Жылдамдытарды осу туралы теорема

 

Бізге крделі озалыстаы М нктесі берілсін. Осыны алдында айтанымыздай бл нктені озалмайтын жйеге араандаы орны -радиус-векторымен, ал озалмалы жйеге араанда -радиус-векторымен аныталып отыратын болсын. Сонда:

= ₀ + , (2.113)

мндаы ₀ полюс шін алынан О нктесіні радиус векторы.

Анытама бойынша нктені абсолют жылдамдыы _а , оны радиус векторынан уаыт бойынша алынан абсолют туындысына те:

(2.114)

мндаы бірінші осылыш О –полюсті абсолют жылдамдыын,

(2.115)

береді, ал екінші осылыш нктені полюске атысты радиус–векторыны абсолют туындысын рнектейді.

Сондытан:

, (2.116)

мндаы -озалмалы Oxyz сана жйесіні брышты жылдамдыы. Салыстырмалы туынды:

. (2.117)

(2.117) нктені салыстырмалы жылдамдыын береді. (2.117) –тедікті (2.116)–ы орнына ойса мынадай формула шыады:

. (2.118)

Енді (2.115) жне (2.118) тедіктері арылы (2.114) –тедікті соы тріне келтіреміз:

. (2.119)

(2.119)–формула озалушы нкте М-ні абсолют жылдамдыын рнектейді.

озалушы нктені озалмалы жйеге ойша бекітілген деп жоримыз, яни _r = 0. Сонда М нктесі озалмалы жйемен тек тасымалданады. Бл жадайда (2.101) –формуладан мынадай формула шыады:

(2.120)

озалушы М–ні абсолют жылдамдыы рнектейтін (2.120) формуланы ышамдалан трге келтіреміз:

(2.121)

(2.121)–формула жылдамдытарды осу туралы теореманы береді.

Теорема: нктені абсолют жылдамдыы тасымал жне салыстырмалы жылдамдытарды векторлы осындысына те болады.

Мысал. Вертикаль сті w=10с^–1 брышты жылдамдыпен айнала озалатын , центрден тепкіш Уатта реттегішіні шарлары, машина кшіні згеруіне байланысты осы стен алшатайды жне арастыратын орнында брышты жылдамдыы w₁=1.2с^–1. Берілгені: =50см, 2e=10см, a₁=a₂=a=30°. арастыратын уаыт мезгілінде реттегіш шарларыны абсолют жылдамдыын табу керек.

Шешуі: озалмалы сана жйесін реттегішті сті айнала озалатын блшектерімен байланыстырамыз. Шарларды тасымал озалысы, оларды w_е=w=10с^–1 брышты жылдамдыпен вертикаль сті айнала озалысы , ал салыстырмалы озалысы, шарларды сырытарымен бірге оларды w_r=w₁=1.2с^–1 брышты жылдамдыпен ілінетін сті айнала озалыста болады.

2.32-сурет.

рбір шарды центріні тасымал озалыс траекториясы, центрі реттегіш сіні бойында жататын горизонталь шебер болады. Салыстырмалы озалыс траекториясы, центрі сыры ілінетін сті бойында болатын жне регуляторды жазытыында жататын радиусы -ге те шебер доасы.

Тасымал озалыс шеберіні радиусы:

см.

Шар центріні абсолют жылдамдыы тасымал жне салыстырмалы жылдамдытарды геометриялы осындысына те (2.32-сурет):

, сйкес траекторияларына жанама бойымен баытталады, ал шамалары:

Жылдамдытар жне зара перпендикуляр, сондытан, векторыны шамасы мынаан те:

Шар центріні абсолют жылдамдыы тасымал жне салыстырмалы жылдамдытарды геометриялы осындысына те (2.32-сурет):

, сйкес траекторияларына жанама бойымен баытталады, ал шамалары:

Жылдамдытар жне зара перпендикуляр, сондытан, векторыны шамасы мынаан те:

.

2.4.3. деулерді осу туралы теорема (Кориолис теоремасы)

М нктесіні _a-абсолют деуін арастырайы. Аытама бойынша нктені абсолют деуі абсолют туындыы те:

. (2.122)

Тасымал жылдамды жне салыстырмалы жылдамдытан уаыт бойынша алынан абсолют туындыларды жеке-жеке арастырайы:

, (2.123)

мндаы радиус-векторынан уаыт бойынша алынан абсолют туындыны есептеуге мына формуланы олданамыз:

. (2.124)

Салыстырмалы радиус-вектор -ді салыстырмалы туындысы, анытама бойынша салыстырмалы жылдамдыты береді:

, (2.125)

(2.122) тедікті ескере отырып, (2.124), (2.125)–тедіктерді (2.123)–дегі орнына оямыз. Сонда (2.122)–тедіктен тасымал жылдамдытан уаыт бойынша алынан абсолют туындыны рнектейтін формула аламыз:

.

(2.122)–тедікті о жаындаы екінші осылыш вектор салыстырмалы жылдамдытан уаыт бойынша алынан абсолют туынды. Ал салыстырмалы жылдамды зіні озалмалы координаттар жйесі стеріндегі проекциялары арылы мына трде беріледі:

.

Сондытан да d _r/dt-ны есептеуге рнектейтін формуланы олдана аламыз:

. (2.126)

(2.125) жне (2.126)–тедіктерді пайдалана отырып, (2.122)–тедіктен мына трдегі формулаа келеміз:

. (2.127)

(2.127)–тедік іздеп отыран М нктесіні абсолют деуіні рнегін береді. Бл деуді, кейде крделі озалыстаы М нктесіні толы деуі деп те атаймыз.

(2.127)–тедікті о жаындаы осылыштарды кинематикалы мазмндарын ашайы.

Егер = 0, ₀ = 0 болса, онда (2.127)–тедік осы жадайда мынадай трге келеді

. (2.128)

Егер болса, онда:

. (2.129)

Соы тедіктегі полюс О-ны деуін белгілейді. (2.129)–тедік, нктені тасымал жылдамдыы _e-ні тасымал озалыс кезіндегі згеру тездігін сипаттайды. Оны тасымал деу дейміз.

Зерттеп отыран (2.122)–тедікті о жаында лі аты аталмаан, екі еселенген векторлы кбейтінді тріндегі бір осылыш алды. Оны _с-деп белгілейік:

. (2.130)

(2.130)–формуламен есептелінетін толы деуді раушысын Кориолис деп атайды. абыл алынан (2.128), (2.129) (2.130) белгілеулері арылы (2,122)–тедікті ышамдап жазуа болады:

. (2.131)

(2.131)–тедікті Кориолисті деулерді осу теоремасы деп атаймыз:

Кориолис теоремасы: Нктені абсолют деуі тасымал, салыстырмалы жне Кориолис деулеріні геометриялы осындысына те болады.