Решение задачи 10 диагностической работы
Задачи на концентрацию традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников и абитуриентов, кажутся многим из них довольно сложными. В таких задачах речь обычно идет о растворах некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания. Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом (далее кавычки будем опускать).
В качестве модельной задачи рассмотрим следующую. Смешали а литров n-процентного водного раствора некоторого вещества с b литрами m-процентного водного раствора этого же вещества. Требуется найти концентрацию получившейся смеси. Воспользуемся ключевой идеей: проследим за изменениями, происходящими с чистым веществом. В первом растворе его было
во втором растворе —
Значит, количество чистого вещества в полученной смеси будет равно
а всего этой смеси получится a+b литров. Теперь уже найти искомую концентрацию к не представляет труда:
Заметим, что растворы в этой задаче можно было бы заменить двумя сплавами разной массы и с разным содержанием чистого вещества (например, одного из двух металлов). Решение при этом практически не изменится, поменяются лишь единицы измерения и названия веществ.
Пример: Виноград содержит 91% влаги, а изюм — 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?
Решение. Используем ключевую идею: будем следить за массой «чистого», т.е. в данном случае «сухого» вещества в винограде и изюме. Пусть для получения 21 килограмма изюма требуется х кг винограда. Из условия следует, что масса «сухого» вещества в х кг винограда равна 0,09х кг. Поскольку эта масса равна массе «сухого» вещества в 21 килограмме изюма, то по условию задачи можно составить уравнение
0,09х = 0,93·21,
откуда
9х = 93·21,
т.е. х = 217 кг.
Ответ. 217.
Тренировочная работа 10
Т10.1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Т10.2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Т10.3. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Т10.4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?
Т10.5. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Т10.6. Первый сплав содержит 10 % меди, второй — 40 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Т10.7. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Т10.8. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Т10.9. В первой кастрюле был один литр кофе, а во второй кастрюле — один литр молока. Из второй кастрюли в первую перелили 100 г молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 100 г смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?
1) Больше молока в кофе, чем кофе в молоке.
2) Больше кофе в молоке, чем молока в кофе.
3) Молока в кофе и кофе в молоке поровну.
4) Недостаточно данных для ответа на вопрос задачи.
Т10.10. На главную городскую площадь приехали два туристических автобуса с пассажирами из одного круиза. Все места в каждом из автобусов были заняты. В первом автобусе находилось 45 польских туристов, во втором — 45 чешских туристов. Во время экскурсии начался ливень, и туристы бросились в автобусы, не разбирая, где чей. В результате в каждом автобусе все 45 мест оказались заняты. Кого больше: чешских туристов в польском автобусе или польских туристов в чешском?
1) Чешских туристов в польском автобусе и польских туристов в чешском поровну.
2) Чешских туристов в польском автобусе больше, чем польских туристов в чешском автобусе.
3) Польских туристов в чешском автобусе больше, чем чешских туристов в польском автобусе.
4) Недостаточно данных для ответа на вопрос задачи.
III.Математика. Всё для ЕГЭ 2011. Часть I: учебно-методическое пособие/Под. ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.:НИИ школьных технологий, 2010.
Задачи на сплавы и смеси
1.К 200 граммам сиропа, содержащего 25% сахара, добавили 75 граммов воды и некоторое количество сахара. После перемешивания получили сироп, содержащий 28% сахара. Определите, сколько граммов сахара было добавлено.
2.В бидон налили 3 литра молока 6% жирности, некоторое количество молока 2% жирности и тщательно перемешали. Определите, сколько литров молока 2% жирности было налито в бидон, если известно, что жирность молока, полученного после перемешивания, составила 3,2%.
3.Два слитка массой 7 кг и 3 кг, состоящих из серебра и примесей других металлов, переплавили в один слиток. Определите процентное содержание серебра в полученном слитке, если известно, что меньший по весу слиток содержал 90% серебра, а больший— 85%.
4.Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер положили 200 г мороженого жирностью 10% и добавили 300 г молока 6%-ой жирности. Определите жирность полученного коктейля (в процентах).
5.Из чаши, содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты, отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды. Определите, сколько граммов воды было добавлено, если известно, что в результате получили 2% -ый раствор.
6.В бидоне было 3 литра молока жирностью 8%. Через сутки из бидона слили 0,5 литра выделившихся сливок. Определите жирность оставшегося в бидоне молока, если жирность сливок составила 12%.