Айналмалы озалыстаы дене нктелеріні жылдамдытары жне деулері

 

озалмайтын сті айналатын атты дене нктелеріні озалысын арастырайы. Мнадай денені барлы нктелеріні озалыс кезіндегі траекториялары, жазытытары айналу сіне перпендикуляр, ал центрлері айналу сінде жататын, концентрлі шеберлер болады. Денені айналу сінен h ашытыта жатан кез келген бір нктесі М-ді алайы. Бл нктені жылдамдыыны шамасы:

, (2.76)

2.16-сурет

формуласымен есептелінеді, ал векторы, радиусы h, центрі О нктесінде жататын шеберге жанамамен, айналыс болатын жаа арай баытталады (2.16-сурет).

(2.76)- шы формула нкте М-ні жылдамдыын геометриялы діспен табуа ммкіндік береді. Ал жылдамдыты векторлы тсілді олданып табуа да болады. Ол шін берілген нкте М-ні Oxyz стер жйесіндегі = радиус-векторын алайы. Осы жне векторыны векторлы бейтіндісін райы: х (2.16 сурет).

Бл кбейтіндіні модулі

. (2.77)

(2.77)–тедік, векторлы кбейтіндіні модулі, нкте жылдамдыыны (2.76) формуламен есептелінетін модуліне те екенін крсетеді. Осыдан со х векторыны баытына тотайы. Бл вектор, шбрыш O₁MO жазытыына М-нктесіне трызылан перпендикуляр бойыменен векторымен бірдей бір жаа арай баытталанын 2.16-суреттен круге болады. Сонымен бл айтыландардан, екі вектор, x жне бір-біріне те екенін креміз. Демек мынадай формуланы орынды екені длелденеді:

(2.78)

(2.78)–формула атты дене кинематикасындаы маызды формула. Бл формула Эйлер формуласы деп аталады.

Денені кез келген нктесі М, радиусы h=О₁М жне жазытыы айналу сіне перпендикуляр орналасан, шебер сыза отырып озалады дедік. Демек бл нктені толы деуін екі раушыа жіктеу арылы анытай аламыз (2.17-сурет). Шенбер бойымен озалан нктені жанама деуі:

, (2.79)

жне оны нормальдеуі:

. (2.80)

2.17-сурет

Егер денені айналмалы озалысы демелі болса, онда жанама деу жылдамдыпен бірдей бір жаа арай баытталады, ал ол кемімелі болан жадайда жанама деу жылдамдыа арама-арсы жаа арай баытталады. Ендігі жерде айналмалы озалыстаы М нктесіні толы деуі -векторын раушылары жне _n арылы анытау мына формулалар арылы жргізіледі:

, (2.81)

. (2.82)

Егер векторыны модулі | |=const болып, оны баыты ана уаыт суіне арай згеретін болса, онда (2.78)-формуладан мынадай тедік алынады:

. (2.83)

Бл тедіктегі радиус-вектор -ді брылуыны брышты жылдамдыы. Енді (2.83) тедігіні екі жаынан уаыт бойынша туынды алайы:

. (2.84)

(2.84)–тедікті о жаындаы осылыш векторларды жеке-жеке арастырайы. Ондаы бірінші осылыш вектор модулі М-нктесіні жанама деуіне те:

. (2.85)

(2.85)–ті о жаындаы бірінші вектор, М-нктесіндегі жылдамды векторы мен баыттас. Демек, бдан:

. (2.86)

Ал енді ондаы екінші осылыш векторды модулі:

. (2.87)

Бл вектор МО₁ тзуіні бойымен О₁ центріне арай, айналу сіне перпендикуляр баытталады. Демек

. (2.88)

Сонымен (2.80) – (2.82) формулаларын векторлы тсілді олданып та алуа болатынын крсеттік.

1-мысал: Атанаа оралан жіпке ілінген жк A, атанаты айналмалы озалыса келтіре отырып, тынышты алпынан біралыпты демелі тменгі баытта озалады. Атана бірінші 3сек арлыында 9 айналым жасайды. Атанаты диаметрі см.

Атана бетіндегі нктені 5сек уаыт мезгіліндегі жылдамдыын жне деуін табу керек (14-сурет).

а) б)

2.18-сурет.

Шешуі. Атанаты біралыпты айнымалы айналмалы озалыс тедеуін жазамыз:

. (1)

Брышты жылдамдыты айналу сіндегі проекциясы айналу брышы (1)-ден уаыт бойынша алынан туындыа те:

. (2)

Бастапы мндері: j₀=0, w₀=0. Осы шарттарды ескере отырып (1) жне (2) - тедеулерді мына трде жазамыз:

, (3)

. (4)

t = 3с уаыт мезгілін де j = 9 айналыс боландытан, (3) – тедеуден брышты деу e - ді табамыз:

.

(4)–тедеуден мезгіліндегі атанаты брышты жылдамдыы -ны табамыз:

.

Атанаты бетіндегі B нктесіні (14,б-сурет) сызыты жылдамдыын, жанама жне нормаль раушы деулерін осы уаыт мезгілінде анытаймыз:

м/с,

м/с²,

м/с².

Атанаты бетіндегі нктені толы деуіні модулі:

м/с².

Жкті жылдамдыы атанаты бетіндегі нктені сызыты жылдамдыына те:

м/с.

Жкті деуі атанаты бетіндегі нктені жанама раушы деуіне те:

м/с².

2-мысал: Раиусы тістегеріш 1-ге отырызылан радиусы r валды жк В айналмалы озалыса келтіреді. Жк тынышты алпынан озалып бастайды жне траты деумен озалады. Тістегеріш 1-мен іліністе болатын радиусы r₂ тістегеріш 2-ні озалыс задылыын табу керек.

Шешуі. Жк В (15-сурет) бастапы жылдамдысыз траты деумен озалып бастайды, сондытан, кез келген мезгілінде болады. Валды бетіндегі нкте жылдамдыы осы жылдамдыа жне w₁r-ге те. Сондытан:

2.19-сурет

w₁r = at, .

w₂-ні табамыз. Іліністегі нкте С-ны сызыты жылдамдыы екі тістегерішке орта:

,

осыдан

.

Осы тедікті екі жаында -а кбейтіп алу арылы, мынадай тедік аламыз:

.

Бны 0-ден j₂-ге жне 0-ден t-а дейінгі шектерде интегралдай отырып, тістегеріш 2-ні біралыпты айнымалы айналмалы озалыс задылыын табамыз: