Разложение многочлена на множители.

Задание 1. Разложите многочлен на множители:

f(x)=х3+2х2-5х-6, выпишем делители свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6. x=1 - не корень, так как f(1)=1+2-5-6=-8¹0 x=-1- корень, так как f(-1)=-1+2+5-6=0 х3+2х2-5х-6 |x+1 x3+x2 x2+x-6 x2-5х-6 x2+x -6x-6 -6x-6 f(x)=х3+2х2-5х-6=(x+1)(x2+x-6)= =(x+1)(x-2)(x+3) x2+x-6=0 D=25 f(x)=(x+1)(x-2)(x+3) f(x)=х3+3х2-4х-12, выпишем делители свободного члена:   х3+3х2-4х-12 |x     f(x)= х3+3х2-4х-12=     f(x)=(x-2)(x+2)(x+3)
f(x)=х3+2х2+5х+4, выпишем делители свободного члена: ±1; ±2. x=-1- корень, так как f(-1)=-1+2-5+4=0     f(x)= f(x)=х3-3х2+5х-6,

Простейшие дроби часто называют элементарными дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

I
II
III , где D=p2-4q<0
IV , где D=p2-4q<0

 

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов. Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведём математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

Вспомним, как складывались дроби с разными знаменателями:

Привести дроби к общему знаменателю Разложить дробь на сумму простейших

Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представим в виде:

Q(x)=А(x-a)r(x-b)s…(x2+px+q)t(x2+ux+v)l,

то эту функцию можно представить единственным образом в виде:

Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Теорема 2:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:

,

где W(x) — некоторый многочлен, а R(x) — многочлен степени меньше, чем Q(x).

Задание 2. Разложить рациональную функцию на элементарные дроби:

1) Степень числителя (равная ) меньше степени знаменателя (равная ). Поэтому приступим к разложению знаменателя на множители: x2-4x+3=(x- )(x- )   Теперь приступим к разложению дроби:    
2) Степень числителя (равная ) меньше степени знаменателя (равная ). Поэтому приступим к разложению знаменателя на множители: x2-4x+3=(x-1)(x-3)   Теперь приступим к разложению дроби:  
3) Степень числителя (равная ) больше степени знаменателя (равная ). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком».   Теперь приступим к разложению знаменателя на множители x2-4x+3=(x-1)(x-3)    
4) Степень числителя (равная ) больше степени знаменателя (равная ). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком».   Теперь приступим к разложению дроби:  
5) Степень числителя (равная ) больше степени знаменателя (равная ). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком».     Разложим знаменатель на множители: x3-1= Теперь приступим к разложению дроби:  
5) Степень числителя (равная ) меньше степени знаменателя (равная ). Поэтому разложим знаменатель на множители:(x3-1)2= Теперь приступим к разложению дроби:  

Домашнее задание

Произвести разложение рациональной функции на элементарные дроби: