Математические модели задачи фирмы 1 страница

Оглавление

Введение.. 2

1. Оптимизационные экономико-математические модели. 3

1.1. Общая задача оптимизации. 3

1.2. Использование средств MS Excel для построения экономико-математических моделей и нахождения оптимального решения 3

1.3. Линейное программирование. 5

1.3.1. Графический метод решения задач линейного программирования. 5

1.3.2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. 6

1.3.3. Специальные задачи линейного программирования. 7

1.4 Варианты заданий по теме. 10

2. Теоретические модели.. 13

2.1. Теория предельной полезности. 13

2.2 Практическое применение теории предельной полезности. 15

2.3. Эластичность спроса на товар по его цене. 20

2.4 Решения задач на эластичность спроса. 21

2.5. Варианты заданий по теме. 22

3. МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ПРОСТЕЙШИХ РЫНКАХ 23

3.1. Спрос и предложение на рынке одного товара. 23

3.1.1. Спрос. 23

3.1.2. Предложение. 23

3.1.3. Равновесие на рынке одного товара. 24

3.2. Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара. 25

3.2.1. Условия работы двух фирм на рынке одного товара. 25

3.2.2. Стратегия Курно. 25

3.2.3. Стратегия Стакельберга. 25

3.2.4. Объединение двух фирм.. 26

3.2.5. Образование картеля. 26

3.2.6. Стратегия Бертрана. 26

4. Математическая теория производства.. 27

4.1. Основные элементы модели производства. Пространство затрат и производственная функция 27

4.2 Производственная функция Кобба-Дугласа. 28

4.3 Производственная функция CES. 28

4.4 Производственная функция с фиксированными пропорциями. 29

4.5 Производственная функция анализа способов производственной деятельности. 29

4.6 Линейная производственная функция. 29

4.7 Области применения производственных функций. 29

4.8. Варианты заданий по теме. 32

5. Балансовые экономико-математические модели.. 33

5.1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева) 33

5.1.1. Построение модели Леонтьева средствами Excel 33

5.1.2. Использование технологии MathCAD для построения модели межотраслевого баланса Леонтьева 36

5.2. Экономико-математическая модель международной торговли (линейная модель обмена) 38

5.2.1. Построение линейной модели обмена средствами Excel 39

5.2.2. Построение линейной модели обмена средствами MathCad. 40

5.3. Варианты заданий по теме. 42

6. Основы Финансовой математики.. 43

6.1 Временная ценность денег. 43

6.2 Операции наращения и дисконтирования. 43

6.3. Процентные ставки и методы их начисления. 45

6.3.1 Понятие простого и сложного процента. 45

6.3.2 Области применения схемы простых процентов. 46

6.3.3 Внутригодовые процентные начисления. 47

6.3.4 Начисление процентов за дробное число лет. 48

6.3.5 Эффективная годовая процентная ставка. 49

6.4 Варианты заданий по теме. 50

7. Оценка эффективности проектов.. 52

7.1 Математическое дисконтирование. 52

7.2. Чистый приведенный денежный поток. 53

7.3 Примеры решения задач. 54

7.4. Варианты заданий по теме. 55

8. Модели сетевого планирования и управления.. 56

8.1. Общая характеристика сетевого планирования и управления. 56

8.2. Анализ проектов. Метод CPM... 57

8.3. Варианты заданий по теме «Метод CPM». 58

8.4. Анализ проектов. Метод PERT.. 60

8.5. Варианты заданий по теме «Метод PERT». 62

8.6. Оптимизация сетевых моделей по критерию «время-затраты». 63

8.6.1. Методика оптимизации сетевых моделей по критерию «Время – затраты». 63

8.6.2 Пример проведения оптимизации сетевой модели по критерию «Время - затраты». 64

8.7. Варианты заданий по теме «Оптимизация сетевых моделей по критерию «Время-затраты» 67

Библиографический список.. Ошибка! Закладка не определена.

Введение

Математическая экономика - это наука, которая использует математический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений. Объектом изучения (или предметной областью) математической экономики является экономика.

Специфика математической экономики, ее методологическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономические объекты и явления как таковые, а их математические модели. Её цель - получение объективной экономической информации и выработка имеющих важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую экономику можно отнести как к экономической, так и к математической наукам. В первом случае ее следует понимать как тот раздел экономики, который изучает количественные и качественные категории, а также поведенческие аспекты экономических субъектов. Считая же математическую экономику одним из направлений математики, можно отнести ее к тем разделам прикладной математики, которые занимаются оптимизационными задачами и задачами принятия решения

Перед математической экономикой определяют следующие основные задачи: разработка математических моделей экономических объектов; изучение условий существования оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в математических моделях экономики; изучение описательных моделей экономики; анализ экономических величин и статистических данных.

Решение задачи повышения эффективности производства может быть осуществлено на основе использования достижений науки, в том числе экономико-математического моделирования и вычислительной техники. Проникновение математики в экономику, планирование и управление является определяющей особенностью современного этапа научно-технической революции.

Этот процесс интенсивно развивается во всем мире уже не один десяток лет. Появились целые школы математических методов в США, Франции, Германии, Англии и некоторых других странах, что вызвано объективными причинами. Расширение масштабов производства, углубление его специализации, усложнение межхозяйственных связей и другие качественные и количественные изменения в экономике привели к резкому увеличению числа управленческих решений, из которых надо выбрать лучшие.

Чрезвычайно велико значение экономико-математических методов при принятии плановых заданий. Увеличение «цены ошибки» в планировании потребовало решения планово-экономических задач на более высоком уровне их научного обоснования, т.е. прежде всего такими методами, которые давали бы наилучший (оптимальный) или рациональный результат. Большинство задач планирования, как правило, многовариантно. Отыскание наиболее эффективного решения путем прямого перебора всех возможных вариантов требует огромных затрат труда, иногда практически неосуществимых. Поэтому возникает необходимость использования экономико-математических методов, обеспечивающих нахождение оптимального или рационального решения наиболее коротким и наименее трудоемким путем.

В то же время отыскание оптимальных или хотя бы рациональных решений с помощью экономико-математических методов, резко ограничивая количество перебираемых вариантов, требует все же выполнения достаточно большого объема расчетов. Поэтому для комплексного решения этой проблемы необходимо широкое использование современной электронно-вычислительной техники. Появление и развитие электронно-вычислительных машин явилось серьезным толчком к расширению сферы приложения экономико-математических методов. Результатом такого комплексного решения стало создание автоматизированных систем управления (АСУ).

Дальнейшее повышение эффективности АСУ зависит от масштаба внедрения в них экономико-математических моделей планирования производства, и, прежде всего, оптимизационных. Использование современных экономико-математических методов планирования ускоряет и повышает точность планово-экономических расчетов, дает возможность поднять уровень научного обоснования составляемых планов, повысить эффективность производства.

1. Оптимизационные экономико-математические модели.

1.1. Общая задача оптимизации.

Любая экономическая система создаётся с определённой целью, что в экономическом смысле должно характеризоваться критерием её наилучшего состояния – критерием оптимизации. Математическая технология отыскания переменных, определяющих значение критерия наилучшего состояния любого экономического объекта, называется оптимизацией.

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу (критерию), характеризуемому соответствующей целевой функцией. Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определённых исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x₁, x₂, … , x_n) при условиях g_i(x₁, x₂, … , x_n)b_i; (i = 1, 2, … , m), где f и g_i - заданные функции, а b_i - некоторые действительные числа.

Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования, а если хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума и минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств и неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального решения).

Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

Приведём пример построения оптимизационной математической модели. Допустим, мусороперерабатывающему заводу необходимо утилизировать за 6 дней 350 тонн мусора. В распоряжении предприятия имеются четыре установки по переработке отходов производительностью 15, 20, 30, 35 тн/сут., соответственно. Установки могут использоваться на полную мощность, частично и не использоваться. Расходы на обслуживание работающих установок независимо от их загруженности составляют 200, 240, 300 и 310 у.е./сут., в случае простоя расходы по обслуживанию являются нулевыми. Вопрос, как организовать работу предприятия с тем, что бы оно выполнило производственное задание с минимальными затратами?

Для построения модели введём переменные:

n - количество рабочих дней,

m - количество установок по переработке отходов,

x_ij, (i = 1, 2, … , n; j =1, 2, … , m) - объёмы переработанного мусора каждой из установок (j) в каждый из дней (i),

p_j, (j = 1, … , m) - производительности установок,

r_j, (j = 1, … , m) - эксплуатационные затраты,

P - план по переработке мусора,

R - общие затраты на выполнение плана.

Тогда целевая функция ,

при условии и .

1.2. Использование средств MS Excel для построения экономико-математических моделей и нахождения оптимального решения

Для решения различных задач экономико-математического моделирования разработаны различные методики и алгоритмы. Особняком от этих методик стоит «околонаучный» метод случайного перебора всевозможных значений. Этот метод достаточно прост в использовании и подходит для решения большинства задач по моделированию экономических процессов и нахождения оптимального решения. Единственный его недостаток – затрачиваемое на нахождение ответа время, в зависимости от сложности задачи и числа переменных поиск может занимать от нескольких часов до нескольких лет! Однако, при использовании современных компьютерных средств этот фактор становится всё менее значимым.

Для организации перебора вариантов решений нам необязательно быть опытными программистами, достаточно владеть основными навыками работы в табличном редакторе MS Excel. При решении задач данным способом необходимо представлять их в виде набора условий, неравенств, ограничений и самое главное выделить целевую функцию. Так же нам понадобится компьютер с установленным пакетом MS Office любой из её версий. Удостоверьтесь, что на компьютере установлен вместе с данным пакетом табличный редактор Excel и его надстройка «Поиск решения» (Рисунок 1).

Рис1. Диалоговое окно пункта меню MS Excel «Сервис - Надстройки».

Попытаемся решить следующую задачу. Кондитерская фабрика должна закрыться на реконструкцию. Необходимо реализовать оставшиеся запасы сырья, получив максимальную прибыль. Запасы и расход сырья для производства единицы продукции каждого вида, а так же получаемая при этом прибыль представлены на рисунке 2.

Заносим данные из задачи в электронную таблицу. Причём, в качестве начального плана выпуска введём вручную случайные значения, а не те, что указаны в диапазоне B10:F10 рисунка 2. Так же, обращаем внимание на числовые ячейки с 11 по 20 строки, в них нужно указать формулу, а не те цифры, что на рисунке. Прибыль определяется произведением плана выпуска и ценой; затраты – произведением плана выпуска и нормами расхода ресурсов.

Рисунок 2 Исходные данные в электронной таблице.

На следующем этапе через пункт меню «Сервис» вызываем мастер «Поиск решения» (Рисунок 3).

Рисунок 3 Диалоговое окно «Поиск решения».

В окне мастера нужно установить адрес целевой ячейки, выделить стратегию оптимизации, указать изменяемые ячейки и ограничения. В нашей задаче ставилась цель достичь максимальную прибыль, которая подсчитывается в ячейке G11. Поэтому адрес этой ячейки и передадим мастеру в качестве целевой (Рисунок 3). В поле «изменяя ячейки» нужно указать план выпуска каждого из кондитерских изделий, т.е. диапазон ячеек B10:F10. И последнее, что нужно передать мастеру, но не самое маловажное – это список ограничений (условий) задачи.

Из ограничений на Рисунке 3 видно, что план выпуска должен быть целым и неотрицательным, т.е. предприятие не может сделать, например, (2/3) батончика или (-5) конфет. Эта пара условий является типичной для большинства задач. В тоже время условия целостности и неотрицательности явно не проговаривается в задачах, т.к. эти условия считаются самим собой разумеющимися. Отсутствие этих условий в мастере «Поиск решения» приводит, как правило, к некорректным результатам. Третье условие (Рисунок 3) указывает на то, что сумма затрат по каждому из ресурсов G16:G20 не должна превышать имеющиеся в наличие объёмы сырья G4:G8.

После указания всех исходных данных и условий нужно нажать на кнопку «выполнить» (Рисунок 3). Напоминаем, что метод перебора может занять некоторое время, так что придётся немного подождать, когда Excel покажет ответ – план выпуска каждого из кондитерских изделий. На рисунке 2 приведён ответ к задаче.

1.3. Линейное программирование

1.3.1. Графический метод решения задач линейного программирования

Задача линейного программирования в общей постановке состоит в отыскании значений переменных , доставляющих экстремумы функции при условиях:

Как следует из приведённых выше приложений, условия представляют собой систему нестрогих линейных неравенств, а показатель эффективности является аддитивной линейной функцией переменных.

Для решения задач линейного программирования в зависимости от их специфики применяют различные методы: графический, симплекс-метод, распределительный и др.

Графический метод решения задач ЛП имеет весьма ограниченное применение и главным образом используется для иллюстрации существа подобных задач. В этой связи отметим, что если система ограничений задачи задана в виде системы с двумя переменными, то такая задача может быть решена графически. Если число переменных выше двух, то следует использовать другие методы для решения такой задачи.

На следующем примере продемонстрируем графический метод решения задач линейного программирования. Допустим, что некая фирма выпускает два вида видеокарт. Для производства последних фирма использует ряд компонентов, имеющихся у них на складе в ограниченном количестве. Расход и наименование компонент представлены в таблице 1.

Цена видеокарты I 50$, а видеокарты II 60$. Сколько видеокарт каждого вида необходимо произвести для получения максимальной прибыли?

Таблица 1

Ресурсы	Запас	Расход ресурсов для производства
видеокарты I	видеокарты II
Блок памяти
Микрочип JQ31
Транзистор F1

Математическая постановка задачи. Найти , доставляющих максимум целевой функции , при ограничениях:

Графическое решение. В системе координат строим графики приведённой выше линейной зависимости. Каждый график рассечет плоскость на две полуплоскости. Определяем, какая из полученных полуплоскостей удовлетворяет неравенству. Для этого берём любую точку и её значения подставляем в неравенства. Если неравенство выполняется, значит, найдена нужная полуплоскость, иначе нужная полуплоскость будет противоположной. На рисунке 4а все полуплоскости, удовлетворяющие неравенству, нарисованы серым фоном, а неудовлетворяющие обозначены штриховой насечкой.

Графики неравенств, в совокупности, рассекая плоскость на отдельные участки, формируют многоугольную фигуру, точки внутри которой удовлетворяют всем неравенствам одновременно. Вершины фигуры обведены окружностями.

Далее на этом же рисунке изображаем прямую, полученную с использованием целевой функции для случая . График данной функции перемещаем параллельно себе до максимально удалённой от неё вершины (Рисунок 4б). Из рисунка видно, что данной вершиной является точка пересечения графиков неравенств затрат «транзисторов» и «микрочипов». Эта точка и показывает значения для оптимального производства. Учитывая условия целостности, ответом к задаче будет план производства одной видеокарты первого вида и шести видеокарт второго, а прибыль составит ден.ед.

а) б)

Рисунок 4 Графическое решение

1.3.2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод в отличие от графического универсален. С его помощью можно решать задали линейного программирования с неограниченным числом переменных. Применение симплекс-метода осуществляется в два этапа:

- нахождение допустимого базового решения;

- последовательное улучшение полученного на предыдущем этапе решения до достижения оптимального.

Основные операции алгоритма симплекс-метода удобно проиллюстрировать с использованием конкретного примера. Воспользуемся задачей о производстве видеокарт, которую мы уже решили графическим методом. Для корректной постановки математической задачи необходимо все неравенства перевести в уравнения путём добавления новых переменных:

Целевая функция остаётся прежней: .

Для решения задачи составим симплекс-таблицу (табл. 2). Значения аргументов переписываются из системы уравнений и целевой функции. Правая часть определяется как правая часть системы уравнений. Столбец «базис» показывает текущее значение целевой функции, т.е. при , и значение целевой функции равно нулю.

Таблица 2

№	Правая часть	Базис

Каким образом определить, какие аргументы окажутся в столбце «базис»? Для этого, нужно обратить внимание в каких столбцах содержаться одна единица и нули. В таблице 2 это столбцы , и . В этих столбцах строка с единицей и показывает базис. Например, в столбце поле с единицей находится во второй строке, соответственной базис по второй строке будет .

Таблица 2 является опорной базовой таблицей и ещё не содержит оптимальное значение целевой функции. Для приближения к оптимальному значению функции , данная таблица должна быть пересчитана и возможно не на один раз.

После каждого пересчёта значение должно возрастать. Правая часть никогда не должна содержать отрицательных значений. Пересчёт нужно вести пока в последней строке симплекс-таблице не исчезнут положительные числа.

Для пересчёта симплекс-таблицы нужно принять одну из ячеек в качестве разрешающего элемента, по которому будет вестись пересчёт всей симплекс-таблицы. Что бы выбрать разрешающий элемент нужно:

- определить столбец, содержащий максимальное значение (столбцы содержащие только отрицательные и нулевые ячейки в расчёт не берутся);

- определить строку, в выбранном столбце, в которой содержится число больше нуля (в случае если таких строк несколько выбирают ту, в которой соотношение значения «правой части» ячейки и её самой минимально).

Таким образом, на пересечении выбранного столбца и строки получаем опорную ячейку относительно, которой и пойдёт дальнейший пересчёт. В таблице 2 эта ячейка отмечена рамкой. При пересчёте: в опорном столбце проставляются нули по всем строкам. Значения ячеек опорной строки делятся на значение ячейки, содержащей разрешающий элемент. В ячейке с определяющим элементом ставится единица. Остальные ячейки пересчитываются по следующей схеме, представленной на рисунке 5, где

П - пересчитываемая ячейка;

О - опорная ячейка, с разрешающим элементом;

А и Б - смежные ячейки.

Формула пересчёта: .

		А		П

		O		В

Рисунок 5 Схема перерасчёта симплекс-таблицы

В таблице 3 представлена первая и последующие итерации (пересчёт) симплекс-таблицы.

Таблица 3

№					Правая часть	Базис
	1/2	1/6			31/6
		-4/3			17/3
	13/2	-7/6			215/6
		-10			-310

		1/2	-1/4		15/4
		-2/3	1/2		17/6
		19/6	-13/4		209/12
		10/3	-10		-1100/3

			5/19	-3/19
			-7/38	4/19	13/2
			-39/38	6/19	11/2
			-125/19	-20/19	-385