие: , (3.1) где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3,1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную

(3.2) . (3.3)Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде и Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получим т.е. .Отметим свойства обратной матрицы: 1. ; 2. ;3. .

Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , , .

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса.

Определители. Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменяется, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами , .

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно, .

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, .

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Пример 2.3. Доказать, что .Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3 получим .

Дальнейшие свойства определителя связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.