Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр
Утверждение 2. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.
Определение4. Суммой (или разностью) числовых рядов 
и 
называется числовой ряд, который обозначается + (или - ), и определяется как: 
(или 
).
Определение 5. Произведением числового ряда на число 
называется числовой ряд, который обозначается 
, а определяется как 
.
Теорема 2. Пусть ряды и 
являются сходящимися и
, 
.
Тогда сходящимися будут сумма этих рядов, разность этих рядов и:
= 
.
Теорема 3. Пусть ряд является сходящимся, а ряд расходящимся, тогда сумма, разность этих рядов будет расходящимся рядом.
Замечание. Сумма, разность двух расходящихся рядов может быть как расходящимся, так и сходящимся рядом.
Пример. Рассмотрим сумму двух рядов 
и 
. Оба ряда являются расходящимися, поскольку для них не выполняется необходимое условие сходимости:
, 
.
Ряд, который является суммой этих двух рядов, имеет вид: 
. Этот ряд также является расходящимся, так как для него тоже не выполняется необходимое условие сходимости:
.
Пример. Рассмотрим сумму двух рядов 
и 
. Оба ряда являются расходящимися, поскольку для них не выполняется необходимое условие сходимости:
, 
.
Ряд, который является суммой этих двух рядов, имеет вид: 
. Этот ряд является сходящимся, так как для него последовательность усеченных сумм 
будет нулевой: 
для 
, а потому сходящейся:
.
Таким образом, и ряд 
является сходящимся, и его сумма равна нулю.
Теорема 4. Пусть ряд является сходящимся (расходящимся), тогда ряд , где 
будет сходящимся (расходящимся) рядом.
Вопросы
1. Что называется числовым рядом,n-ым членом ряда? Привести примеры числовых рядов.
2. Что называется n-ой усеченной суммой числового ряда?
3. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)? Привести примеры сходящихся (расходящихся) рядов.
4. Можно ли восстановить числовой ряд, если известна лишь последовательность его усеченных сумм? Ответ объяснить.
5. Когда сумма бесконечной геометрической прогрессии является сходящимся (расходящимся) рядом?
6. Критерий Коши сходимости ряда.
7. Необходимое условие сходимости ряда. Привести примеры сходящихся, расходящихся рядов, для которых выполняется необходимое условие сходимости.
8. Что такое остаток ряда после n-го члена? Как связаны сходимость ряда и сходимость его последовательности остатков?
9. Как повлияет на сходимость (расходимость) ряда отбрасывание или добавление конечного числа членов? Объяснить.
10. Что называется суммой, разностью числовых рядов? Что называется произведением числового ряда на число?
11. Какой будет сумма (разность) сходящихся рядов?
12. Какой будет сумма (разность) расходящихся рядов?
13. Какой будет сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов?
14. Каким будет произведение на число сходящегося (расходящегося) ряда?