Второй критерий устойчивости ЛДС

Рекурсивные звенья 1-го и 2-го порядков

Рекурсивными звеньями 1-го и 2-го порядков (коротко звеньями) называют рекурсивные ЛДС 1-го и 2-го порядков:

1) передаточная функция звена 1-го порядка:

; (4.7)

2) передаточная функция звена 2-го порядка (биквадратного звена):

. (4.8)

Звено называют базовым, если числитель его ПФ равен единице:

1) передаточная функция базового звена 1-го порядка:

; (4.9)

2) передаточная функция базового звена 2-го порядка:

. (4.10)

В таблице соответствий имеем соответствие между

; (4.11)

. (4.12)

4.3. Нули и полюсы ПФ. Карта нулей и полюсов

Нулями передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых

Полюсы передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых

Карта нулей и полюсов — это изображение нулей (кружками) и полюсов (звездочками) на z-плоскости одновременно с единичной окружностью.

Для определения нулей и полюсов дробно-рациональной передаточной функции следует ее представить в виде отношения многочленов— выразить относительно положительных степеней z!

 

Пример 4.1(самостоятельно)

Определить нули и комплексно-сопряженные полюсы передаточной функции звена 2-го порядка:

(4.13)

и построить карту нулей и полюсов (см. аналогично в примере 3.8):

1. Записываем соответствие между передаточной функцией и ИХ для базового звена 2-го порядка:

2. Определяем радиус и аргумент комплексно-сопряженных полюсов:

3. Записываем комплексно сопряженные полюсы:

4. Для определения нулей выражает передаточную функцию относительно положительных степеней z:

5. Записываем нули:

6. Если нули оказались комплексно-сопряженными, определяем их радиус и аргумент :

и записываем нули в виде:

7. Строится карта нулей и полюсов.

 

4.4. Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения

Взаимосвязь передаточной функции и РУ следует из их сравнения:

.

Выводы:

1. Числитель передаточной функции соответствует

Знак коэффициентов

Степень соответствует

2. Знаменатель передаточной функции соответствует

Единица соответствует

Знак коэффициентов

Степень соответствует

Пример 4.2

Записать РУ звеньев 1-го и 2-го порядков по их передаточным функциям:

 

Пример 4.3

Записать передаточную функцию, соответствующую РУ:

 

4.5. Разновидности представления ПФ

Разновидности представления рекурсивных ЛДС обусловлены различным математическим представлением дробно-рациональной функции (4.5):

:

1) произведение простейших множителей:

,

где — нули и полюсы, в общем случае – комплексно сопряженные;

2) произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами:

,

или при :

; (4.14)

; (4.15)

3) сумма простых дробей:

, (4.16)

где —

4) сумма дробей второго порядка с вещественными коэффициентами:

;

или при :

, (4.17)

. (4.18)

Второй критерий устойчивости ЛДС

Определим отображение в z-области первого критерия устойчивости (2.7):

. (2.7)

Представим передаточную функцию в виде суммы простых дробей:

.

Определим ИХ:

и подставим в (2.7):

 

Второй критерий: необходимым и достаточным условием устойчивости ЛДС является