Экспериментальные методы ранжирования переменных

 

Цель работы: Ознакомление с методами ранговой корреляции

 

Задание:

1. Проверить гипотезу о наличии связи между несколькими рядами рангов, присвоенных объектам в связи с изучаемым явлением (процессом, качеством и т. д.). применить различные методы ранговой корреляции (по Кендалу и по Спирмену).

2. Применить метод конкордации для выяснения степени согласия исследователей в связи с ранжировкой объектов по изучаемому признаку.

Основные теоретические положения.

 

При изучении сложных процессов, не поддающихся количественному описанию, приходится использовать практический опыт специалистов, работающих в этих областях. При большом числе влияющих факторов мнения специалистов относительно степени влияния этих факторов на процесс могут расходиться. Поэтому возникает задача объективной обработки субъективной информации, которая может быть решена методами ранговой корреляции.

 

Методы ранговой корреляции.

 

Ранжирование.

 

Если n объектов какой-либо совокупности N пронумерованы в соответствии с возрастанием или убыванием какого-либо признака Х, количественно неизмеримого, то говорят, что объекты ранжированы по признаку Х.

Ранг х_i указывает то место, которое занимает i-й объект среди других n объектов, расположенных в соответствии с признаком Х (i=1,2,..n).

Ранжирование является менее точным выражением упорядоченной связи объектов относительно какого-либо измеримого или подсчитываемого качества и в этом случае представляет собой замену переменной порядковым номером в прикидочных размерах в целях экономии времени и уменьшения трудоемкости вычислений.

 

Коэффициент ранговой корреляции.

 

Коэффициент ранговой корреляции оценивает связь между качественными признаками объектов, не поддающимися точной количественной оценке.

Пусть n объектов ранжированы дважды в соответствии со свойствами X и Y:

.. .. ..

(1)

.. .. ..

Для объекта i свойства X и Y имеют ранги , ; для объекта j - , . Пусть связь между рангами и определяется как , а между рангами и - как . Наложим такие условия:

(2)

Тогда коэффициент ранговой корреляции определяется как

(3)

Свойства коэффициента ранговой корреляции следующие:

1.

2. Г=0 означает, что признаки X и Y для n объектов не связаны (не коррелированы);

1. Г=1означает, что ранжирование объектов по признаку Х полностью совпадает с ранжированием по признаку Y;

2. Г=-1означает, что ранжирования объектов по признакам X и Y противоположны.

В зависимости от способа определения связи между рангами, выраженного коэффициентами и , можно получить различные модификации коэффициента ранговой корреляции Г.

 

Коэффициент ранговой корреляции по Кендаллу.

 

Определим величину следующим образом:

при ;

при ; (4)

при ;

Аналогично запишем значения :

при ;

при ; (5)

при ;

Тогда

при i<j;

(6)

при i<j;

и коэффициент ранговой корреляции по Кендаллу примет вид:

, i<j (7)

где величина S равна

, i<j (8)

Пример. Определить, существует ли связь между двумя факторами – производительностью оборудования и степенью его износа. Для этого произведем ранжировку оборудования, обозначенного как №1, №2, №3, №4, №5, №6, по производительности (ряд Х) и по степени износа (ряд Y). Результаты ранжирования приведены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Оборудование	№1	№2	№3	№4	№5	№6
Х
Y

 

Приведем места по производительности оборудования (Х) к натуральному ряду чисел (табл. 2).

 

 

ТАБЛИЦ.А 2

Оборудование	№4	№1	№3	№2	№5	№6
Х
Y

 

Все коэффициенты , т. к. ряд Хприведен к натуральному ряду чисел. Коэффициенты даны в таблице 3.

ТАБЛИЦА 3.

I<j

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

Рассчитав величину , найдем коэффициент для n=6:

Для ответа на вопрос о связи этих факторов необходимо оценить значимость полученной величины

Оценка значимости коэффициента ранговой корреляции по Кендаллу.

Величины S и являются случайными. Кривая распределения плотности вероятности величины S симметрична относительно оси, проходящей через S=0, что соответствует отсутствию связи факторов

Для оценки значимости полученной величины S=1 при n=6 необходимо сравнить её с предельной величиной Sтабл , определяемой по таблице 1 Приложения при уровне значимости , когда n=6. Если S>Sтабл , то гипотезе об отсутствии связи отвергается. При S<Sтаблгипотеза об отсутствии связи факторов принимается.

В рассматриваемом примере Sтабл 10 при и n=6.

Так как S=11>Sтабл=10, то гипотеза об отсутствии связи факторов не принимается. Это означает, что степень износа оборудования (фактор Y) и производительность оборудования (фактор Х) взаимосвязаны.

 

 

Коэффициент ранговой корреляции по Спирмену.

Если определить коэффициенты так:

,

при i¹j (11)

,

то коэффициент ранговой корреляции по Спирмену примет вид

(12)

 

Очевидно, что если ряды Х и Y совпадают и представляют натуральные ряды чисел, т. е.

то

(13)

 

Тогда коэффициент равен

(14)

Приведем эту формулу к более удобному виду. Так как и числа натурального ряда, то

, (15)

где ; ;

Учитывая формулу (15), преобразуем числитель формулы (14) , (16)
где - сумма n членов натурального ряда (17)

(18)

тогда числитель формулы (14) принимает вид формулы (19):

(19)

где (20)

Знаменатель формулы (14):

(21)

Итак, коэффициент ранговой корреляции по Спирмену равен:

(22)

При оценке значимости коэффициента ранговой корреляции rнаходим вероятность случайного появления данной или меньшей величины , полученную при объёме выборки n, по таблице 2 Приложения. Полученную вероятность сравниваем с принятым уровнем значимости a, равным 0,05. Если вероятность окажется больше a=0,05, то гипотеза об отсутствии связи между рядами рангов принимается.

В примере раздела 3 получен коэффициент ранговой корреляции r, равный 0,77 (таблица 4)

 

ТАБЛИЦА 4

 

Производительность оборудования (x)
Степень износа (y)
	-2				-1

 

Оценим значимость коэффициента r=0,77, полученную в примере, при =8 и n=6.

Из таблицы 2 Приложения находим, что вероятность . Так как эта величина находится практически на границе значимости, то примем гипотезу о наличии связи между рядом рангов (таблица 4).

 

 

Конкордация(ср.-лат. concordare – быть согласным)

 

Наиболее интересным практическим приложением ранговой корреляции является вопрос о корреляционной связи нескольких ранжированных рядов.

Пусть имеется ряд объектов 1,2,…,n в различной степени обладающих одним и тем же качеством X, m исследователей ранжируют эти объекты в соответствии с этим качеством. Получается таблица 5 рангов

ТАБЛИЦА 5

объект (i)   исслед. (j)			…	i	…	n
…	…	…		…		…
j
…	…	…		…		…
m

 

Можно было найти коэффициент корреляции (t или r) для каждой пары рядов рангов. При этом пришлось бы вычислять коэффициентов. Притом результат получился бы ненаглядным.

Лучшим способом является определение общего коэффициента ранговой корреляции для всей группы из m исследователей.

В этом случае рассматривают ряд, состоящий из суммарных рангов исследователей для каждого объекта:

… … (23)

Этот ряд рассматривают относительно ряда из n членов, каждый из которых равен среднему значению суммарных рангов ряда (23). Среднее значение суммарных рангов a равно:

(24)

В формуле (2) учитывается, что каждый ранг (i=1,2,…,n) повторяется у m исследователей.

Затем находят сумму квадратов отклонений рангов ряда (1) относительно среднего значения рангов:

(25)

Максимальное значение примет тогда, когда исследователи дадут одинаковые ранги, ряды рангов имеют вид натуральных рядов чисел. Тогда ряд из суммарных рангов примет вид:

m 2m … im … nm (26)

Вычтем из ряда (4) среднее значение a и получим ряд (5)

… (27)

Сумма квадратов членов ряда (27) равна

(28)

Величина W

(29)

называется коэффициентом конкордации. Он оценивает степень согласия мнений исследователей о ранжировании объектов по данному признаку и изменяется в пределах от 0 до 1:

W=0 означает, что связи между ранжировками исследователей не существует;

W=1 означает, что все исследователи одинаково ранжируют объекты.

Величина m(n-1)W имеет -распределение с n=n-1 степенями свободы:

(30)

Для оценки значимости коэффициента W, полученного с помощью величины для m исследователей, находят предельное значение _табл., соответствующее a=0,05 при n=n-1.

При > _табл. гипотезу об отсутствии связи между ранжировками отвергаем.

При < _табл. гипотезу об отсутствии связи принимаем.

Найдём коэффициент конкордации для трёх ранжированных рядов (табл. 6)

ТАБЛИЦА 6

объект (i) исслед. (j)					n=5
m=3
	-2	-3

В последней строке таблицы 6 указана сумма .

Для формирования критерия W найдём (табл. 7)

 

 

ТАБЛИЦА 7

 

Суммарные ранги для натуральных рядов

 

Коэффициент W при этом равен

Для оценки значимости коэффициента W используем данные таблицы 4 Приложения [1], где указаны предельные значения сумм S_табл для различных значений m и n при a=0,05. Так, для m=3, n=5 S_табл =64.

Так как меньше S_табл , то гипотеза об отсутствии связи(согласия) подтверждается.

Порядок выполнения работы.

 

1. Указать факторы, влияющие на бесперебойную подачу электроэнергии на электрической станции.

2. Составить ряды рангов указанных факторов.

3. Применяя различные методы ранговой корреляции проверить гипотезу об отсутствии связи между рядами рангов.

Для этого найти значения коэффициентов t, r для двух произвольно выбранных рядов рангов. Найти коэффициент конкордации W.

Оценить на значимость полученные величины t, r, W и сделать выводы в отношении принятых гипотез.

Результаты исследований представить в виде таблиц 1, 2, 3, 4, 5 и формул (7), (22), (29) (см. «Методические указания»).

 

Контрольные вопросы.

1. В каких случаях применяют метод ранжирования переменных?

2. Как записывается формула для коэффициента ранговой корреляции Г и каковы пределы его измерения? Что означает, если Г=0, +1, -1?

3. Как проверяется на значимость коэффициент ранговой корреляции t?

4. Каков смысл коэффициента конкордации W?

5. Как оценивается величина W на значимость?

Приложение.

Вероятность того, что данная величина S (для t) будет достигнута или превышена

Таблица 1

S	n	S	n
	0,625	0,592	0,548	0,540		0,500	0,500	0,500
	0,375	0,408	0,452	0,460		0,360	0,386	0,431
	0,167	0,242	0,360	0,381		0,235	0,281	0,364
	0,042	0,117	0,274	0,306		0,136	0,191	0,300
		0,042	0,199	0,238		0,068	0,119	0,242
		0,0083	0,138	0,179		0,028	0,068	0,190
			0,089	0,130		0,0083	0,035	0,146
			0,054	0,090		0,0014	0,015	0,108
			0,031	0,060			0,0054	0,078
			0,016	0,038			0,0014	0,054
			0,0071	0,022			0,00020	0,036
			0,0028	0,012				0,023
			0,00087	0,0063				0,014
			0,00019	0,0029				0,0083
			0,000025	0,0012				0,0046
				0,00043				0,0023
				0,00012				0,0011
				0,000025				0,00047
				0,0000028				0,00018
								0,000058
								0,000015
								0,0000028
								0,00000028

 

Вероятность возникновения данной (или меньшей) величины S(d²)

(для r)

Таблица 2

n=4	n=5	n=6	n=7	n=8	n=9	n=10
S(d2) P	S(d2) P	S(d2) P	S(d2) P	S(d2) P	S(d2) P	S(d2) P
10 0,542	20 0,525	34 0,500	56 0,518	84 0,512	120 0,509	164 0,500
8 0,458	18 0,475	32 0,460	54 0,482	82 0.488	118 0,491	162 0,486
6 0,375	16 0,392	30 0,401	52 0,453	80 0,467	116 0,474	160 0,473
4 0,208	14 0,342	28 0,357	50 0,420	78 0,411	114 0,455	158 0,459
2 0,167	12 0,258	26 0,320	48 0,391	76 0,420	112 0,440	156 0,446
0 0,042	10 0,225	24 0,282	46 0,357	74 0,397	110 0,422	154 0,433
	8 0,175	22 0,249	44 0,331	72 0,376	108 0,405	152 0,419
	6 0,117	20 0,210	42 0,297	70 0,352	106 0,388	150 0,406
	4 0,067	18 0,178	40 0,278	68 0,332	104 0,372	148 0,393
	2 0,042	16 0,149	38 0,249	66 0,310	102 0,354	146 0,379
			8 0,012	36 0,076	71 0,146	116 0,203
			6 0,0062	34 0,066	70 0,0135	114 0,193
			4 0,0034	32 0,057	68 0,125	112 0,184
			2 0,0014	30 0,048	66 0,0115	110 0,174
			0 0,00020	28 0,042	64 о,10б	108 0,165
				26 0,035	62 0,097	106 0,156
				24 0,029	60 0,0b9	104 0,148
				22 0,023	58 0,081	102 0,139
				20 0,018	56 0,074	100 0,132
				18 0,014	54 0,066	98 0,124
				16 0,011	52 0,060	96 0,116
				14 0,0077	50 0,054	94 0,109
				12 0,0054	48 0,048	92 0,102
				10 0,0036	46 0,043	90 0,096
				8 0,0023	44 0,038	88 0,089
				6 0,0011	42 0,033	86 0,083
				4 0,00057	40 0,029	84 0,077
				2 0,00020	38 0,025	82 0,072
				0 0,000025	36 0.022	80 0,06
					34 0.018	78 0,062
					32 0,016	76 0,057
					30 0,013	74 0.052
					28 0.011	72 0,048
					26 0,0086	70 0,044
					24 0,0069	68 0,040
					22 0,0054	66 0,037
					20 0,0041	64 0,033
					18 0,0030	62 0,030
					16 0,0022	60 0,027
					14 0,0055	58 0,025
					12 0,0010	56 0,022
					10 0,00066	54 0,019
					8 0,00037	52 0,017
					6 0,00018	50 0,015
					4 0,000083	48 0,013
					2 0,000025	46 0,012
					0 0,0000028	44 0,010
						42 0,0087
						40 0,0075
						38 0,0073
						36 0,0053
						34 0,0044
						32 0,0036
						31 0,0029
						28 0.0024
						26 0,0019
						24 0,0014
						22 0,0011
						20 0,00080
						18 0,00057
						16 0,00040
						14 0,00027
						12 0,00017
						10 0,00010
						8 0,000054
						6 0,000025
						4 0,000010
						2 0,0000028
						0,00000028

 

 

Коэффициент конкордации

Вероятность того, что, данная величина S будет достигнута или превышена

(для n=3)

Таблица За

S
	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
	0,833	0,944	0,931	0,954	0,956	0,964	0,967	0,971	0,974
	0,500	0,528	0,653	0,691	0,740	0,768	0,794	0,814	0,8о0
	0,167	0,361	0,431	0,522	0,570	0.620	0,654	0.685	0,710
		0,194	0,273	0,367	0,430	0,486	0,531	0,569	0,601
		0,028	0,125	0,182	0,252	0,305	0,355	0,398	0,436
			0,069	0,124	0,184	0,237	0,285	.,328	0,368
			0,042	0,093	0,142	0,192	0.236	0,278	0,316
			0,0046	0,039	0,072	0.112	0,149	0,187	0,222
				0,024	0,052	0,085	0,120	0,154	0,187
				0,0085	0,029	0,051	0,079	0,107	0,135
				0,00077	0,012	0,027	0,047	0,069	0,092
					0,00я1	0,021	0.038	0.057	0,078
					0,0055	0,016	0,030	0 048	0,066
					0,0017	0,0084	0,018	0,031	0.046
					0,0001	0,0036	0,0099	0.019	0,0£0
						0,0027	0,0080	0,016	0,026
						0,0012	0,0048	0.010	0,018
						0,00032	0,0024	0,0060	0.012
						0,00032	0,0011	0,0035	0,0075
						0,000021	0,00086	0,0029	0,0063
							0,00026	0,0013	0,0034
							0,000061	0,00066	0,0020
							0,000061	0,00035	0,0013
12J							0.000061	О.ОС020	0,00083
							0,0000036	0,000097	0,00051
								0,000054	0,00037
								0,000011	0,00018
								0,000011	0,00011
								0,000011	0,000085
								0,000011	0,000044
								0,0000060	0,000020
									0,000011
									0,0000021
									0,000000099

 

Коэффициент конкордации

Вероятность того, что данная величина S будет достигнута или превышена

(для п = 4)

Таблица 3b

S	m=З	m=5	S	m=5
	1.000	1.000		0,055
	0,958	0,975		0,044
	0,910	0,944		0.034
	0,727	0,857		0,031
	0.108	0,771		0,023
	0,524	0,709		0,020
	0,446	0,652		0,017
	0,342	0.561		0,012
	0,300	0,521		0,0087
	0,207	0,445		0,0067
	0,175	0,408		0,0055
	0,148	0,372		0.0031
	0,075	0,298		0,0023
	0,054	0,260		0,0018
	0,033	0,226		0,0016
	0,017	0,210		0,0014
	0,0017	0,162		0,00064
	0,0017	0,141		0,00043
		0,123		0,00021
		0,107		0,00014
		0,093		0,000048
		0.075		0,0000030
		0,067

Коэффициент конкордации

Вероятность того, что данная величина 5 будет достигнута или превышена

(для п = 4)

Таблица 3с