Решение задачи 10 диагностической работы

Задачи на концентрацию традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников и абитуриентов, кажутся многим из них довольно сложными. В таких задачах речь обычно идет о растворах некоторого вещества в другом ве­ществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколь­ко разнообразить сюжеты задач без изменения математиче­ского содержания. Ключевой при решении таких задач яв­ляется идея отслеживания изменений, происходящих с «чи­стым» веществом (далее кавычки будем опускать).

В качестве модельной задачи рассмотрим следующую. Смешали а литров n-процентного водного раствора некото­рого вещества с b литрами m-процентного водного раствора этого же вещества. Требуется найти концентрацию получив­шейся смеси. Воспользуемся ключевой идеей: проследим за изменениями, происходящими с чистым веществом. В пер­вом растворе его было

во втором растворе —

 

Значит, количество чистого вещества в полученной смеси бу­дет равно

а всего этой смеси получится a+b литров. Теперь уже найти искомую концентрацию к не представляет труда:

Заметим, что растворы в этой задаче можно было бы заме­нить двумя сплавами разной массы и с разным содержанием чистого вещества (например, одного из двух металлов). Реше­ние при этом практически не изменится, поменяются лишь единицы измерения и названия веществ.

Пример: Виноград содержит 91% влаги, а изюм — 7%. Сколь­ко килограммов винограда требуется для получения 21 кило­грамма изюма?

 

Решение. Используем ключевую идею: будем следить за массой «чистого», т.е. в данном случае «сухого» вещества в винограде и изюме. Пусть для получения 21 килограмма изюма требуется х кг винограда. Из условия следует, что мас­са «сухого» вещества в х кг винограда равна 0,09х кг. По­скольку эта масса равна массе «сухого» вещества в 21 кило­грамме изюма, то по условию задачи можно составить урав­нение

0,09х = 0,93·21,

откуда

9х = 93·21,

т.е. х = 217 кг.

Ответ. 217.

 

Тренировочная работа 10

 

Т10.1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водно­го раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 

Т10.2. Смешали некоторое количество 15-процентного рас­твора некоторого вещества с таким же количеством 19-про­центного раствора этого же вещества. Сколько процентов со­ставляет концентрация получившегося раствора?

 

 

Т10.3. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 

Т10.4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколь­ко килограммов винограда требуется для получения 20 кило­граммов изюма?

 

 

Т10.5. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 % нике­ля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили тре­тий сплав массой 200 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

 

Т10.6. Первый сплав содержит 10 % меди, второй — 40 % ме­ди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в кило­граммах.

 

Т10.7. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процент­ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получи­ли бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Т10.8. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а вто­рой — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Ес­ли эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70 % кислоты. Сколько ки­лограммов кислоты содержится в первом сосуде?

 

Т10.9. В первой кастрюле был один литр кофе, а во второй кастрюле — один литр молока. Из второй кастрюли в первую перелили 100 г молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 100 г смеси. Чего боль­ше: молока в кофе или кофе в молоке?

1) Больше молока в кофе, чем кофе в молоке.

2) Больше кофе в молоке, чем молока в кофе.

3) Молока в кофе и кофе в молоке поровну.

4) Недостаточно данных для ответа на вопрос задачи.

 

Т10.10. На главную городскую площадь приехали два туристи­ческих автобуса с пассажирами из одного круиза. Все места в каждом из автобусов были заняты. В первом автобусе нахо­дилось 45 польских туристов, во втором — 45 чешских тури­стов. Во время экскурсии начался ливень, и туристы броси­лись в автобусы, не разбирая, где чей. В результате в каждом автобусе все 45 мест оказались заняты. Кого больше: чешских туристов в польском автобусе или польских туристов в чеш­ском?

1) Чешских туристов в польском автобусе и польских тури­стов в чешском поровну.

2) Чешских туристов в польском автобусе больше, чем польских туристов в чешском автобусе.

3) Польских туристов в чешском автобусе больше, чем чешских туристов в польском автобусе.

4) Недостаточно данных для ответа на вопрос задачи.

III.Математика. Всё для ЕГЭ 2011. Часть I: учебно-методическое пособие/Под. ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.:НИИ школьных технологий, 2010.

 

Задачи на сплавы и смеси

 

1.К 200 граммам сиропа, содержащего 25% сахара, добавили 75 граммов воды и некоторое количество сахара. После перемешивания получили сироп, содержащий 28% сахара. Определите, сколько граммов сахара было добавлено.

 

2.В бидон налили 3 литра молока 6% жирности, некоторое количе­ство молока 2% жирности и тщательно перемешали. Определите, сколь­ко литров молока 2% жирности было налито в бидон, если известно, что жирность молока, полученного после перемешивания, составила 3,2%.

 

3.Два слитка массой 7 кг и 3 кг, состоящих из серебра и примесей дру­гих металлов, переплавили в один слиток. Определите процентное содер­жание серебра в полученном слитке, если известно, что меньший по весу слиток содержал 90% серебра, а больший— 85%.

 

4.Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер положили 200 г мо­роженого жирностью 10% и добавили 300 г молока 6%-ой жирности. Определите жирность полученного коктейля (в процентах).

 

5.Из чаши, содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты, отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды. Определите, сколько граммов воды было добавлено, если из­вестно, что в результате получили 2% -ый раствор.

 

6.В бидоне было 3 литра молока жирностью 8%. Через сутки из бидона слили 0,5 литра выделившихся сливок. Определите жирность оставшего­ся в бидоне молока, если жирность сливок составила 12%.