Вычисление бесконечных сумм

Будем теперь рассматривать бесконечную сумму вида . Это выражение называется функциональным рядом. При различных значениях x из функционального ряда получаются различные числовые ряды . Числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Совокупность значений x, при которой функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Числовой ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов при имеет предел, в противном случае, ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, что общий член ряда при неограниченном увеличении его номера стремится к нулю: . Это необходимый признак сходимости для всякого ряда.

В случае бесконечной суммы будем вычислять ее с заданной точностью e. Cчитается, что требуемая точность достигается, если вычислена сумма нескольких первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше чем е, то есть это слагаемое на результат практически не влияет. Тогда его и все последующие слагаемые можно не учитывать.

Пример. Написать программу для подсчета суммы с заданной точностью е (е>0).

Указание по решению задачи. Рассмотрим, что представляет из себя заданный ряд: . Как видим, общий член ряда с увеличением значения i стремится к нулю. Поэтому данную сумму можно вычислить, но только с определенной точностью e. Заметим также, что последовательность слагаемых можно выразить с помощью рекуррентного соотношения a1=-1, , а всю сумму - с помощью рекуррентного соотношения S0=0, Sn=Sn-1+an. (Данные рекуррентные соотношения выведите самостоятельно.)

 

 

using System;

namespace Hello

{

class Program

{

static void Main()

{

Console.Write("Задайте точность вычислений е: ");

double e=double.Parse(Console.ReadLine());

double a=-1, s=0;

for (int i=2; Math.Abs(a)>=e; ++i)

{

s+=a; a/=-i;

}

Console.WriteLine("s={0:f2}",s);

}

}

}

 

 

Практическое задание

Замечание. При решении задач производить обработку следующих исключительных ситуаций: ввода пользователем недопустимых значений и переполнения при вычислении математических выражений.

I. Для заданного натурального n и действительного х подсчитать следующие суммы:

1) ;

2)

3) S = 1!+2!+3!+…+n!; 4) .

 

II. Для заданного натурального k и действительного x подсчитать следующие выражения:

1) 2)

3) 4)

 

III. Вычислить бесконечную сумму ряда с заданной точностью е (e>0).

1) 2) 3) 4)

 

IV. Вычислить и вывести на экран значение функции F(x) на отрезке [a,b] c шагом h=0.1 с точностью e. Результат работы программы представить в виде следующей таблицы:

 

№ Значение x Значение функции F(x) Количество просуммированных слагаемых n
     
     
…      

Замечание. При решении задачи использовать вспомогательную функцию.

1. F(x) = , x Î[0.1; 0.9].

2. F(x) = , x Î [0; 0.99].

3. F(x)= , x Î [0, 1].

4. F(x) = , x Î [1; 2].