Табии ш жа. Табии стер. деу векторыны жанама жне нормаль раушылары

2.9-сурет  

1. Табии ш жа. Табии стер. Траекторияны бір–біріне шексіз жаын орналасан ш нктесі арылы тетін жазыты, оны ортаы нктесіне жргізілген, жанаспа жазыты деп аталады.

Жанамаа перпендикуляр, М нктесі арылы тетін, N- жазытыы траекторияны осы нктедегі нормаль жазытыы деп аталады.

Траекторияны М нктесіндегі жанама арылы тетін нормаль жне жанаспа жазытытара перпендикуляр шінші жазыты траекторияны сол нктедегі тзілеуші жазытыы деп аталады (2.9-сурет). Жанаспа жазытыта жатан нормаль, исыты М нктесіндегі бас нормаль деп, ал жанаспа жазытыа осы нктеде жргізілген перпендикуляр, бинормаль деп аталады. Жанаманы о баыты ( бірлік векторы) озалыспен баыттас келеді. Бас нормальды о баыты ( бірлік векторы) траекторияны ойыс жаына арай баытталады. Бинормальды о баыты ( бірлік векторы) жне векторларымен о координаттар жйесін райтындай етіп алынады. Бас нктесі М болатын бл координаттар жйесі М табии координаттар жйесі деп, немес табии шжа деп аталады Координаттар жазытары екі-екіден алынан бірлік векторларымен аныталады. ( , ) –жанаспа жазыты, ( , ) - нормаль жазыты, ( , ) – тзулеуші жазыты.


2. исы сызы исытыы.Нктені траекториясын жалпы жадайда кеістіктегі исы сызы деп санаймыз. Нкте траекториясыны М нктесі берілсін. Траекторияны осы нктесінде

 

2.10-сурет

жне оан жаын орналасан екінші нктесі арылы жне жанама бірлік векторларын жргізейік (2.10-сурет). нктесі берілген М нктесінен ашытыта болсын, векторын М нктесіне параллель кшірейік. М нктесіндегі жне екі бірлік векторлар арасындаы брышты, деп белгілейік. Бл брышты доа зындыына атынасын алайы:

. (2.35)

(2.35) атынасын траекторияны ММ1 доасыны орташа исытыы дейміз. Осы орташа исыты ымын пайдалана отырып, исыты яни траекторияны берілген нктедегі исытыы деген ым енгізе аламыз.

исыты берілген М нктесіндегі исытыы деп орташа исытыты нлге мтыландаы шегіне те шаманы айтамыз:

. (2.36)

Орташа исыты рнегі (2.35) арылы (2.36) тедігін мына трде жазайы:

. (2.37)

(2.37)-тедікті сол жаындаы атынасты алымыны жне бліміні де шекті мндерін анытайы.

нлге мтыландаы немесе нктесіні траектория бойымен берілген М нктесіне мтыландаы брышты шекті мнін деп белгілеп, бл брышты сыбайласты брыш деп атаймыз.

-ті нктесіні траектория бойымен М-ге мтыландаы шегі доа элементіне те. Осы тсіндірмелерді пайдалана отырып, (2.37)-анытаманы былай жазамыз:

. (2.38)

(2.38)-формула исы сызыты берілген М нктесіндегі исытыын анытайды. Ол былай айтылады. Траекторияны берілген нктесіндегі исытыы элементар сыбайласты брышты доа элементіне атынасына те шама.

3. исыты берілген нктедегі исыты радиусы.исыты М нктесі берілсін, оны осы М нктесіндегі исыты радиусы деп осы нктедегі k –а кері шаманы айтамыз. исыты берілген М нктесіндегі исыты радиусы десек, онда ол осы айтылан анытама бойынша мынаан те:

. (2.39)

4. деу векторыны жанама жне нормаль раушылары.Кеістікте бойымен М нктесі озалатын исы берілсін, нктені траектория бойындаы М орнына S = доасы сйкес келеді. Бл доаны t –уаыта туелділігі берілсін:

(2.40)

2.11-сурет  
озалыс заы (2.40) тедігі трінде берілген М нктесіні деуіні векторы –ны табии стер баыттарындаы раушылара жіктеу керек. Осы масатты кздеп жылдамды векторы -ны жанама бірлік векторы арылы рнектейік:

(2.41)

мндаы v, жылдамды векторы -ны баытындаы проекциясы vr=v. Егер нкте озалысы доа S-ты зындыы есептеуді о баытына баыттас орындалса, онда vr=v ол егер оны озалысы S- ті есептеуді о баытына арсы баытта тетін болса , онда vr= -v .

Екі жаынан уаыт бойынша туынды алу арылы (2.41)-ді мына трге келтіреміз:

(2.42)

Бірлік векторы -ды дифференциалы, мынаан те екені белгілі:

(2.43)

Осы (2.43)–тедікте рі арай трлендірейік:

(2.44)

мндаы траекторияны М нктесіндегі исыты радиусы. Соы (2.44) тедікті ескерсек (2.42)–тедіктен деу векторыны мынадай жіктелуін аламыз:

(2.45)

Бдан, деуді жанама жне бас нормаль баыттары бойынша (2.11-сурет), тек екі раушыа жіктелетінін креміз. Демек, деу векторы жанаспа жазытыта жатады, сондытан да оны бинормальдаы раушысы нлге те болады деген орытындыа келеміз. Олай болса, деуді табии шжа стеріндегі раушылары мына трде беріледі:

(2.46)

деу векторыны, баытындаы раушысы = dv/dt жанама (тангенцияль) деу, ал оны -баытындаы раушысы n= v2/ нормаль деу болады, (2.42) –тедікті ысаша мына трде жазуа да болады (2.11-сурет)

(2.47)

Оны модулі:

(2.48)

Жанама деу жылдамдыты шама жаынан згеруін сипаттайды, йткені ол жылдамдыты модулінен уаыт бойынша алынан бірінші туындыа те. Олай болса, нормаль деу жылдамдыты баытыны згеруін сипаттауа тиіс. Нормаль деуді шамасы руаытта о сан боландытан, толы деу траекторияны исыты центріне арай баытталандытан, оны центрге тартыш деу деп те атайды. Толы деуді баыты, оны бас нормальды о баытымен жасайтын, -брышымен аныталады (2.11-сурет).

(2.49)


Осы формуладан, жанама деу -ды табасына арап, яни жылдамды модулі v-ны суіне не кемуіне байланысты, толы

2.12-сурет 2.13-сурет

деуіді бас нормальдан озалысты баытына арай, не оан арсы баыта ауытитынын ктеміз. Егер (жылдамдыты шамасы уаыт ткен сайын сіп отыратын) болса, онда жанама деу де озалысты баытына арай баытталады. Мндай озалыс демелі озалыс деп аталады (2.12-сурет). Егер болса, онда озалыс исы сызыты озалыс, ал болса, онда ол тзу сызыты озалыс озалыс болады. Тек жеке уаыт кезеінде ана болса, онда сол стте озалушы нкте траекторияны кері иілу нктесінде (2.13-сурет) боланы, не сол стте нктені жылдамдыы нлге те боланы.

Егер (жылдамды шамасы озалыс кезінде кеміп отыратын) болса, жне векторлары озалыса арсы баытталады, ал озалыс кемімелі озалыс деп аталады (2.12,б-сурет).

Егер барлы уаытта да жылдамдыты шамасы траты, яни болса, озалыс біралыпты озалыс деп аталады. Егер тек ана жеке уаыт кезеі шін болса, онда алгебралы жылдамды зіні экстремалды мнін абылдааны. Ал барлы уаытта да болса, онда нкте біралыпты тзу сызыты озалыста боланы.