Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 38) соответствуют две точки АиВ, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 38. Скрещивающиеся прямые

На предложенном примере ближе точка В, лежащая на прямой в,следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и D решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и D -горизонтально конкурирующие.

 

Проекции плоских углов

 

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки.

Углом между прямыми называется меньший из двух смежных углов, лучи которых параллельны этим прямым.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:

1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (Теорема о проецировании прямого угла).

Дано: Ð АСВ = 90^о;[ВС] // П₁; [АС] # П₁.

Для доказательства теоремы продлим отрезок АСдо пересечения с плоскостью П₁ (рис. 39) получим горизонтальный след прямой - точку М ºМ₁, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из условия следует, что [ВС] // [В₁С₁]. Если через точку М проведем прямую МDпараллельную С₁В₁ , то она будет параллельна иСВ и перпендикулярна СМ, а следовательно Ð СМD= 90^о.Согласно обратной теореме о трех перпендикулярах(Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.) Ð С₁МD=90^о. Таким образом, [MD]^[А₁С₁] и [MD]//[В₁С₁], следовательно, Ð А₁С₁В₁= 90^о, что и требовалось доказать. В случае, когда [АС]^П₁ проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.

Рисунок 39. Теорема о проецировании прямого угла	Рисунок 40. Обратная теорема о проецировании прямого угла

2. Если проекция угла представляет угол 90⁰, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 40).

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.

Плоскость

Плоскость* – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости:

1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;

2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Плоскость в линейной алгебре - поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-ой степени. Общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0,

где А, В, С, и D - постоянные, причем А, В и С одновременно не равны нулю.

* Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с., ил

 

Способы задания плоскостей

 

Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.41);

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

 

 

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.42);

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

 

3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми

 

4. двумя параллельными прямыми (рис.44);

а) модель	б) эпюр
Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя параллельными прямыми

 

5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).

Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a_П1, фронтальный a_П2 и профильный a_П3 следы.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 45. Плоскость, заданная следами

Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках a_x,a_y,a_z. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

 

положение плоскости относительно плоскостей проекций

 

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальныйa_П1; - фронтальный a_П2; - профильный a_П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a^П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.46).

 

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 46. Горизонтально проецирующая плоскость
а) модель	б) эпюр
Рисунок 47. Фронтально проецирующая плоскость
а) модель	б) эпюр
Рисунок 48. Биссекторная плоскость

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом a_П2 (рис.47).

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( a^П₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.48).

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (a//П₁) - (a^П₂,a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости a_П2 и a_П3 (рис.49).

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 49. Горизонтальная плоскость

3.2. Фронтальная плоскость- плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (a//П₂), (a^П₁, a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₂ без искажения, а на плоскости П₁ и П₃ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П3 (рис.50).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 50. Фронтальная плоскость

3.3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (a//П₃),(a^П₁, a^П₂). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П2 (рис.51).

 

 

	а) модель	б) эпюр
	Рисунок 51. Профильная плоскость
Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. В зависимости, от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждыйслед плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой (как для построения любой прямой). На рисунке 52 показано нахождение следов плоскости (АВС).Фронтальный след плоскости _П2 построен, как прямая соединяющая две точки N_(АС) иN_(АВ), являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости . Горизонтальный след_П1 – прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след_П3 – прямая соединяющая точки (_y и _z) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями. Точки _x, _y и_z называют точками схода следов.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 52. Построение следов плоскости

 

Взаимное расположение прямой и плоскости

Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1. Прямая принадлежит плоскости.

2. Прямая параллельна плоскости.

3. Прямая пересекает плоскость.

Прямые линии, принадлежащие плоскости и занимающие частное положение по отношению к плоскостям проекций, называются главными линиями плоскости.

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей.

 

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Проиллюстрируем примерами использование этих аксиом.

Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m₂ (рис.53).

Требуется найти недостающие проекции прямой m, если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.

Проекция прямой m₂ пересекает проекции прямых n₂ и k₂ в точках В₂ и С₂ соответственно. Для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек, лежащих на прямых n и k соответственно.

Таким образом, точки В и С принадлежат плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит, согласно аксиоме 1, прямая принадлежит этой плоскости.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 53. Прямая и плоскость имеют две общие точки

Задача. Через точку В провести прямую m, если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k (рис.54).

Пусть точка В принадлежит прямой n, лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В₂ проведем проекцию прямой m₂ параллельно прямой k₂, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В₁, как точки лежащей на проекции прямой n₁ и через неё провести проекцию прямой m₁ параллельно проекции k₁.

Таким образом, точка В принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме 2 прямая принадлежит этой плоскости.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 54. Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости