З.Обработка результатов измерений
Теоретическая часть
1.1. Элементы зонной теории кристаллов
При сближении N атомов и объединении в единое целое (кристалл) вследствие их взаимодействия энергетические уровни расщепляются на N близко отстоящих подуровней (рис. 1).
Рис. 1
Такую совокупность подуровней, возникшую в результате расщепления исходного энергетического уровня атома, будем называть далее разрешённой зоной энергии (или просто разрешённой зоной). Расстояние между подуровнями энергии в пределах разрешённой зоны составляет 10 -23 эВ, что значительно меньше энергии теплового движения частиц (kT = 10 -2 эВ).
Распределение электронов по энергетическим подуровням в пределах разрешённой зоны определяется принципом минимума энергии, согласно которому сначала заполняются уровни с меньшими значениями энергии, и принципом Паули, в соответствии с которым на каждом подуровне энергии не может быть более двух электронов с противоположными спинами.
Зоны в кристалле могут быть не заполнены электронами, заполнены полностью или частично.
Если на уровне энергии атома находится два электрона с противоположными спинами, то при образовании кристалла из N атомов образуется зона, состоящая из N подуровней, на каждом из которых разместится по два электрона (всего 2 N электронов). Таким образом, в данном случае образуется полностью заполненная зона. При образовании кристалла, вообще говоря, образуется несколько заполненных зон, разделённых друг от друга так называемыми запрещёнными зонами, т.е. зонами, в пределах которых электроны не могут иметь соответствующих значений энергии. Самая высокая из полностью заполненных зон называется валентной зоной. Следующая за ней зона называется зоной проводимости. Зона проводимости может быть либо незаполненной (при Т =0)или заполненной частично.
Если на уровне энергии атома находится один электрон, то в кристалле из N атомов будет N электронов. Всего же подуровней в зоне – N, поэтому с учётом того, что на каждом подуровне могут разместиться два электрона с противоположными спинами, то такая зона будет заполнена наполовину.
Незаполненная (пустая) зона образуется в том случае, если на соответствующем невозбуждённом уровне атома нет ни одного электрона.
Электрические свойства твёрдых тел определяются взаимным положением валентной зоны и зоны проводимости, а также тем пуста ли зона проводимости или заполнена частично.
Если зона проводимости частично заполнена электронами, то мы имеем дело с металлами (рис.2).
Рассмотрим случай, когда зона проводимости пуста. Электроны находятся в валентной зоне, которая отделена от зоны проводимости запретной зоной. В зависимости от ширины запретной зоны различают диэлектрики и полупроводники. Чёткой границы в такой классификации нет. Принято считать, что твёрдое тело является диэлектриком, если ширина запретной зоны 
эВ,если же 
эВ, то такое тело относится к полупроводникам.
Рис. 2
1.2 Электрические свойства диэлектриков, металлов и полупроводников
Диэлектрики
Как уже отмечалось, у диэлектриков валентная зона полностью заполнена электронами и отделена от зоны проводимости запрещённой зоной, ширина которой эВ. В зоне проводимости электронов нет, так как энергии теплового движения недостаточно для перевода их из валентной зоны в зону проводимости. При наложении внешнего электрического поля электроны, находящиеся в валентной зоне, не могут прийти в направленное движение, так как при этом их энергия должна возрасти и, следовательно, они должны перейти на более высокие подуровни валентной зоны. Однако все подуровни энергии в этой зоне заняты электронами, поэтому в силу принципа Паули такие переходы запрещены.
Единственная возможность для возникновения тока проводимости в диэлектрике – это переход электронов в зону проводимости, однако, так как ширина запретной зоны 
, то энергии теплового движения для этого недостаточно. Поэтому диэлектрики практически не проводят электрический ток.
Металлы
В частично заполненной зоне проводимости металла электроны могут переходить на более высокие подуровни энергии не только за счёт теплового движения, но и под действием электрического поля, которое приводит электроны в упорядоченное движение. Эти переходы возможны, так как подуровни энергии в зоне расположены очень близко друг к другу и не заполнены электронами – благодаря этому металлы являются хорошими проводниками.
Полупроводники
Чистые полупроводники. У полупроводников ширина запрещённой зоны меньше, чем у диэлектриков. Энергии теплового движения при комнатной температуре, вообще говоря, достаточно для перевода электронов из валентной зоны в зону проводимости. Под воздействием внешнего электрического поля энергия электронов в зоне проводимости может увеличиваться, поскольку они могут переходить на более высокие незанятые подуровни энергии. В результате возникает электронная проводимость (проводимость n-типа).
При переходе части электронов из валентной зоны в зону проводимости в первой образуются незанятые подуровни ("вакансии"). Вакансии имеют положительный заряд. Под действием внешнего электрического поля часть электронов валентной зоны приходит в упорядоченное движение, заполняя последовательно соседние вакансии. Каждый раз после перескока электрона на вакансию, на его месте образуется положительный заряд. Такой механизм проводимости удобно описывать как движение положительных зарядов ("дырок"). Проводимость, обусловленная направленным движением дырок, называется проводимостью р-типа.
Таким образом, в чистом полупроводнике проводимость имеет смешанный электронно-дырочный характер.
Примесные полупроводники
Электропроводность полупроводников может быть обусловлена как собственными электронами атомов данного вещества (собственная проводимость), так и электронами примесных атомов (примесная проводимость). Примеси делятся на доноры и акцепторы.
Доноры имеют валентность большую, чем валентность основных атомов полупроводников, и создают электронную проводимость (проводимость n-типа). Типичными примерами доноров являютсяпятивалентные атомы элементов пятой группы (Р, Аs, Sb) вкристаллах германия или кремния. Внедряясь в кристаллическую решётку, такой атом замещает один из атомов германия. При этом четыре из пяти электронов донора образуют с соседними атомами германия ковалентные связи, а пятый электрон оказывается "лишним" и может легко перейти в зону проводимости.
На рис.3a показана зонная схема для кристалла германия с примесью фосфора. Поскольку число примесных атомов невелико, и они не взаимодействуют между собой, их уровни энергии остаются дискретными, не расщепляясь в энергетическую зону. Как видно из рис. 3a, уровень энергии, соответствующий пятому не спаренному электрону фосфора, лежит в запрещённой зоне вблизи от дна зоны проводимости ( 
эВ). Поэтому уже при комнатной температуре электрон может легко перейти с этого уровня в зону проводимости, становясь носителем электрического тока. Возникающая (после отрыва электрона от атома фосфора) дырка локализована на уровне донора и не может участвовать в электропроводности. Не могут участвовать в электропроводности и дырки, которые могли бы образоваться в валентной зоне. Это связано с тем, что при комнатной температуре переход электронов из валентной зоны в зону проводимости затруднён, так как ширина запретной зоны 
. В результате создаётся проводимость n-типа.
Рис. 3
Акцепторные примеси имеют валентность на единицу меньше, чем атомы кристалла и создают дырочную проводимость (проводимость р-типа). Акцепторами являются атомы третьей группы (B, Аl, Gа, In) в германии и кремнии. У акцепторов на внешней оболочке размещено три электрона. Захватывая один из электронов соседнего атома германия, примесный атом дополняет внешнюю оболочку до четырёх электронов и образует четыре ковалентных связи с атомами германия. На месте захваченного электрона образуется дырка, которая может легко перейти к соседнему атому германия и таким образом перемещаться по кристаллу, становясь носителем электрического тока. В то же время электрон, захваченный акцептором, остаётся локализованным и в электропроводности не участвует. На зонной схеме такой процесс означает переход электронов на уровень акцептора, которые расположены вблизи потолка валентной зоны (рис.3 b). В валентной зоне образуются дырки, которые и создают проводимость р-типа.
Заметим, что у примесных полупроводников наряду с основными носителями тока (электронов - у полупроводников n-типа и дырок – у полупроводников р-типа) имеется также небольшое количество неосновных носителей, возникающих за счёт переходов электронов из валентной зоны в зону проводимости. У полупроводников n-типа неосновными носителями являются дырки, а у полупроводников р-типа – электроны. Вклад неосновных носителей в общую проводимость примесных полупроводников из-за их малой концентрации при комнатной температуре несущественен, но их роль постепенно возрастает по мере повышения температуры.
1.3. Полупроводниковые диоды
Рассмотрим явления, которые происходят на границе контакта двух полупроводников с разными типами примесной проводимости.
Граница соприкосновения двух полупроводников, один из которых имеет электронную, а другой дырочную проводимость, называется р-п переходом.
На контакте двух полупроводников с разными типами проводимости происходит перераспределение зарядов: электроны из п-полупроводника переходят в p-полупроводник, дырки же перемещаются в противоположном направлении. В результате этого возникает двойной электрический слой (рис.4): в области АВ n-полупроводника образуется избыточный положительный заряд, а в области ВС на p-полупроводнике скапливается избыточный отрицательный заряд.
Рис. 4
Двойной электрический слой создаёт контактное электрическое поле с напряжённостью Ек и определённой разностью потенциалов на его границах – 
. Это поле препятствует дальнейшему переходу носителей тока (электронов) слева направо и дырок - справа налево. При определённой толщине p-n перехода наступает состояние равновесия. Толщина слоя p-n перехода в практически важных полупроводниках (германий, кремний, теллур) имеет величину от 10-4 до 10-5 см. Контактная разность потенциалов, представляющая собой барьер для подвижных носителей тока (рис 4) составляет несколько десятых вольта. Электроны и дырки могут преодолеть такой барьер лишь при температуре в несколько тысяч градусов, поэтому при обычных температурах они не могут проникнуть в область p-n перехода.
Рассмотрим теперь влияние внешнего электрического поля на свойства p-n перехода. Для этого включим контакт с p-n переходом во внешнюю цепь источника тока.
В случае, изображённом на рис. 5, внешнее поле Евн источника тока будет усиливать поле контактного слоя и приведёт к возрастанию потенциального барьера для электронов и дырок, переходящих через контакт. Вместе с тем внешнее поле вызовет движение электронов в n-полупроводнике и дырок в p-полупроводнике в стороны, противоположные от контакта. Это приведёт к увеличению толщины контакта, уменьшению концентрации в нём носителей тока и росту его сопротивления. Направление внешнего поля, которое приводит к росту сопротивления p-n перехода, называется запирающим: в этом направлении через контакт двух полупроводников электрический ток практически не проходит.
Рис. 5
Если изменить полярность приложенного внешнего напряжения, то внешнее электрическое поле будет направлено противоположно полю контактного слоя. Число подвижных носителей тока в области контакта будет возрастать. Этому способствует встречное движение электронов и дырок, которые перемещаются под действием внешнего поля из глубины проводников к границе p-n перехода (рис. 6). Толщина контактного слоя и его сопротивление при этом уменьшаются. Следовательно, электрический ток может более или менее свободно проходить через p-n переход в направлении от р к n полупроводнику. Это направление называется пропускным.
Рис. 6
Таким образом, p-n переход обладает односторонней проводимостью. Полупроводниковое устройство, содержащее один р-п переход, называется полупроводниковым диодом.
р-п переход нельзя осуществить просто механическим соединением двух полупроводников. Обычно области различной проводимости создают либо при выращивании кристаллов, либо при соответствующей обработке кристаллов. Например, на кристалл германия n-типа накладывается индиевая таблетка (рис.7а). Эта система нагревается примерно при 500°С в вакууме или в атмосфере инертного газа. В этих условиях атомы индия диффундируют на некоторую глубину в германий.
Рис. 7
Затем расплав медленно охлаждают. Так как германий, содержащий индий, обладает дырочной проводимостью, то на границе закристаллизовавшегося расплава и германия n-типа образуется p-n переход (рис.7 b).
Более сложные полупроводниковые устройства, содержащие два p-n перехода, называются полупроводниковыми триодами или транзисторами.
Вольтамперная характеристика диода показана на рис. 8. Здесь же для сравнения показана линейная вольтамперная характеристика металла.
Рис. 8
1.4 Элементы строгой теории p-n перехода
При контакте дырочного и электронного полупроводников возникает взаимная диффузия электронов и дырок вглубь объема полупроводника p и n типа соответственно. По мере их продвижения внутрь объема наблюдается их рекомбинация с основными носителями тока, в результате чего зависимость концентрации избыточных носителей тока от координаты носит убывающий характер и может быть описана выражением:
| (1) |
где 
– постоянная называемая средней диффузионной длиной, расстояние, на котором неравновесная концентрация носителей тока уменьшается в 
раз. Длина 
связана с коэффициентом диффузии*) простым соотношением:
 .
| (2) |
*) Процесс диффузии дырок и электронов описывается дифференциальным уравнением диффузии
 .
| (3) |
Здесь 
– коэффициент диффузии, 
– время жизни электрона (или дырки) (под временем жизни здесь понимается средний временной промежуток от проникновения электрона в объем до его рекомбинации с дыркой), 
– равновесная концентрация электронов (или дырок).
Дальнейшие вычисления будут проводиться в рамках следующих упрощений:
· Падением напряжения в толще полупроводника можно пренебречь (это формально сводится к тому, что мы считаем сопротивление 
перехода много большим, чем собственное сопротивление контактирующих полупроводников);
· Явлениями рекомбинации внутри области 
перехода (запорной области) можно пренебречь;
· Ширина запорной области много меньше средней диффузионной длины.
При данных упрощениях зонная схема контактирующих полупроводников может быть представлена в следующем стилизованном виде:
Рис. 9
«Искривление» зонной структуры в области 
перехода обусловлено глобальным правилом термодинамического равновесия, согласно которому энергия Ферми 
в области контакта двух подсистем должна быть одинаковой*).
*) Термодинамическим аналогом энергии ферми 
является химический потенциал – который может быть определен двумя способами:
а) это величина изменения энергии системы при внесении или уходе электрона при отсутствии теплообмена с окружающей средой и фиксированных значениях внешних параметров;
б) это величина свободной энергии системы, приходящаяся на одну частицу при фиксированных значениях температуры и внешних параметров.
 .
| (4) |
Для дальнейшего анализа второе определение предпочтительнее и далее мы будем на него опираться.
Согласно вышеприведенному уравнению свободная энергия системы, состоящей из двух подсистем, может быть записана в виде:
 .
| (5) |
Здесь очевидно 
– химические потенциалы и число электронов в первой и второй подсистемах.
Предположим, что термодинамическое равновесие наступает при условии 
, но тогда при переходе электронов из первой области во вторую будет происходить уменьшение свободной энергии, а так как в состоянии термодинамического равновесия свободная энергия должна быть минимальна, то состояние с исходным предположением не является равновесным. Таким образом, равновесное состояние на контакте достигается только тогда, когда 
или 
.
Представим теперь, что к 
переходу приложено напряжение 
в пропускном направлении, т.е. внешнее напряжение вычитается из контактной разности потенциалов и падение напряжения на нем 
(см. рис. 10a)
| 
|
| A | b |
| 
|
| C | d |
Рис. 10
Как видно из рис. 10 b число электронов 
в зоне проводимости полупроводника р-типа остается прежним и, следовательно, электронный ток справа налево тоже не изменится. При этом число электронов в области 
-полупроводника, энергия которых достаточна для перехода в полупроводник р-типа увеличится в силу уменьшения потенциального барьера:
| (6) |
Вследствие этого электронное равновесие в области 
перехода нарушается. В результате возникновения градиента концентрации в зоне проводимости возникает диффузионный ток слева направо – электроны будут диффундировать в p-область и там постепенно рекомбинировать с дырками. Согласно выражению (1) избыточная концентрация электронов в p-области будет убывать по закону
| (7) |
Это выражение позволяет нам получить явный вид электронного тока в p-области вблизи 
перехода:
| (8) |
Здесь и выше индексы при 
и 
обозначают, что данные параметры относятся к электронам. Совершенно аналогично можно вычислить дырочный ток в 
-области.
| (9) |
Тогда полный ток через 
переход будет равен
| (10) |
По мере удаления от границы, концентрации электронов и дырок приходят к своим равновесным значениям, и весь ток становится дрейфовым.
В случае приложения напряжения в запорном направлении (рис. 10 c и 10 d) концентрация электронов с энергией, достаточной для перехода в p-область уменьшается:
| (11) |
Таким образом электроны будут вытягиваться (экстрагироваться) из p-области в 
-область, на границе возникает таким образом градиент концентрации и диффузионный ток в обратном направлении:
| (12) |
Экспериментальная часть
Для снятия вольтамперных характеристик полупроводникового диода и металла используется схема, показанная на рис. 11
Рис. 11
В этой схеме Б – источник постоянного напряжения, В – выключатель, П – делитель напряжения для плавной регулировки напряжения. V – высокоомный вольтметр, мА – миллиамперметр, Р -двухполюсный перекидной переключатель для изменения направления тока, К – коммутатор для включения в цепь одного из диодов Д или металлического сопротивления М.
Измерения начинают с определения интервата возможных изменений напряжения в пропускном и запирающем направлении заданного диода. Это необходимо сделать, чтобы избежать зашкашвания миллиамперметра при работе с диодом в пропускном направлении. Кроме того, в пропускном направлении интервал возможных значений напряжения будет более узким, чем в запирающем, так как в этом направлении малым изменениям напряжения соответствуют большие изменения тока (рис. 8).
1. Определение верхней границы интервала напряжений в пропускном направлении.
Коммутатор К переключают на один из диодов, ползунок делителя напряжения придвигают к точке А (при этом в цепи установится минимальное напряжение и ток) и замыкают выключатель В. Плавно передвигая ползунок, следим за показаниями миллиамперметра и вольтметра. Значение напряжения, при котором стрелка миллиамперметра достигнет примерно 2/3 от максимально возможного значения на данном пределе измерений, будет определять верхнюю границу 
допустимых изменений напряжения.
2. Определение верхней границы интервала напряжений в запирающем направлении.
В запирающем направлении сила тока небольшая и мало зависит от напряжения. Верхнюю границу допустимых изменений напряжения 
выбираем равной примерно 2/3 от предела измерений вольтметра.
3. Порядок проведения измерений
Разбиваем интервалы [0, ] и [0, ]на пять-семь точек и для этих значений напряжений измеряем соответствующие значения токов сначала в пропускном, а затем в запирающем направлениях выбранного диода. Эти же значения напряжений используем для снятия вольт-амперной характеристики металла. Результаты измерений заносим в таблицу.
| Пропускное направление | Запирающее направление | ||||||||
| U, В | Показания миллиамперметра, мА | Точно значение силы тока, мА | U, В | Показания миллиамперметра, мА | Точно значение силы тока, мА | ||||
| Диод | Металл | Диод | Металл | Диод | Металл | Диод | Металл | ||
| 0.1 | 0.1 | ||||||||
| 0.2 | 0.2 | ||||||||
| 0.3 | 0.3 | ||||||||
| 0.4 | 0.4 | ||||||||
| 0.5 | 0.5 | ||||||||
| 0.6 | 0.6 | ||||||||
| 0.7 | 0.7 |
З.Обработка результатов измерений
Миллиамперметр показывает суммарный ток, проходящий через диод (или металл) и вольтметр, включённых параллельно друг другу: 
. Чтобы найти точное значение силы тока, проходящего через диод (или металл) необходимо из показаний миллиамперметра вычесть ток, проходящий через вольтметр: 
. Значение 
находим по закону Ома: 
, где 
Ом – сопротивление вольтметра. Таким образом, точное значение силы тока равно 
.
Заметим, что если включить вольтметр до миллиамперметра (как показано на рис. 9 пунктиром), то и это не избавило бы от погрешностей, так как при этом вольтметр показывал бы суммарное падение напряжения на диоде и миллиамперметре. В этом случае пришлось бы вносить поправку в показания вольтметра.
По полученным результатам строят вольт-амперные характеристики диода и металла (см. рис.8). Пропускное направление считаем положительным, а запирающее – отрицательным.
По вольтамперной характеристике находим параметры диода:
· Сопротивления диода в пропускном и запирающем направлении:
, 
· Коэффициент выпрямления диода: 
Заметим, что указанные параметры находятся при одном и том же значении напряжения.
Контрольные вопросы
1. Как образуются энергетические зоны при образовании кристалла?
2. На каких принципах основано заполнение электронами энергетических уровней?
3. По какому признаку происходит деление твёрдых тел на металлы, диэлектрики и полупроводники? Нарисуйте соответствующие зонные схемы.
4. Опишите на основе зонной теории электропроводность металлов
и диэлектриков.
5. Электропроводность чистых и примесных полупроводников.
6. Опишите процессы, протекающие на границе двух полупроводников с разным типом проводимости.
7. Почему p-n переход обладает односторонней проводимостью?
8. Опишите методику обработки экспериментальных данных.
Литература
1. В.И.Михайленко, В.М.Белоус, Ю.М. Поповский // Общая физика. Киев. 1993.С.436-451.