Динамиканы бірінші жне екінші есептері

Нкте динамикасында негізгі екі есеп бар. Оны біріншісінде материялы нкте озалысыны заы жне оны массасы m беріледі. Осы задылыта болатын озалысты тудыратын кшті табу керек болады. Екінші мселеде берілген кш бойынша массасы m-ге те нкте озалысыны заын анытау керек.

Динамиканы бірінші есебі.Нкте динамикасыны бірінші есебін шешу кп иыншылы тудырмайды. Бірінші есепте нкте массасы m жне оны озалысыны кинематикалы тедеулері

.

берілген болады. Осы берілгендер арылы (3.7) тедеулерінен іздеп отыран кшті проекциялары табылады:

.

Осы кш проекциялары арылы кшті зін анытап аламыз.

1-мысал.Салмаы 1.02 кГ жк жатан горизонталь платформа 4 м/с² деумен вертикаль тмен озалады (3.3-сурет). Олар бірге озаланда жкті платформаа тсіретін ысым кшін табу керек.

Шешуі. Жкке бір ана актив кші тсірілген – оны салмаы . Байланыстардан босату аксиомасын пайдаланып, ойша платформаны алып тастаймыз да, оны серін вертикаль жоары баытталан реакция кшімен ауыстырамыз.

3.3-сурет

x–сін вертикаль тмен озалыс баытымен баыттаймыз (3.3-сурет). Жкті негізгі тедеуі мына трде жазылады:

ma = P – N,

осы тедеуден:

N = P – ma = 1.02 × 9,8 – 1.02 × 4 = 5.92 Н.

Яни жкті платформаа тсіретін ысым кші де 5.92 Н-а те болады.

2-мысал.Массасы 2кг материалы нктені озалысы мына тедеулермен аныталады:

, .

Нктеге сер етуші кшті проекцияларыны нкте координаттарына туелділігін анытау керек..

Шешуі. Алдымен нкте деуіні проекцияларын табамыз. Ол шін есепті шартында берілген озалыс тедеулерінен уаыт бойынша екі рет туынды аламыз:

.

Нкте озалысыны дифференциалды тедеулерін пайдалану арылы кшті координаттар стеріндегі проекцияларын табамыз:

.

Сан мндерін орындарына ойып, нктеге сер етуші кшті проекцияларыны нкте координаттарына туелділігін анытаймыз:

.

Нкте динамикасыны екінші есебі. Нкте динамикасыны екінші есебін шешу екінші ретті ш дифференциалды тедеулер жйесі (3.7)-ні интегралдауа келтіріледі. Дифференциалды тедеулерді мндай жйесіні жалпы шешімі лі табылмаан. Сондытан біз ол жйені шешуді жалпы слбасын крсетіп тейік. Бізге массасы m-ге те материялы нктені берілген кші серінен болатын озалысыны дифференциалды тедеулері (3.7) берілсін:

(3.8)

.

Берілген серінен болатын нкте озалысын табу (3.8) дифференциалды тедеулер жйесін шешуге келтіріледі. Ол тедеулерді трлендіру нтижесінде мынадай ш тедеулер алды дейік:

(3.9)

Онда (3.9)-ды интегралдау арылы, мынадай бірінші интегралдарды алан болар едік.

,

, (3.10)

.

(3.10)-даы -тратылары, интегралдауды кез келген тратылары деп аталады.

(3.10) тедеулерін таы да бір рет интегралдап шыуымыз керек. Сол масатпен оларды алай да трлендіре отырып, мынадай трге келтіре алды дейік:

,

, (3.11)

.

Онда бларды оай интегралдаан болар едік те, мынадай атынастар алар едік:

,

, (3.12)

.

мндаы - интегралдау тратыларыны келесі шеуі.

Уаыт, координаттар, кез келген траты шамалар арасындаы туелділікті беретін жне озалыс тедеулері негізінде орынды болатын, (3.12) тріндегі атынастарды озалыс тедеулеріні екінші интегралдары деп атайды. (3.12) атынастарынан -терді табуа болады:

,

, (3.13)

.

(3.13) тедіктері (3.8) озалыс тедеулеріні жалпы шешімі болып табылады. Мнда нкте координаттары уаыта жне алты кез келген траты шамалара туелді функциялар ретінде аныталан.

Сонымен, жалпы жадайда нкте координаттары алты кез келген траты шамалара туелді болып шыты.

Басаша айтанда, озалыс тедеулерін интегралдау арылы материялы нктені берілген кш серінен ммкін болатын озалыстарыны барлыыны да задарын табуа болады екен.

Мысалы, біз материялы нктені ауасыз ортада бір орыннан р трлі баыттаы жылдамдыпен шыруымыза болады. Онда ол нкте ауырлы кші серінен бастапы жылдамдыты алай баытталуына байланысты тзу сызы бойымен немесе р трлі параболалар бойымен озалуы ммкін.

Сол себепті кшті згеру задылыын

,

крсетумен атар, нктені бастапы орны мен жылдамдыын да натылы крсетіп отыруымыз ажет.

Уаыт боланда , нктені бастапы орнын анытайтын координаттар мынадай болды дейік:

, (3.14)

Ал бастапы жылдамды проекциялары мынадай болсын:

(3.15)

(3.14) жне (3.15) атынастарыны жиынын бастапы шарттар деп атаймыз. Осы бастапы шарттар арылы интегралдау тратылары табылады. Ол шін (3.10) жне (3.12) тедеулердегі айнымалылары орнына оларды (3.14) жне (3.15)-тедеулерде крсетілген бастапы мндерді оямыз. Сонда:

,

,

, (3.16)

,

,

.

(3.16) бойынша аныталатын интегралдау тратыларыны мндерін (3.13) –тедеуге ойса, мынаны аламыз:

,

, (3.17)

.

(3.17)-тедіктер берілген кш серінен болатын жне бастапы шарттара сйкес орындалатын нкте озалысыны заын анытайды. Сонымен нкте динамикасыны екінші есебіні шешілуі осы слба бойынша жргізіледі.