?? /?? ¹??/?? Þ ?Iuml;АВ

Двумя точкам?(???.

Рассмотрим дв?точк??пространстве ?/i> ?strong> ?(ри? 15). Чере?эт?точк?можн?провести пряму?лини? Для того чтоб?найт?проекции отрезк?[BA] на плоскост?проекций необходимо найт?проекции точе?strong> ??strong> ??соединит?их прямо? Кажд? из проекций отрезк?на плоскост?проекций меньше самого отрезк?

A1B1]<[BA]; [A2B2]<[BA;] [A3B3]<[BA].

? модель ? эпюр

Рисуно?15.Определени?положения прямо?по двум точкам

Обозначи?углы межд?прямо??плоскостями проекций чере?- ?плоскостью ?, - ?плоскостью ?, - ?плоскостью ? ?тогд?получи?

|??|=|BA|cos a

|A2B2|=|AB|cos b

|A3B3|=|AB|cos g.

Частны?случай |A1B1|=|A2B2|=|A3B3| пр?тако?соотношени?прямая образует ?плоскостями проекций равные межд?собо?углы a=b=g=35⁰, пр?этом кажд? из проекций расположен?по?угло?strong> 45⁰ ?соответствующи?ося?проекций.

Двумя плоскостями (a; b).

Этот способ задания опреде?ет? те?чт?дв?непараллельные плоскост?пересекают? ?пространстве по прямо?лини?(этот способ подробно рассматривается ?курс?элементарной геометри?.

Двумя проекц?ми.

Пуст??плоскостя?? ?strong> ? даны проекции прямы?заданных отрезкам?strong> [??] ?strong> [A2B2]. ?/i>роведе?чере?эт?прямы?плоскост?a ?strong> b перпендику?рные плоскостя?проекций. ?то?случае если эт?плоскост?непараллельные (ри?16?, линией их пересечения буде?прямая заданн? отрезком [АВ], проекц?ми которо?являют? отрезк?strong> [??] ?strong> [??].

? непараллельн? ? параллельн?

Рисуно?16.Определени?положения прямо??пространстве по двум проекц??отрезк?

Плоскост?a ?b могу?слиться ?одну плоскост?g, если, например, проекции [?/i>1?/i>1] ?[?/i>2?/i>2] перпендику?рн?ос?x ?пересекают ее ?одно?точк?(ри?16?. Прямая линия ?этом случае буде?однозначно определена своими проекц?ми, если на каждой из ни?обозначить дв?каки?либо точк? Если же обозначени?не делать, то за искому?пряму?можн?принять любу?пряму? лежащу??этой плоскост?пр?услови? чт?он?непараллельн? ни одно?из плоскостей проекций. Точк??/i>, ?данном случае - точк?пересечения прямо??плоскостью ?/i>2. 4. Точкой ?углами наклон??плоскостя?проекций. Зн? координаты точк?принадлежаще?прямо??углы наклон?ее ?плоскостя?проекций можн?найт?положени?прямо??пространстве(ри?17).

Рисуно?17. Определени?положения прямо?по точк??угла?наклон??плоскостя?проекций

положени?прямо?лини?относительно плоскостей проекций

Прямая по отношени??плоскостя?проекций он?може?занимать ка?обще? та??частны?положения.

1. Прямая не параллельн? ни одно?плоскост?проекций называет? прямо?общего положения (ри?18).

Рисуно?18. Прямая общего положения

2. Прямы?параллельные плоскостя?проекций, занимают частно?положени??пространстве ?называют? прямыми уров?. ?зависимост?от того, како?плоскост?проекций параллельн?заданн? прямая, различаю?

2.1. Прямы?параллельные горизонтальной плоскост?проекций называют? горизонтальным?/i> ил?горизонталями (ри?19). Для любо?пары точе?горизонтал?должно быть справедлив?равенств?/p>
z_A=z_B Þ A₂B₂//0x; A₃B₃//0y Þ x_A–x_B, y_A–y_B, z_A–z_B=.

? модель ? эпюр

Рисуно?19. Горизонтальн? прямая

2.2. Прямы?параллельные фронтально?плоскост?проекций называют?фронтальнымиил?strong>фронта?ми (ри?20).

y_A=y_BÞ A₁B₁x, A₃B₃z Þ x_A–x_B, y_A–y_B=, z_A–z_B.

? модель ? эпюр

Рисуно?20. Фронтальная прямая

2.3. Прямы?параллельные профильной плоскост?проекций называют? профильным?/i> (ри? 21).

x_A=x_B Þ A₁B₁y, A₂B₂z Þ x_A–x_B=, y_A–y_B, z_A–z_B.

Различаю?восходящу?/i> ?нисходящу?/i>профильные прямы? Перв? по мере удален? от зрителя поднимается, втор? - понижает?.

? модель ? эпюр

Рисуно?21. Профильн? прямая

3.1. Фронтально проецирующ? прямая - АВ(ри? 22)

x_A–x_B=ü

y_A–y_Bý

z_A–z_B=þ,

3. Прямы?перпендику?рные плоскостя?проекций, занимают частно?положени??пространстве ?называют? проецирующим? Прямая перпендику?рн? одно?плоскост?проекций, параллельн?двум другим. ?зависимост?от того, како?плоскост?проекций перпендику?рн?исследуемая прямая, различаю?

? модель ? эпюр

Рисуно?22. Фронтально проецирующ? прямая

3.2.Профильн?проецирующ? прямая - АВ (ри?23)

x_{?/sub>–x_Bü}

y_{?/sub>–y_B=ý}

z_{?/sub>–z_B=þ,}

? модель ? эпюр

Рисуно?23. Профильн?проецирующ? прямая

3.3. Горизонтальн?проецирующ? прямая - АВ (ри?24)

x_{?/sub>–x_?/sub>=ü}

y_{?/sub>–y_?/sub>=ý}

ZА–z?#8800;þ.

? модель ? эпюр

Рисуно?24. Горизонтальн?проецирующ? прямая

4. Прямы?параллельные биссекторным плоскостя?(ри? 25)

АВ S1би?Þ x_A–x_B=; z_B–z_A=y_B–y_A;

СDS2би?Þ x_{?/sub>–x_D=; z_D–z_C=y_C–y_D.}

Биссекторной плоскостью называет? плоскост? проходящая чере?ос?0?/strong> ?де?щая двухгранны?угол межд?плоскостями проекций ?sub>1 ??sub>2попола? Биссекторн? плоскост?проходящая чере?1 ?3 четверти называет? первой биссекторной плоскостью (S1би?/strong>), ?чере?2 ?4 четверти - второй (S2би?/strong>).

5. Прямы?перпендику?рные биссекторным плоскостя?(ри? 25)

АВ^S2би?Þ x_A–x_B=; z_B–z_A=y_{?/sub>–y_?/sub>;}

СD^S1би?Þ x_{?/sub>–x_D=; z_D–z_C=y_C–y_D.}

? модель ? эпюр

Рисуно?25. Прямы?параллельные ?перпендику?рные биссекторным плоскостя?

след?прямо?лини?

Следом прямо?лини?называет? точк?(ри? 26), ?которо?прямая пересекает? ?плоскостью проекций (та?ка?след - точк? принадлежащая одно?из плоскостей проекций, то одна из её координа?должна быть равн?нулю).

Горизонтальный след - ?/i> (z_M=0)-точк?пересечения прямо??горизонтальной плоскостью проекций.

Фронтальны?/i> след - N (y_N=0)- точк?пересечения прямо??фронтально?плоскостью проекций.

Профильный след - ?/i> (x_{?/sub>=0)- точк?пересечения прямо??профильной плоскостью проекций.}

? модель ? эпюр

Рисуно?26.След?прямо?лини??систем?трех плоскостей проекций

След?прямо?являют? точкам?частного положения. Одноименны?проекции след?прямо?совпадаю??сами?следом, ?другие проекции лежа?на ося? Например, фронтальны?след прямо?N₂ºN, ?N₁ лежи?на ос?x, N₃- на ос?z.Отмеченные особенност??расположении следов проекций позволяет сформулировать следующи?правил?

Для построен? горизонтальног?след??прямо?необходимо продолжить ее фронтальну?проекцию до пересечения ?осью 0x ??этой точк?восстановить перпендику???ос?до пересечения ?горизонтальной проекцие?прямо?

Для построен? фронтального след?N прямо?нужн?из точк?пересечения горизонтальной проекции её ?осью 0x восстановить перпендику??до пересечения ?фронтально?проекцие?прямо?

?помощь?этих правил найден?на эпюр?след?прямо??ри?27) . Здес?же показаны совпавши?/i> проекции точк?? принадлежаще?рассматриваемо?прямо? Особенност?этой точк??то? чт?он?равноудалена от плоскостей проекций, то есть нахо?тся ?биссекторной плоскост?S2би? След?прямо? являют? точкам? ?которы?прямая переходи?из одного октант??другой, позволяют отмечать её видимост? Видимо?частью прямо?буде?та, которая расположен??пределах первог?октант?

Рисуно?27. Нахождение горизонтальног??фронтального следов прямо?лини?

Взаимное расположение точк??прямо?

Если точк?принадлежи?прямо? то её проекции должны принадлежать одноименны?проекц??этой прямо?(аксиом?принадлежности точк?прямо?. Обратное неверн?Из четыре?предложенных на рисунк?28 точе? только одна точк??/i> лежи?на прямо?АВ.

?те?случ?? когд?точк??прямая лежа??плоскост?уров? (параллельной како?либо из плоскостей проекций ?/i>₁, ?/i>₂ ??/i>₃), то вопрос ?взаимном расположении прямо??точк?решает? пр?построении проекций на плоскост?соответственно ?/i>₁, ?/i>₂ ил??/i>₃. Например, прямая АВ ?точк??/i> лежа??плоскост?параллельной профильной плоскост?проекций (ри?29).

? эпюр ? модель

Рисуно?28. Взаимное расположение точк??прямо?

? эпюр ? модель

Рисуно?29. Точк??прямая, расположенны??профильной плоскост?уров?

Из свойст?параллельног?проецирования известно, чт?если точк?дели?отрезо?прямо??данном отношени? то проекции этой точк?де??одноименны?проекции прямо??то?же соотношени?

Зн? эт?услови?можн?определить принадлежность точк??прямо?АВ:

?? /?? ¹??/?? Þ ?Iuml;АВ

Делени?отрезк?прямо??заданном соотношени?

Чтоб?некоторы?отрезо?разделит?на эпюр??данном соотношени? надо ?то?же отношени?разделит?ег?проекции.

Пример: (ри?30) Чтоб?разделит?отрезо?АВ ?отношени?2:3 из точк??/i>₁ проведем произвольный отрезо??/i>₁?sup>*₁ разделенны?на 5-ть равных частей |A₁K^*₁|=2 , |K^*₁B^*₁|=3. ?/i>₁?sup>*₁/ ?sup>*₁?sup>*₁=2/3 Соединяя точк??sup>*₁?точкой ?/i>₁ ?проведя из точк??sup>*₁ пряму?параллельную (?/i>₁?sup>*₁) получи?проекцию точк??/i>₁. Согласно теорем?Фалеса (Если на одно?сторон?угла отложить равные отрезк??чере?их конц?провести параллельные прямы? пересекающие другую сторон? то на другой сторон?отложатся равные межд?собо?отрезк?/i>) ?/i>₁?/i>₁/?/i>₁?/i>₁=2/3, дале?находи??/i>₂ . Таки?образо?проекции точк??/i> де??одноименны?проекции отрезк?АВ ?данном отношени?следовательн??точк??/i> дели?отрезо?АВ ?отношени?2/3.

Рисуно?30. Делени?отрезк?прямо??заданном соотношени?

определени?длин?отрезк?прямо?лини??угло?наклон?прямо??плоскостя?проекций

(мето?прямоугольног?треугольника)

Длин?отрезк?АВ ?a- угол наклон?отрезк??плоскост??sub>1 можн?определить из прямоугольног?треугольника АВ? |A?/i>|=|A₁B₁|, |B?/i>|=DZ. Для этог?на эпюр?(ри?31) из точк?B₁ по?угло?90⁰ проводим отрезо?|B₁B₁*|=DZ, полученный?результате построений отрезо?strong>A₁B₁* ?буде?натурально?величино?отрезк?АВ, ?угол B₁A₁B₁*=a. Рассмотренны?мето?называет? методо?прямоугольног?треугольника. То?же результа?можн?получить пр?вращении треугольникаАВ?вокруг сторон?A?/i> до те?по? пока он не станет параллелен плоскост??/i>₁, ?этом случае треугольни?проецирует? на плоскост?проекций бе?искажения.

Подробне?вращение вокруг ос?параллельной плоскост?проекций рассмотрен??раздел?«Метод?преобразован? ортогональны?проекций?

? модель ? эпюр

Рисуно?31. Определени?натурально?величины отрезк??угла ег?наклон??горизонтальной плоскост?проекций

Длин?отрезк?АВ ?b-угол наклон?отрезк??плоскост??sub>2 можн?определить из прямоугольног?треугольника АВ? |A?/i>|=|A₂B₂|, |B?/i>|=DY. Построен? аналогичны?рассмотренны? только ?треугольнике АВ?/i>* сторон?|B?/strong>*|=DU?треугольниксовмещает? ?плоскостью ?/i>₂(ри?32).

? модель ? эпюр

Рисуно?32. Определени?натурально?величины отрезк??угла ег?наклон??фронтально?плоскост?проекций

Взаимное расположение двух прямы?

Прямы?лини??пространстве могу?быть параллельным?/i>, пересекающимися ?скрещивающимися. Рассмотрим подробне?каждый случай.