Разложение многочлена на множители.
Задание 1. Разложите многочлен на множители:
f(x)=х3+2х2-5х-6, выпишем делители свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6. x=1 - не корень, так как f(1)=1+2-5-6=-8¹0 x=-1- корень, так как f(-1)=-1+2+5-6=0 х3+2х2-5х-6 |x+1 x3+x2 x2+x-6 x2-5х-6 x2+x -6x-6 -6x-6 f(x)=х3+2х2-5х-6=(x+1)(x2+x-6)= =(x+1)(x-2)(x+3) x2+x-6=0 D=25 f(x)=(x+1)(x-2)(x+3) | f(x)=х3+3х2-4х-12, выпишем делители свободного члена: х3+3х2-4х-12 |x f(x)= х3+3х2-4х-12= f(x)=(x-2)(x+2)(x+3) |
f(x)=х3+2х2+5х+4, выпишем делители свободного члена: ±1; ±2. x=-1- корень, так как f(-1)=-1+2-5+4=0 f(x)= | f(x)=х3-3х2+5х-6, |
Простейшие дроби часто называют элементарными дробями.
Различают следующие виды простейших дробей:
I | |
II | |
III | , где D=p2-4q<0 |
IV | , где D=p2-4q<0 |
Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов. Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?
Приведём математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.
Вспомним, как складывались дроби с разными знаменателями:
Привести дроби к общему знаменателю | Разложить дробь на сумму простейших |
Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представим в виде:
Q(x)=А(x-a)r(x-b)s…(x2+px+q)t(x2+ux+v)l,
то эту функцию можно представить единственным образом в виде:
Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.
Теорема 2:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:
,
где W(x) — некоторый многочлен, а R(x) — многочлен степени меньше, чем Q(x).
Задание 2. Разложить рациональную функцию на элементарные дроби:
1) Степень числителя (равная ) меньше степени знаменателя (равная ). Поэтому приступим к разложению знаменателя на множители: x2-4x+3=(x- )(x- ) Теперь приступим к разложению дроби: |
2) Степень числителя (равная ) меньше степени знаменателя (равная ). Поэтому приступим к разложению знаменателя на множители: x2-4x+3=(x-1)(x-3) Теперь приступим к разложению дроби: |
3) Степень числителя (равная ) больше степени знаменателя (равная ). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком». Теперь приступим к разложению знаменателя на множители x2-4x+3=(x-1)(x-3) |
4) Степень числителя (равная ) больше степени знаменателя (равная ). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком». Теперь приступим к разложению дроби: |
5) Степень числителя (равная ) больше степени знаменателя (равная ). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком». Разложим знаменатель на множители: x3-1= Теперь приступим к разложению дроби: |
5) Степень числителя (равная ) меньше степени знаменателя (равная ). Поэтому разложим знаменатель на множители:(x3-1)2= Теперь приступим к разложению дроби: |
Домашнее задание
Произвести разложение рациональной функции на элементарные дроби: