ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Будем считать, что опыт состоит из бесконечного множества испытаний, перенумерованных числами 1, 2, 3,... В каждом испытании измеряется значение случайной величины X. Таким образом, с опытом связана последовательность случайных величин X1, X2,...: значение случайной величины Xk в результате опыта равно значению, которое принимает случайная величина X в k-м испытании данного опыта.
Случайная величина
Mn ( X ) = ( X1 + X2 +...+ Xn ) / n
называется выборочным средним, а случайная величина
Dn ( X ) = (( X1 - Mn ( X ))2 + ( X2 - Mn ( X ))2 +...+ ( Xn - Mn ( X ))2 ) / ( n – 1 )
называется несмещённой оценкой дисперсии случайной величины X (оценка числовой характеристики случайной величины считается несмещённой в том случае, когда её математическое ожидание совпадает с точным значением соответствующей числовой характеристики случайной величины X). В учебниках по математической статистике приводятся формулы для вычисления несмещённых оценок различных числовых характеристик случайной величины.
Пусть a – точное значение числовой характеристики случайной величины X, An - её несмещённая оценка, – положительное число, 0 < < 1. Число 2 называется длиной доверительного интервала несмещённой оценки An числовой характеристики случайной величины соответствующего доверительной вероятности , если вероятность того, что - An – a < равна . Когда серединой доверительного интервала считают оценку An, число равно вероятности того, что интервал ] An – , An + ] накрывает число a, если же серединой доверительного интервала считать точное значение a, то равно вероятности того, что несмещённая оценка An попадает в интервал [ a – , a + [.
Будем предполагать, что случайные величины X1, X2,..., Xn взаимно независимы и имеют ту же функцию распределения, что и случайная величина X. В силу центральной предельной теоремы выборочное среднее ( X1 + X2 +...+ Xn ) / n можно заменить случайной величиной N, распределённой по нормальному закону с параметрами ( m, n-1/2 ), где m – математическое ожидание случайной величины X, – её квадратичное отклонение. Неравенства - N – m < и
( - ) / ( n-1/2 ) ( N – m ) / ( n-1/2 ) < / ( n-1/2 )
эквивалентны, следовательно,
p ( - N – m < ) = p ( - / ( n-1/2 ) ( N – m ) / ( n-1/2 ) < / ( n-1/2 )) = p (( N – m ) / ( n-1/2 ) < / ( n-1/2 ) ) - p (( N – m ) / ( n-1/2 ) < - / ( n-1/2 )).
Случайная величина ( N – m ) / ( n-1/2 ) распределена по нормальному закону с параметрами ( 0, 1 ), поэтому
уменьшаемое и вычитаемое в правой части равенства выражаются в виде определённых интегралов функции
exp ( - t2 / 2) / ( 2 )½,
пределами интегрирования в первом интеграле служат точки - и / ( n-1/2), а во втором - точки - и - / ( n-1/2 ). Отсюда вытекает, что
p ( - N – m < ) = ( 2 )-½ 
[ - s, s ] exp ( - t2 / 2) dt
где s = / ( n-1/2 ) = n1/2 / .
Функция
erf ( z ) = 2 -½ [ 0, z ] exp ( - t2 ) dt
называется функцией ошибок ( error function ). Таким образом,
p ( - ( X1 + X2 +...+ Xn ) / n – m < ) = erf ( ( n / 2 )1/2 / ).
Задание. Докажите, что
p ( - ( X1 + X2 +...+ Xn ) / n – m < ) = erf ( ( n / 2 )1/2 / ).