Законы ассоциативности и коммутативности

Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др.

Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:

(Р° + РІ) + СЃ = Р° + (РІ + СЃ),

(Р° Г— РІ) Г— СЃ = Р° Г— (РІ Г— СЃ).

Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:

(A v B) v C ↔ A v (B v C),

(A & B) & C ↔ A & (B & C).

В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.

Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные «и», «или», «если и только если» и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др.,

по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения – от порядка слагаемых и т.д.

Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:

(А & В) ↔ (В & А),

A и B тогда и только тогда, когда B и A;

(A v В) ↔ (В v А),

A или B, если и только если B или A.

Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: «Волга – самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и языке логики. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по содержанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значения «и» и «или» упрощаются и делаются более независимыми от временной последовательности, от психологических факторов и т.п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, утверждение «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно высказыванию «Он попал в больницу и сломал ногу».

Закон Дунса Скотта

Закон, носящий имя средневекового логика и философа, монаха Дунса Скотта, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так: из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Это звучит парадоксально: из того, что дважды два равно пяти, вовсе не вытекает, как кажется, что Луна сделана из зеленого сыра. Не все современные описания логического следования принимают эту его характеристику.

Известен анекдот РѕР± английском философе Рё логике Р‘.Расселе, доказавшем своему собеседнику РЅР° каком-то вечере, что РёР· того, что РґРІР° плюс РґРІР° равно пяти, вытекает, что РѕРЅ, Рассел – СЂРёРјСЃРєРёР№ папа. Р’ доказательстве использовался закон Дунса Скотта.

Отнимем РѕС‚ обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 РїРѕ 3. Получим: 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел РЅРµ является СЂРёРјСЃРєРёРј папой, то этот папа Рё Рассел – РґРІР° разных лица. РќРѕ поскольку 1 = 2, папа Рё Рассел – это РѕРґРЅРѕ Рё то же лицо.

Приведённые формулировки законов логики и примеров к этим законам являются довольно неуклюжими словесными конструкциями и звучат непривычно, даже если речь идёт о самых простых по своей структуре законах. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости получаемых выражений, сколько в отсутствии ясности и точности в передаче законов.

Мало сказать, что о законах логики трудно говорить, пользуясь только обычным языком. Строго подходя к делу, нужно сказать, что они вообще могут быть адекватно переданы на этом языке.

Не случайно современная логика строит для выражения своих законов и связанных с ними понятий специальный язык. Этот формализованный язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит её даже в ущерб краткости и лёгкости общения.