Озалмалы координаттар стеріндегі зіні раушылары арылы берілген векторды абсолют жне салыстырмалы туындылары

Нктені крделі озалысын рі арай арастыру кезінде кез келген озалыстаы координаттар жйесіне байланысты аныталан вектордан уаыт бойынша туынды алу мселесі келіп туындайды. Міне, осыан байланысты векторды абсолют жне салыстырмалы туындылары деген ымдарды пайдалануымыз ажет болады. Осы ымдарды тиісті анытамаларына тотап, одан со векторды абсолюттік туындысы мен салыстырмалы туындылары арсындаы байланыстарды табуымыз керек. Ол шін озалмайтын координаттар жйесі мен атар, ан араанда, лездік брышты жылдамдыы -а те сфералы озалыс жасайтын озалмалы координаттар жйесі берілген дейік (2.30-сурет). Оларды бас нктелері полюс О –да жататын болсын.

2.31-сурет

андайда уаыт t –а туелді згеретін вектор , озалмалы координаттар жйесіне атысты алынан вектор болсын, яни оны осы сана жйесіні стеріндегі проекциялары белгілі уаыт функциялары болып келген дейік Демек, бл вектор зіні озалмалы стердегі проекциялары арылы жіктелген:

. (2.108)

мндаы векторларын траты деп алынан сттегі (2.108)-тедікпен берілген. векторынан уаыт бойынша алынан туындыны, векторды салыстырмалы туындысы дейміз.

Салыстырмалы туындыны символымен белгілейміз. Сонда бл анытаманы рнектейтін мынадай тедік аламыз:

. (2.109)

Бл формула векторыны озалмалы координаттар жйесіне атысты згеру тездігін (жылдамдыын) крсетеді. Осы формуладан векторды зегеру тездігі оны озалмалы стердегі проекцияларыны згеруіне туелді болып келетінін байаймыз.

(2.108)-тедікті екі жаынан (2.109)-тедікті ескере отырып уаыт бойынша толы туынды аламыз:

. (2.110)

мндаы бірлік векторлардан уаыт бойынша алынан туындыларды, атты дене кинематикасында аныталан Эйлер формуласыны кмегімен трлендіреміз:

(2.111)

(2.111) тедіктерден (2.110) тедігіндегі орындарына оямыз:

Сонымен, соы тедіктен векторды абсолюттік (толы) туындысы мен салыстырмалы (локальды) туындысын байланыстыратын мынадай формула аламыз:

. (2.112)

(2.112)- формуланы кинематиканы, векторды салытырмалы туындысы жніндегі, леммасы деп атайы. Мндаы вектор ны салыстырмалы туындысы, ал озалмалы координаттар жйесі ті полюс нктесі арылы тетін стен айналуыны брышты жылдамдыы. Осы айтыландарды пайдалана отырып (2.112) формуласын мынадай лемма трінде айта аламыз.

Лемма. Векторды уаыт бойынша алынан абсолют туындысы сол векторды салыстырмалы туындысына брышты жылдамды векторымен векторды зін векторлы трде кбейтіп алып осанда шыатын вектора те (2.112).

Осы таырып соында мынадай ескерту айтамыз. Кинематиканы салыстырмалы туынды туралы леммасы (2.108)-тедік тріндегі жіктелуімен берілген векторлар шін олданылады. Салыстырмалы туынды ымы тек осындай векторлара арналан.