Закон двойного отрицания

Этим именем называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулировать так: отрицание отрицания даёт утверждение, или: повторенное дважды отрицание даёт утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна».

Закон двойного отрицания был известен ещё в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само.

В символической форме закон записывается так:

~~ Рђ в†’ A,

если неверно, что не-А, то верно А.

Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечёт своё двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты».

Символически:

A в†’ ~~ A

если A, то неверно что не-А.

Объединение этих законов даёт так называемый полный закон двойного отрицания:

~~ А ↔ A,

неверно, что не-A, если и только если верно А.

Р—РђРљРћРќР« РљРћРќРўРАПОЗИЦИИ

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть второе» вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот.

Символически:

(Рђ в†’ Р’) в†’ ( ~ Р’ в†’ ~ Рђ),

если дело обстоит так, что если A, то B, то если не-В, то не-А;

( ~ B в†’ ~ Рђ) в†’ (Рђ в†’ Р’),

если дело обстоит так, что если не-B, то не-A, то если A, то В.

К примеру: из высказывания «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции обычно относят также законы:

(Рђ в†’ ~ Р’) в†’ (Р’ в†’ ~ Рђ),

если дело обстоит так, что если A, то не-B, то если B, то не-A Например, «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

(~ Рђ в†’ Р’) в†’ (~ Р’ в†’ Рђ),

если верно, что если не-A, то B, то если не-B то A. К примеру: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. И подобно тому, как редкая партия проходит без рокировки, так и редкое наше рассуждение обходится без контрапозиции.

МОДУС ПОНЕНС

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» – термин средневековой логики, обозначающий определённое правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого

Здесь «если A, то B» и «A» – посылки, «B» – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если A, то B. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки «если A, то B», используя посылку «A», мы как бы отделяем заключение «B». Например:

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

Человек болен.

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом ещё в III в. до н.э.

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:

(Рђ в†’ Р’) & A в†’ B,

если верно, что если A, то B, и A, то верно B. Например: «Если при дожде трава растёт быстрее и идёт дождь, то трава растёт быстрее».

Рассуждение РїРѕ правилу РјРѕРґСѓСЃ понёс идёт РѕС‚ утверждения основания истинного условного высказывания Рє утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли РёРЅРѕРіРґР° путается СЃРѕ сходным, РЅРѕ логически неправильным её движением РѕС‚ утверждения следствия истинного условного высказывания Рє утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут – металл.

Висмут проводит электрический ток.

Но внешне сходное с ним умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут проводит электрический ток.

Висмут металл.

логически некорректно. Рассуждая РїРѕ последней схеме, можно РѕС‚ истинных посылок прийти Рє ложному заключению. Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер.

Человек – коллекционер.

Человек собирает марки.

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.

Против смешения правила модус поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.

Модус толленс

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Другая запись:

Если A, то B. Не-B. Следовательно, не-A.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

Гелий – не металл.