Опр.Полным дифференциалом ФНП наз. главная часть приращения функции линейная по приращению всех аргументов.

Для z = f(x,y)приращение функции представим в виде :

z = A x + B y + ( x, y),где ( x, y) –б.м.в. более высокого порядка чем

= , т.е. расстояние между М и М0 при М М0 . Если такое разложение существует, то функция z = f(x,y)наз. дифференцируемой, а линейная по xи yчасть разложения есть полный дифференциал функции : dz = A x + B y .

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции :

Функция дифференцируема в точке, если существуют её частные производные в этой точке и они непрерывны, причем, ¶z/ ¶x = А , ¶z/ ¶y = B

¶z/ ¶x = lim (A x + ( x, 0) )/ x = A + lim ( x, 0) / x = A

x 0 x 0

Т.о., полный дифференциал ФНП есть сумма частных дифференциалов

dz = (¶z/ ¶x) dx + (¶z/ ¶y) dy(5)

 

Пр. Найти полный дифференциал функции z = xy3 , u = xyz

Частные производные высших порядков.

Частные производные ¶z/ ¶x = f `x(x,y), ¶z/ ¶y = f `y(x,y)являются функциями от х, у .

Если они дифференцируемы, то для них получаем 4 производных второго порядка

2z/ ¶x2 = ¶ (¶z/ ¶x)/ ¶x , ¶ 2z/ ¶x¶y = ¶(¶z/ ¶x)/ ¶y ,

2z/ ¶y2 = ¶ (¶z/ ¶y)/ ¶y , ¶2z/¶x¶y = ¶(¶z/ ¶y)/ ¶x

 

Опр.Частной производной n – ого порядка наз. частная производная первого порядка от частной производной n – 1порядка.

Теорема. Если частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны в точке М , то они равны между собой.

Например, ¶2z/¶x¶y = ¶2z/¶y¶x .

Пр. Найти производные 1-ого, 2-ого порядка от функции z = x3y + y4

Опр.Дифференциалом 2-ого порядка функции z = f(x,y)наз. дифференциал от ее дифференциала 1-ого порядка (при условии dx, dy -константы)

d2z =d(dz) =d[(¶z/¶x)dx + (¶z/¶y) dy] = (¶ 2z/ ¶x2)dx2 + 2(¶ 2z/¶x¶y)dx dy + (¶ 2z/¶y2)dy2 ( 6 )

 

Производные сложных функций.

Пусть для z = f(x,y)переменные х , уявляются функциями параметра t : x = x(t), y = y(t) .Тогда функция z = f(x(t), y(t))является сложной функцией параметра tи ее производная по tявляется отношением полного дифференциала dzк dt(по опр. Ньютона),т.е.

( 7 )

Пр. z = y ln x2 , x = sin t , y = cos t , dz/ dt = ?

Если в функции z = f(x,y)аргументы связаны дополнительным условием y = y(x),то независимым аргументом оказывается только х.Для вычисления производнойdz/dxсоставим отношение полного дифференциала dzк dx

= ( 8 )

Геометрически это означает, что мы находим производную вдоль линии пересеченияповерхности z = f(x,y)c некоторой цилиндрической поверхностьюy = y(x) | | оси Оz .

Пр. z = y x ; y = cos x ; dz/dx = ?

Если для z = f(x,y) имеем x = x(u, v) , y = y(u, v), т.е. дополнительная цилиндрическая поверхность определяется двумя параметрами, и ¶z/¶u = ? , ¶z/¶v = ?, то отношение полного дифференциала dz к du при условии v – const приводит к формуле

; ( 9 )

Пр. z = x2 + 2y2 ; x = 4u + 3v ; y = 2u – 5v ; ¶z/du =? , ¶z/¶v = ?

Производные неявных функций.

Пусть дана неявная функция F(x, y) = 0 ,сложным образом связывающая аргумент х и у = у(х) .Надо найти производную dy/ dx .

Полный дифференциал функции F(x,y)разделим на dx

Þ ( 10 )

Пр. exp x2 + x y2 = 0 ; dy/ dx = ? .ПустьF(x,y) = exp x2 + x y2 ,тогда

 

¶F/¶x = 2x exp x2 + y2 ; ¶F/¶y = 2 xy ; dy/dx = - (2x exp x2 + y2) / 2xy

Пусть дана неявная функция F(x,y,z) = 0 ,сложным образом связывающая аргументы х, уи z = z(x, y).Надо найти производные ¶z/¶x , ¶z/¶y.