Метод замены плоскостей проекций

(к задачам 5, 6,7)

Данную геометрическую фигуру оставляют в системе плоскостей проекций неподвижной. Новые плоскости проекции устанавливают так, чтобы получаемые на них проекции обеспечивали рациональное решение рассматриваемой задачи. При этом каждая новая система плоскостей проекций должна быть системой ортогональной. После проецирования объектов на плоскости, они совмещаются в одну посредством вращения их вокруг общих прямых (осей проекций) каждой пары взаимно перпендикулярных плоскостей.

 

 
 


Так например, пусть в системе двух плоскостей П1 и П2 задана точка А. Дополним систему еще одной плоскостью П4 (рис. 20), П14. Она имеет общую линию Х14 с плоскостью П1. Строим проекцию А4 на П4.

АА12А124А14.

 

На рис. 21, где плоскости П1, П2 и П4 приведены в совмещение, этот факт определен результатом А1А414, а А14А42А12.

 

Правило:

Расстояние новой проекции точки до новой оси проекции (А4А14) равно расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси (А2А12).

 

 

Большое количество метрических задач начертательной геометрии решаются на основе следующих четырех задач:

 

 

1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (рис.22):

 
 

 


а) П4 || АВ (ось Х14 || А1В1);

б) А1А414; В1В414;

в) А4А1412А2;

В4В1412В2;

А4В4 - н.в.

 

 

2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую (рис.23):

 

а) П4 || АВ (Х14 || А1В1);

А1А414;

В1В414;

А14А412А2;

В14В412В2;

А4В4 - н.в.;

б) П5^АВ (Х454В4);

А4А545;

В4В545;

А45А545В514А114В1;

Рис. 23
А5ºВ5.

 

Х14
В2
3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение (рис.24):

Плоскость можно привести в проецирующее положение, если одну прямую плоскости сделать проецирующей. В плоскости АВС проведем горизонталь (h2, h1), которую за одно преобразование можно сделать проецирующей. Проведем плоскость П4 перпендикулярно горизонтали; на эту плоскость она спроецируется точкой, а плоскость треугольника - прямой линией.

 

В2
4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (рис.25).

 
 


Плоскость сделать плоскостью уровня с помощью двух преобразований. Вначале плоскость надо сделать проецирующей (см. рис. 25), а затем провести П5 || А4В4С4, получим А5В5С5 - н.в.

 

Задача №5

Определить расстояние от точки С до прямой общего положения (рис.26).

 


Решение сводится ко 2-й основной задаче. Тогда расстояние по эпюре определяется как расстояние между двумя точками

А5ºВ5ºD5 и С5.

Проекция С­4D4 || Х45.

 

 

 
 
Рис. 26

 

 


Задача №6

Определить расстояние от (×)D до плоскости, заданной точками А,В,С, (рис. 27).

 
 

 


Задачу решают, используя 2-ю основную задачу. Расстояние (Е4D4), от (×)D4 до прямой A4C4В4 ,в которую спроецировалась плоскость АВС, является натуральной величиной отрезка ED.

Проекция D­1E1 || Х14 ;

Е2ЕХ124 ЕХ14.

 

Построить самостоятельно D­1E1.

Построить самостоятельно D­2E2.

 
 
Рис. 27

 

 


Задача №7

Определить натуральную величину треугольника АВС (см. решение 4-й основной задачи) (рис.25)

Контрольная работа №2