Оптимальное сочетание отраслей

Задача 1

Изготовление продукции из двух видов требует использование сырья четырех видов. Запасы сырья ограничены. Количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции, заданы таблицей.

Вид сырья Вид продукции Запасы сырья
 
Стоимость единицы продукции  

Требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы доход предприятия от реализации всех видов продукции был максимальным.

Решение:

Х1 -1 продукция

Х2 -2 продукция

Ограничения:

2 Х1+3 Х219

2 Х1+ Х213

3 Х215

3 Х118

F(x)=7 Х1+5 Х2max

Графический метод:

1 прямая 2 Х1+3 Х2=19

Х1 =0 Х2 =19/3 (0; 19/3)

Х2 =0 Х1 =19/2 (19/2; 0)

2 прямая 2 Х1+ Х2=13

Х1 =0 Х2 =13 (0;13)

Х2 =0 Х1 =13/2 (13/2;0)

3 прямая 3Х2 =15

Х2 =5

4 прямая 3 Х1 =18

Х1 =6

(.) max определяется наиболее удаленным от начала вектора перпендикуляром.

2 принадлежит 3х = мах.

2 Х1 + Х2 =13

Х1 =5

Х2 =3

F(x) = 7x5+5x3=50

Максимальный доход от реализации всех видов продукции составит 50 денежных единиц, при этом изготовлено 5 ед. 1ого продукта и 3 ед. –второго продукта

 

 

Симплекс метод

Система уравнений

1 + Зх2 + уг = 19
1 + х22 = 13
Зx2 + Уз = 15
Зх1 + у4 = 18
F— 7х12 = 0

 

Базис Свободный член Х1 Х2 У1 У2 У3 У4 Оценка
У1 9,5
У2 6,5
У3 -
У4
F -5  
   

 

У1 -2/3 7/3
У2 -2/3
У3
Х1 1/3 -
F -5 7/3 -
   

 

Базис Свободный член Х1 Х2 У1 У2 У3 У4 Оценка
У1 -3 4/3
Х2 -2/3 -
У3 -3
Х1 1/3
F -1 -  
   

 

Базис Свободный член Х1 Х2 У1 У2 У3 У4 Оценка
У4 3/4 -9/4  
Х2 1/2 -1/2  
У3 3/2 3/2  
Х1 -0/25 3/4  
F 3/4 11/4  

Ответ: максимальный доход от реализации всех видов продукции составил 50 денежных единиц , при этом было выпущено и реализовано 5 ед первого вида продукции и 3 ед второго вида продукции.

 

  xl х2      
           
f(x) —> max
       
1 -ый вид сырья <=
2-ой вид сырья <=
3-ий вид сырья <=
4-ый вид сырья <=

 

Задача 2

Человек должен употреблять в сутки некоторое количество жиров, белков, углеводов, витаминов и воды. Содержание этих веществ в единицах каждого из видов пищи таковы:

Питательные вещества Норма Вид пищи
Жиры
Белки
Углеводы
Вода
Витамины
Стоимость единицы пищи  

Требуется так организовать питание, чтобы при удовлетворении потребностей организма во всех питательных веществах общая стоимость пищи была минимальной.

Переменные:

Х1 – количество 1 пищи

Х2 – количество 2 пищи

Х3 – количество 3 пищи

Х4 – количество 4 пищи

Х5 – количество 5 пищи

Целевая функция:

F(x)=2x1+3x2min

Ограничения:

По жирам

х1+5х210

По белкам

1+2х212

По углеводам

1+4х216

По воде

1+2х210

По витаминам

х11

Условия неотрицательности:

х10

х20

Решение:

Графический метод

1 прямая х1+5х210

L1: х1+5х2=10

Х1=0 х2=0

Х2=2 х1=10

(0;2) (10;0)

2 прямая 3х1+2х212

L2: 3х1+2х2=12

Х1=0 х2=0

Х2=6 х1=4

(0;6) (4;0)

3 прямая 2х1+4х216

L3: 2х1+4х2=16

Х1=0 х2=0

Х2=4 х1=8

(0;4) (8;0)

4 прямая 2х1+2х210

L4: 2х1+2х2=10

Х1=0 х2=0

Х2=5 х1=5

(0;5) (5;0)

5 прямая х11

L5: х1=1

Х1=1

L1:10+5010- неверно

L2:30+2012- неверно

L3:20+4016- неверно

L4:20+2010- неверно

L511

Строим вектор градиент

Проходит через т.(0;0) и (2;3)

Если min, то ближе к 0

Min=l2 l3 l4

Найдем координаты т.min

1+4х=16

1+2х=10

2=6

Х2=3

1+23=10

1=10-6

1=4

Х1=2

F(x)=22+33=13

Ответ:

Минимальная стоимость питания 13 денежных единиц, при этом 1 пищи приобретают 2 шт, 2 пищи-3 шт.

 

 

  xl х2      
           
f(x) —> min
       
жиры >=
Белки >=
Углеводы >=
вода >=
Витамины >=

 

Задача 3

Из имеющихся в хозяйстве кормов составить кормовой рацион коровы живой массой 500 кг, суточным удоем - 25 кг, жирностью молока-4%.
Рацион должен соответствовать всем зоотехническим требованиям и иметь максимальную себестоимость.

 

Корма СВ, кг К.ед./кг ПП,г Са, г Р,г Каротин, мг Себестои мость, руб.
Сено люцерновое 0,7 0,52 93,3 7,45 1,88 45,2 2,4
Силос разнотравный 0,18 0,16 18,2 1,9 0,69 16,5 4,5
Брюква 0,1 0,13 7,4 0,32 0,5 7,5
Шрот подсолнечный 0,9 1,02 3,85 4,05 - 5,4
Отруби пшеничные 0,85 0,75 154,7 1,19 5,11

 

 

Зоотехнические требования:

-S сухого вещества - не менее 17 кг, не более 22 кг
-S кормовых единиц - не менее 16 к.е, не более 22 к.е.
-S переваримого протеина - не менее 2300 г, не более 2700 г
-S Са - не менее 76,5 г
S Р - не менее 87,2 г
-S каротина - не менее 76,5 мг

По составу рациона:
-S сена - не менее 5 кг, не более 11 кг
-S силоса - не менее 15 кг, не более 40 кг
-S корнеплодов - не менее 13 кг, не более 40 кг
-S концентратов - не менее 5 кг, не более 8 кг

Модель задачи

Переменные:

х1- количество сена люцернового;
х2- количество силоса разнотравного;
х3 -количество брюквы;

х4 - количество шрота подсолнечного;
х5- количество отрубей пшеничных.

 

Целевая функция: /(*) = 2,4*х + 4,5*2 + 7,5*3 + 5,4*4 + 4*5 min

Ограничения:

по сухому веществу:

0,7 х1+ 0,18 х2+ 0,1 х3 + 0,9х4 + 0,85 х5 17
0,7 х1+ 0,18х2 + 0,1 х3 + 0,9 х4+ 0,85х5 22
по кормовым единицам:

0,52 х1 + 0,16х2 + 0,13 х3 + 1,02 х4+ 0,75х5 16
0,52 х1 + 0,16 х2+ 0,13 х3 + 1,02 х4 + 0,75 х5 22
по переваримому протеину:

93,3 х1 + 18,2 х2+ 7,4 х3+ 380 х4+ 154,7х5 2300
93,3 х1 + 18,2х2 + 7,4 х3 + 380 х4+ 154,7х5 2700

 

по кальцию: 7,45 х1 - 1,9х2 + 0,32х3 + 3,85х4 + 1,19х5 76,5

по фосфору: l,88 х1 + 0,69х2 + 0,5х3 + 4,05х4 + 5,11х5 87,2

по каротину: 45,2х1 - 16,5х2 + 10х3 + 4х5 76,5

по сену: х1 5; х111;

по силосу: х2 15; х2 40;

по корнеплодам: х3 13; х3 40;

по концентратам: х4 + х5 5; х4 + х5 8.

Задача 4

Оптимальное сочетание отраслей

Хозяйство имеет 1060 га пашни, 350 га сенокоса, продуктивность 10 цн. к.е. га; 500 га естественных пастбищ продуктивность 15 цн к.е. га; 160 га долголетних культурных пастбищ продуктивность 19 цн. к.е. га.

В хозяйстве работает 800 человек, при среднегодовой обработке 270 дней (216000 человеко - дней) напряженный период 40 дней (вторая половина августа - сентябрь) В хозяйстве можно выращивать слудующие культуры: пшеницу озимую, рожь озимую, ячмень, овощи., картофель, кормовых корнеплоды, многолетние травы на сено, многолетние травы на зеленый корм и силосные.

Животноводство представлено: КРС молочного направления, продуктивность одной коровы 40 цн молока, цена 1 цн 650 рублей. Выход органического удобрения 9т в год. Хозяйство закупает комбикорм в количестве не более 9000ц (0.09 цн. к.е.) На корм скоту используется в виде отходов 10% валового сбора овощных, 15% картофель, 8% зерновых, кроме этого используется 70% соломы, 1цн соломы - 0.2 цн к.е.. Уражайность соломы и зерна 1:1. На одну голову коровы расходуется в год 63 цн. к.е.. В годовом рационе должно быть концентратов 15-20% грубых 20-35%. Необходимо сдать продукции не менее: зерна пшеницы 3000цн., ржы 2000 цн., ячменя 2000 цн., картофеля 20000цн., овощных 6000цн., молока 35000 цн..

Необходимо учесть, что норма высева семян по зерновым 2цн., по картофелю 30 цн. Площадь многолетних трав не мене 20% от общей площади посевов.

Требуется определить на каких площадях требуется выращивать кормовые культуру и какое поголовье необходимо данному хозяйству.

 

 

Показатель Озимая пшеница Озимая рожь ячмень картофель овощи Корне плоды Мног Тр на сено Мног Тр на зел. корм Силос культуры КРС
Затраты труда, чел/дней 4,9 4,3 4,1 12,5 8,7 12,7
В т.ч. в напряженный период 1,5 1,4 1,3 10,2 12,1 2,1 1,6 3,8 4,3
Затраты орг. Удобрений, т. Х
Уражайность, цн/га Х
Содержание, к.е. в 1цн корма 1,2 1,1 1,12 0,3 0,15 0,1 0,5 0,2 0,15 Х
Средняя реализац. Цена, руб за цн - - - - -

 

Модель задачи

Переменные:

 

Х1плошадь посева озимой пшеницы, га;

Х2-плошадь посева ржи, га;

Хз-площадь посева ячменя, га;

Х4-площадь посадки картофеля, га;

Х5-плошадь посадки овощей, га;

Х6-площадь посадки корнеплодов, га;

Х7-площадь посева многолетних трав на сено, га;

Х8-площадь посева многолетних трав на зеленый корм, га;

Х9-площадь посева силосных культур, га;

Х-10поголовье кр. рог. ск., гол.;

Х11-площадь сенокосов, га;

Х12-площадь пастбищ, га;

Х13-плошадь многолетних культурных пастбищ, га;
Х14-привлеченная рабочая сила;

Х15-количество покупных кормов;

Х16-колнчество покупных органических удобрений.

Целевая функция:

F(x)=850*(23-2)*0,92X1+790*(21-2)*0,92X2+680*(22-2)* *0,92X3+765*(150- 30) *0,85Х4+970*320*0,9Х5+650*40Х10 max

F(x)=16422X1+13809,2X2+12512Х3+78030Х4+279360Х5+26000Х10max

Ограничения:

по использованию пашни: х1+ х2+ х3+ х4+ х5+ х7+ х8+ х91360

по затратам труда:

4,9х1+4,Зх2+4,1х3+ 45х4+89х5+36х6+12,5х7+8,7х8+1 2,7х9+32х10< 216000

1,5х1+1,4х2+1,Зх3+ 10,2х4+32х5+12,1х6+2,1х7+1,6х8+3,8х9+ 4,Зх1014= =32000

32000=40 дн. * 800 чел.

по балансу органических удобрений:

17x1+l 7х2+ 17х3+ 21 х4+26х5+ 29х6+7х7+7х8+ 19х9-90х1016=0

по питательности:

((23-2)*0,08* 1,2+23*0,7*0,2)Х1+((21-2)*0,08* 1,1+21*0,7*0,2)

Х2+((22-

2)*0,08*1,12+22*0,7*0,2) Х3+(150-30)*0,15*0,3 Х4+320*0,1*0,15 Х5+380*0,1 Х6+28*0,5 Х7+80*0,2 Х8+99*0,15 Х9+350* 10+500* 15+160* 19+0,9 Х15-63 Х100

5,236Х1+4,612Х2+4,872Х3+5,4Х4+4,8Х5+38Х6+14Х7+16Х8+14,85Х9+0,9Х15-63 Х10-14040

по покупным кормам: Х159000

по количеству концентратов в рационе:

минимизация: 2,016Х1+1,672Х2+1,792Х3+0,9Х15-0,15*63 Х100 максимизация: 2,016Х1+1,672X2+l,792X3+0,9X15-0,2*63 Х100

по количеству грубых кормов в рационе:

минимизация: 3,22X1+2,94X2+3,08X3+14X7+10X110,2*63 X100

максимизация: 3,22Х1 +2,94Х2+3,08Х3+14Х7+10Х11-0,35 * 63 Х100

по пшенице: (23-2)*0,92Х13000; 19,32Х1 3000

по ржи: (21-2)*0,92 Х22000; 17,48 Х22000

по ячменю: (22-2)* 0,92 Х32000; 18,4 Х32000

по картофелю: (150-30)*0,85 Х420000; 102Х420000

по овощам: 320*0,9 Х56000; 288 Х56000

по молоку: 40 Х1035000

по площади многолетних трав:

Х7+ Х8- 0,2Х1-0,2 Х2-0,2 Х3-0,2 Х4-0,2 Х5-0,2 Х6-0,2 Х7-0,2 Х8-0,2 Х90;
-0,2 Х1-0,2 Х2-0,2 X3-0,2 Х4-0,2 Х5-0,2 Х6+0,8 Х7+0,8Х8-0,2 Х90

Задача №5

Условие: Имеются два вида кормов (силос и зерно), содержащих перевариваемый белок, каротин, кальций, фосфор. Содержание питательных веществ в кормах следующее:

 

Питательные вещества Силос Зерно Норма питательных веществ
Переваримый белок
Каротин
Кальций
Фосфор
Стоимость 1 усл. ед. корма -

 

Составить план производства кормов, при котором их стоимость была бы минимальной.

 

 

Решение задачи.

Этап. Построение модели.

Переменные: x1 – количество силоса;

x2 - количество зерна.

Целевая функция: f(x) = 2 x1+14 x2 min

Ограничения:

1) по переваримому белку:

3 x1+7 x2 19;

2) по каротину:

7 x1+ 3 x2 21;

3) по кальцию:

2 x1 4;

4) по фосфору:

5 x2 5;

Условие неотрицательности:

1) x1 0;

2) x2 0.

 

 

\