Математические модели задачи фирмы 8 страница
Из формулы (2.6) следует, что в рамках одного года:
Согласно определению эффективной годовой процентной ставки:
отсюда:
(2.11)
Из формулы (2.11) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка re является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.
Приведём пример: предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 75% годовых (вариант 1), либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 80% годовых (вариант 2). Какой вариант более предпочтителен?
Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки - чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле (2.11):
При первом варианте : 
При втором: 
Таким образом, второй вариант является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель - эффективная ставка, а она, как следует из формулы (2.11), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.
6.4 Варианты заданий по теме
1. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под простую ставку 20% годовых (год не високосный). Рассчитать всеми известными способами сумму к погашению.
2. Найти величину дохода кредитора, если за предоставление в долг на полгода некоторой суммы денег он получил от заемщика в совокупности 6,3 тыс. руб. При этом применялась простая процентная ставка в 10% годовых.
3. При обращении 6 июля в банк с целью получения кредита предприниматель получил 10 тыс. руб. Найти, какую сумму должен будет возвратить предприниматель, если долг необходимо вернуть 14 сентября того же года и начисленные простые проценты по ставке 12% годовых, которые были удержаны банком в момент предоставления кредита. Использовать способ 365/360.
4. Товар ценой в 3 тыс. руб. продается в кредит на 2 года под 12% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами, причем начисляются простые проценты. Определить долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа.
5. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные простые проценты с приближенным числом дней?
6. Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по простой учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по простой процентной ставке наращения при временной базе, равной 365
7. На капитал в 3 млн. руб. в течение 3 лет осуществляется наращение простыми процентами по учетной ставке 33%. Найти приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.
8. Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя: номинальная стоимость 150 тыс. руб., срок векселя – 60 дней, ставка простых процентов за предоставленный кредит – 15% годовых. Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке; предложенная банком дисконтная ставка простых процентов составляет 25%. Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком, если используется способ «360дн в году».
9. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.
10. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: a) учёт ведется по схеме сложных процентов; б) для первого года процентная ставка равна 10% годовых; в) на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.
11. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов по смешанной схеме (первый год по простым, остальные - по сложным). Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
12. Вкладчик хотел бы за 5 лет удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каждые полгода?
13. Предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых, либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27%. Какой вариант более предпочтителен?
14. Из какого капитала можно получить 4 тыс. руб. через 5 лет наращением сложными процентами по ставке 12%, если наращение осуществлять ежеквартально? Какова получится при этом величина дисконта?
15. Определить современное значение суммы в 4 тыс. руб. смешанным способом (первый год по простым, остальные - по сложным процентам), если она будет выплачена через 2 года и 3 месяца, и дисконтирование производилось по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 10%.
16. Рассчитать эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта (ежегодно, ежемесячно, ежедневно) и номинальной учетной ставке сложных процентов равной 10%. Количество дней в году принять равным 365.
17. На вклад ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 16%. За какой срок первоначальный капитал увеличится в 3 раза? Чему будет равна эффективная ставка эквивалентная номинальной?
18. За долговое обязательство в 300 тыс. руб. банком было выплачено 200 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась эффективная учетная ставка 8% годовых? Чему будет равна при таких условиях номинальная учетная ставка при ежемесячном дисконтировании?
19. На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 4 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возвращаемой суммы не превышала 4,2 тыс. руб., если процентная ставка равна 12% и в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней?
20. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%.
21. При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 16% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 10% в год.
22. Вексель на сумму 45 тыс. руб. был учтен за 3 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 18 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп инфляции ожидается равным 14%.
23. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме (первый год по простым, остальные - по сложным процентам). Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%.
24. Клиент положил в банк 60 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых и через полгода с учетом уплаты налога на проценты получил 70,2 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты.
25. На вклад в 2 млн. руб. в течение четырех лет начислялись каждые полгода сложные проценты по годовой номинальной ставке наращения 12%. Определить наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога равна 8%.
26. В течение 6 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год, составляя в сумме 40 тыс. руб. Определить сумму, накопленную к концу шестого года при использовании процентной ставки 12% годовых. Количество дней в году принять равным 360.
27. Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 20 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых. Найти современную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если проценты начисляются ежемесячно.
28. Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 60 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: ежегодно; по полугодиям; ежемесячно.
29. Предприниматель получил на 5 лет ссуду в размере 400 тыс. руб., причем ежегодно он должен выплачивать кредитору проценты по ставке 20%. Одновременно с получением ссуды предприниматель (для ее погашения) создает страховой фонд, в который в конце каждого года будет делать одинаковые взносы, чтобы к моменту возврата долга накопить 400 тыс. руб. Определить суммарные ежегодные затраты предпринимателя, если на деньги, находящиеся в фонде, начисляются сложные проценты по ставке 24%.
30. Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 12 тыс. руб., если банк начисляет ежегодно сложные проценты по ставке 28% годовых.
31. Компания за предыдущий год выплатила 2,7 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 4% ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделать вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 20 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 14% годовых.
32. За 10 лет необходимо накопить 50 тыс. руб. Какова должна быть величина первого вклада, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 400 руб. и процентная ставка равна 20% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляется в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 1,5 тыс. руб.
7. Оценка эффективности проектов
7.1 Математическое дисконтирование
В хозяйственной (экономической) деятельности приходится разрабатывать проекты, оценивать их, принимать решения по проектам и управлять их реализацией. Примеры проектов: развитие предприятия, строительство электростанции, создание новой технологии, эмиссия акций, приобретение предприятия, замена оборудования и множество других. Проект - это совокупность действий, которые нужно совершить, чтобы достичь поставленную цель.
Всякий проект связан с затратами (издержками) и результатами. Затраты - это расход денег, результаты - получение денег (доход). Затраты и результаты могут быть мгновенными (точечными) или текущими. Точечные затраты называются инвестициями, под которыми понимаются вложения денег в прирост (увеличение) капитала. Текущие затраты - расход денег на производственную деятельность (зарплату, сырье, транспорт, налоги и т.д.). Текущие затраты считают за какой-нибудь период (месяц, квартал, год) и относят обычно к концу этого периода. Доходы также могут быть мгновенными (от продажи оборудования, финансовых активов, самого предприятия) или текущими (от продажи продукции). Текущие доходы также считают за некоторый период и относят к его концу. Таким образом, с финансовой точки зрения хозяйственная деятельность сводится к денежным потокам, притоку и оттоку денег. Чистый денежный поток – это сальдо (разность) между притоком и оттоком денег. Приток денег считается со знаком плюс, отток со знаком минус. Под эффективностью хозяйственной деятельности понимается разность или соотношение результатов и затрат с учетом разновременности тех и других.
Одна и та же сумма денег, полученная или израсходованная в разное время, оценивается людьми по-разному. Предложите человеку получить тысячу рублей сейчас или через год, он выберет сейчас. Наоборот, предложите ему уплатить тысячу сейчас или через год, он выберет через год. И дело здесь вовсе не в том, что при инфляции деньги обесцениваются. Даже при полном отсутствии инфляции, при неизменных ценах, одинаковые денежные потоки в разное время имеют различную ценность. Возникает экономическая проблема приведения разновременных денежных потоков к одному времени. Этот процесс называется математическим дисконтированием. Денежные потоки можно привести к любому времени в будущем или прошлом. Но чаще всего они приводятся к начальному моменту времени.
Процедуру дисконтирования рассмотрим на следующем примере. Пусть сейчас имеется Р денег. Эквивалентную сумму через год обозначим S. Под эквивалентностью понимается следующее: человеку предлагают P сейчас или S через год и ему трудно выбрать, он считает P и S равнополезными (равноценными). Какие же величины P и S называются равноценными? Имея P денег сейчас, человек может пустить их в оборот: вложить в производство, торговлю, дать в долг, купить акции, облигации, положить на срочный депозит в банк. Пусть деньги положены в банк под ставку процента i. Тогда через год сумма Р превратится в P·(1+i)=P+Pi. Точно так же дает прирост любое вложение денег: время – деньги. Другое дело, что ошибочное вложение денег может дать отрицательный прирост (убыток). В любой момент все возможные ставки связаны между собой, т.е. с ростом доходности производства растут цены любых активов, растет банковская ставка процента и наоборот.
Рассмотрим, каким образом происходит прирост денежной массы.
Обозначим: P – текущая сумма;
S – сумма через год эквивалентная Р;
I – процент;
i – ставка наращения процентов;
D – дисконт;
Будущая сумма (S) определяется S=P·(1+i).
Процент (I) определяется I = S – P, т.е. он показывает прирост Р за год.
Дисконт (D) определяется D = S – P, т.е показывает скидку с суммы денег S, если её хотят получить на год раньше.
Схема прироста денег показана на рис. 3.1.
Рисунок 3.1 Прирост денежной массы
Как можно перемещать деньги во времени? Получив Р денег сейчас, вложите их в любое прибыльное дело под годовую ставку процента i и через год получите P·(1+i) через два года P·(1+i)2 а через t лет P·(1+i)t. Расчет ведется по формуле сложных процентов, т.к. полученный в каждый год процент I = P·(1+i)t - P·(1+i)t-1 снова вкладывается в дело. Так происходит перемещение денег во времени вперед.
Теперь рассмотрим перемещение денег во времени назад. Пусть вы знаете, что через год получите S денег. Как эти деньги переместить назад – из будущего в настоящее? Возьмите в банке ссуду Р под i процентов. Чтобы S было достаточно для уплаты ссуды с процентами, вы должны взять 
. Если S предстоит получить через t лет, тогда 
.
Процедура получения P сейчас вместо S потом, с уменьшением P по сравнению с S, называется дисконтированием. Коэффициент уменьшения 
называется коэффициентом дисконтирования, а сама процедура приведения будущих потоков денег к текущему моменту времени - математическим дисконтированием.
Общая формула математического дисконтирования описывается следующим образом:
(3.1)
где t - время в годах;
St - денежный поток в год t с учетом знака: приток – плюс, отток – минус; если в год t есть несколько независимых притоков и оттоков, то St – чистый денежный поток (сальдо, итог) в год t;
r - норма дисконтирования; до сих пор мы пользовались величиной банковской ставки процента i, теперь будем пользоваться r как средневзвешенной ставкой по всем видам деятельности;
P - чистый денежный поток, приведенный к начальному времени;
T - горизонт планирования, т.е. время в годах, за которое рассматриваются денежные потоки;
Денежные потоки можно привести к любому моменту времени. Момент времени, к которому приводятся денежные потоки, объявляется нулевым t = 0. Во все предшествующие годы t < 0, а во все последующие t > 0.
Дисконтирование можно осуществлять не только по годам, но и по любым другим отрезкам времени - кварталам, месяцам, неделям и даже дням. В любом случае t – порядковый номер этапа (отрезка времени) на оси времени, а r – ставка процента на отрезок времени (год, квартал, месяц, неделю, день); формула математического дисконтирования остается неизменной, меняются значения t и r.
7.2. Чистый приведенный денежный поток
Любой денежный поток (как приток, так и отток) обозначается St. Проведем качественное различение денежных потоков.
Будем различать инвестиции как разовые точечные расходы на реализацию проекта, приводящие к приросту капитала, и прибыль как чистый приток денег в результате производственной деятельности. Инвестиции – это отрицательный поток денег, расход их на прирост капитала. Но могут быть и дезинвестиции - сокращение капитала, например, продажа оборудования, здания, сокращение оборотного капитала. Это положительный денежный поток. Один из видов положительных денежных потоков в результате инвестиций – так называемый концевой эффект. Допустим, построено предприятие, несколько лет (Т) эксплуатируется – при этом основной капитал амортизируется (изнашивается) и в результате сокращается. В конце горизонта планирования Т имеется остаточная стоимость предприятия – остаточный капитал. Это положительный приток денег, и он должен учитываться при оценке проекта. В процессе функционирования предприятие получает выручку от реализации (продажи) продукции, но имеет текущие издержки при производстве продукции. Разница между реализацией (выручкой) и издержками является прибылью или убытком (отрицательной прибылью). Прибыль есть чистый приток денег в результате хозяйственной деятельности положительный или отрицательный.
Обозначим:
It – инвестиции в год t; берем их положительную величину, а то, что это отток денег, будем учитывать знаком (-) в формуле; дезинвестиции – величина отрицательная;
Pt – прибыль в год t, может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Теперь есть две равноценные возможности вычисления чистого приведенного денежного потока:
а) вычислить чистый денежный поток в каждый отдельный отрезок времени (St = Pt - It) а затем произвести дисконтирование величины St;
б) дисконтировать отдельно прибыль и инвестиции, а потом из дисконтированной прибыли вычесть дисконтированные инвестиции.
Воспользуемся второй возможностью.
Обозначим: P0– дисконтированная прибыль;
I0– дисконтированные инвестиции;
NPV – чистый приведенный денежный поток;
и проведём расчёт:
 ;
|  ;
| 
| (3.2) |
По величине NPV судят об эффективности проекта:
NPV>0 – проект эффективен, т.е. ежегодно будет приносить больше чем r процентов прибыли от вложенных средств;
NPV=0 – проект нейтрален, он ежегодно будет приносить ровно r процентов прибыли;
NPV<0 – проект неэффективен, он будет приносить меньше r процентов прибыли ежегодно.
Уточним, что принимается в качестве нормы дисконтирования r. Величину r назначает главное лицо по реализации проекта – человек, осуществляющий инвестиции. В качестве r он назначает ожидаемую им норму прибыли от инвестиций. Например, он может принять r = i, где i – банковская ставка процента по срочным депозитам. Если окажется, что NPV = 0, то r = i, и эффективность (доходность) инвестиций равна эффективности (доходности) хранения денег на срочном депозите. Вряд ли в этом случае есть смысл заниматься инвестициями в производство. Если NPV > 0, то r > i, и инвестиции в производство будут белее эффективны чем хранение денег в банке под процент.
NPV – это разность между дисконтированными прибылью и инвестициями. Иногда эффективность проектов оценивается не разностью доходов и расходов, а их отношением. Обозначим PI – индекс рентабельностиинвестиционного проекта.
(3.3)
Оценка эффективности проекта по индексу рентабельности:
PI > 1 – проект эффективен;
PI = 1 – оценка проекта нейтральна;
PI < 1 – проект неэффективен.
Обратим внимание на то, что оценка эффективности проекта по чистому приведенному денежному потоку и по индексу рентабельности дает одинаковый результат, т.к. между NPV и PI существует взаимно однозначное соответствие.
7.3 Примеры решения задач
Пример 1.
Предприятие собирается закупить и использовать технологическую линию, затратив на покупку 13 млн. рублей, причем 10 млн. сразу и еще 3 млн. через год. Линия будет эксплуатироваться 5 лет с амортизацией 20% ежегодно. Инвестиции можно представить следующей таблицей:
млн. руб.
| 0 год | 1 год | 2 год | 3 год | 4 год | 5 год | |
| Инвестиции | ||||||
| Амортизация 20% | 2,6 | 2,6 | 2,6 | |||
| Остаточная стоимость | 1,2 |
Остаточная стоимость представляет разность всего объёма инвестиций и амортизационных отчислений, т.е. (10+3)-(2+2+2,6+2,6+2,6)=1,2 млн. рублей.
Текущие денежные потоки задаются следующей таблицей:
млн. руб.
| 0 год | 1 год | 2 год | 3 год | 4 год | 5 год | |
| Реализация | 6,5 | 7,5 | 8,8 | 8,0 | 7,5 | |
| Издержки | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | |
| Прибыль | 3,1 | 4,0 | 5,2 | 4,3 | 3,7 |
Необходимо оценить эффективность проекта при норме дисконтирования 18% (r = 0,18).
Рассчитываем чистые денежные потоки, коэффициенты дисконтирования и чистый приведенный денежный поток.
млн. руб.
| 0 год | 1 год | 2 год | 3 год | 4 год | 5 год | |
| Инвестиции (It) | -1,2 | |||||
| Прибыль (Pt) | 3,1 | 4,0 | 5,2 | 4,3 | 3,7 | |
| Чистый поток (St = Pt - It) | -10 | 3,1 | 1,0 | 5,2 | 4,3 | 4,9 |
| Коэффициент дисконтирования (r = 0,18) | 0,8474 | 0,7182 | 0,086 | 0,5158 | 0,4371 |
Рассчитаем чистый приведенный денежный поток как сумму произведений чистого потока на коэффициенты дисконтирования.
млн. рублей.
Так как NVP > 0, то при r = 0,18 проект является эффективным.
Выполним проверку ответа и рассчитаем отдельно - приведенные прибыль (Р0) и инвестиции (I0).
млн. рублей.
млн. рублей.
млн. рублей.
Как видим, два пути расчета NPV дают один и тот же результат.
Рассчитаем индекс рентабельности.
И по индекс рентабельности проект эффективен PI > 1.
Оба показателя NVP и PI дают одинаковый результат.
Пример 2.
Сравнить эффективность двух инвестиционных проектов, рассчитанных на 3 года, при дисконте d = 20%. В таблице заданы чистые прибыли/убытки за каждый год:
(тыс.руб.)
| 1 год | 2 год | 3 год | |
| проект А | -1000 | ||
| проект Б | -1000 |
Приведем чистые прибыли/убытки каждого года к деньгам первого года. Для этого суммы второго года разделим на 1,2, а суммы третьего года - на 1,22 = 1,44:
(тыс.руб.)
| 1 год | 2 год | 3 год | |
| проект А | -1000 | ||
| проект Б | -1000 |
После этого, просуммировав приведенные прибыли/убытки за 3 года, получим чистую приведенную стоимость каждого проекта.
; 
.
Таким образом, при дисконте d = 20% более эффективным оказывается проект «А».
7.4. Варианты заданий по теме
Задание 1
Проект, требующий 700 ден.ед. начальных инвестиций, приносит прибыль 1000 ден.ед. через два года. Годовая (эффективная) банковская процентная ставка равна 12%. Определить текущую ценность проекта.
Задание 2
Последовательность денежных потоков проекта представлена в виде следующей таблицы.
| Денежные потоки | -1000 | -200 | ||||
| Годы |
Известно, что внутренняя норма прибыли альтернативных проектов с таким же финансовым риском, как и у данного проекта, равна 16%. Определить чистую текущую ценность и внутреннюю норму прибыли данного проекта.
Задание 3
Проект требует 1500 ден.ед. начальных инвестиций. В конце первого, второго и третьего годов ожидаемые денежные потоки составят 500 ден.ед. Рыночная стоимость проекта в конце третьего года оценивается в 600 ден.ед. Известно, что норма прибыли альтернативных проектов равна 10%. Найти чистую текущую ценность данного проекта.
8. Модели сетевого планирования и управления
8.1. Общая характеристика сетевого планирования и управления
Выполнение комплексных научных исследований, а также проектирование и строительство промышленных, сельскохозяйственных и транспортных объектов требуют календарной увязки большого числа взаимосвязанных работ, выполняемых различными организациями. Составление и анализ соответствующих календарных планов представляют собой весьма сложную задачу, при решении которой применяются так называемые методы сетевого планирования. По существу, этот метод дает возможность определить, во-первых, какие работы или операции из числа многих, составляющих проект, являются «критическими» по своему влиянию на общую календарную продолжительность проекта и, во-вторых, каким образом построить наилучший календарный план проведения всех работ по данному проекту с тем, чтобы выдержать заданные сроки при минимальных затратах.