Статистическое моделирование технологических систем. корреляционные и полигауссовы методы

 

Наиболее сложными в пределах современной теории ТП мате­матическими моделями параметров ТС и процессов являются слу­чайные векторные пространственно-временные поля, представляю­щие как входные и выходные характеристики, так и параметры состояния рассматриваемых объектов. Приведем более подробное описание этих ММ, начиная с простых.

Детерминированные модели используются в тех технологиче­ских задачах, в которых по тем или иным причинам можно прене­бречь реально существующими флуктуациями реальных значений параметров и результатов их измерений. Пусть переменные состо­яния образуют вектор флуктуации пространственно-временных ар­гументов

где каждая скалярная составляющая , вектора описывает зависимость определенной характеристики ТП от пространственных координат и времени t. Иначе говоря, каждая из составляющих вектора параметров есть, в свою очередь, функция четырехмерного векторного аргумента

Распространенным частным случаем является описание электро­физических свойств тонких пленок, например сопротивления квад­рата, толщины как стационарных, т. е. не зависящих от времени функций двух координат поверхности , и др.

Применяемая в настоящее время измерительная и контрольная аппаратура в большинстве случаев определяет параметры состоя­ния в фиксированных точках пространства, поэтому и в теорети­ческих моделях приводит к непосредственной дискретизации изучаемых функций непрерывного пространственно-временного ар­гумента. При этом каждую функцию представляют совокуп­ностью значений-отсчетов при фиксированных значениях пространственных и временных координат . Теоре­тически можно представить бесконечное множество точек отсчета , , практически число точек отсчета всегда ко­нечно:

Представление детерминированной функции , опреде­ленной совокупностью числовых значений , позволяет отож­дествить эту функцию с точкой в многомерном линейном вектор­ном пространстве размерности , если представить каждое проекцией этой точки на соответствующую ось декартовой систе­мы координат. Такое представление взаимно однозначно и при достаточно большом, теоретически бесконечном, и при некоторых известных условиях, которым удовлетворяют функции , соот­ветствующие физически осуществимым явлениям. Покажем это для простоты на примере детерминированной функции времени , , рассматриваемой на конечном интервале времени . Если функция z(t) интегрируема с квадратом моду­ля на интервале [0, Т], т. е. описывает процесс с конечной энер­гией Э, то она представима на этом интервале в виде обобщенно­го ряда Фурье по ортонормированной на интервале [0, Т] системе функций :

(3.2)

где ; ,

а также по теореме Парсеваля

.

Напомним, что ортонормированной на интервале [0, Т] называ­ется система функции , если для любых i и k выполняет­ся условие

Допустим временно, что рассматриваемая функция имеет
преобразование Фурье, отличное от нуля лишь на интервале частот . Тогда, выбрав в качестве базисной систему функций Котельникова

где , в соответствии с известной теоремой Котельникова получим

,

где , . Снимем предположение о конечно­сти F и, переходя к пределу и , получим доказательст­во возможности представления функции z(t) со сколь угодно про­тяженным частотным спектром с помощью достаточно большого числа ее отсчетов. У процессов с ограниченной конечной скоростью их изменения ограничена и эффективная ширина частотного спект­ра, поэтому для реальных процессов всегда найдется конечное число отсчетов, с помощью которых с любой заранее заданной ошибкой справедливо соотношение

.

Аналогичные соотношения можно получить и для функций прост­ранственно-временного аргумента.

Таким образом, всякая функция , описывающая физиче­ски реализуемое явление, однозначно соответствует элементу ли­нейного векторного пространства бесконечной размерности и при­ближенно представима элементом линейного векторного простран­ства конечной размерности.

Однако во многих технологических задачах могут оказаться существенными флуктуации нескольких отдельных параметров, тогда как флуктуациями остальных можно, как и ранее, прене­бречь. В таких случаях используются квазидетерминированные мо­дели реальных явлений, содержащие конечное число случайных величин , , при задании описывающей их совместной плотностью вероятности . Например, давление в вакуумной камере является квази-детерминированной функцией пространственно-временного аргу­мента, оно постоянно во всех точках объема и является случайной величиной, а во времени оно изменяется по детерминированному закону со случайным параметром. Особенностью квазидетерминированных функций является тот факт, что для вычисления значе­ний этой функции для любого значения аргумента необходимо прежде определить конкретные реализации величин случайных па­раметров.

Математическая модель типа абсолютно случайных функций.

При строгом рассмотрении из-за неизбежных естественных флук­туации свойств материалов и окружающей среды, из-за техниче­ских флуктуации параметров технологического оборудования и режимов его работы переменные состояния всех ТП являются слу­чайными функциями пространственно-временных координат. Во многих случаях этими случайностями пренебречь не удается, так как все они влияют на выходные параметры изделий.

Случайной функцией называют множество различных функций одного и того же аргумента с заданным на этом множестве распределением вероятности. Это означает, что в каждом конкретном опыте имеет место некоторая заранее точно не предсказуемая функциональная зависимость из указан­ного множества, которая называется реализацией данной случай­ной функции. Случайная функция пространственных координат обычно называется случайным полем, случайная функция време­ни - случайным процессом. Наиболее распространены случайные функции с бесконечным множеством реализаций. Отсюда следует ошибочность попыток представить такую случайную функцию с помощью конечного набора ее реализаций. Так, осциллограмма