Сызыты кеістіктер

СЫЗЫТЫ ОПЕРАТОРЛАР» пніні дрістері

КІРІСПЕ

Жиынды трлендірулерді ішінде шыу жне келу облыстары сан жиындары болмайтын трлендірулерді орны ерекше. Мндай трлендірулерді детте операторлар деп атайды.

сынылып отыран элективтік курста наты жне комплекс сандар рістерінде берілген сызыты кеістіктер мен евклидтік кеістіктерді сызыты операторлары оылады. Сызыты операторлар жиыныны зі сы- зыты кеістік болатыны, саина райтыны длелденеді. Сондай-а шекті лшемді евклидтік кеістіктегі спектрлар теориясыны негізгі мселелері арастырылады.

Курсты ысаша мазмны:

Сызыты оператор ымы, оны матрица трінде берілуі. Сызыты операторлар саинасыны матрицалар саинасына изоморфтылыы. Сызыты операторды характеристикалы кпмшелігі. Меншікті векторлар мен меншікті мндер. Жай спектрлі сызыты операторлар. Сызыты операторды матрицасын диагональ трге келтіру.

Курс масаты—студенттерді алгебралы жйелерді негізгі трлерімен, соны ішінде, сызыты кеістіктермен жне олара олданылатын сызыты операторлармен жан-жаты таныстыру; жоары математиканы ртрлі салаларыны арасындаы байланыстарды наты мысалдармен тсіндіру; университет курсыны тменгі сатысында алан білімдерін крделі ой орытулар мен длелдемелерге олдана білуге йрету; логикалы ойлау мен математикалы сауаттылыа трбиелеу.

Курс міндеті—алгебралар теориясында алыптасан ымдар мен нтижелерді ішкі байланыстарын тсінуге, сырттай араанда ртрлі болып крінетін кптеген алгебралы системаларды арасынан аксиоматикасы састарын анытауа, изоморфты болатын-болмайтындарын ажыратуа студенттерді йрету.

 

 

Сызыты кеістіктер

n 1. Сызыты кеістікті анытамасы

 

Айталы, V – кезкелген р емес жиын, ал F – ріс болсын. рісті элементтерін грек алфавитіні, ал V жиыныны элементтерін латын алфавитіні кіші ріптерімен белгілейміз. F рісін – скалярлар рісі дейміз.

V жиынында абстракты трде «осу» деп аталатын бір БАО жне «скаляра кбейту» деп аталатын бірнеше сырты операция берілсін. Нтижесінде

V, +, F алгебрасын аламыз. Оны Vдеп белгілейміз.

( Ескерту. детте ріптерді арасына кбейту табасын оймайды!)

Анытама. Егер V= V, +, F алгебрасыны операциялары тмендегі аксиомалара баынса, онда ол алгебраны F рісінде берілген сызыты кеістік деп атайды:

I а,b V a + b = b + a

II а,b,c V (a + b) + c = a + ( b + c )

III e V а V a + e = a (e –нольдік элемент, оны 0деп белгілейді)

IV а V x V a + x = e (x – a-а арама-арсы эл.,оны – a деп белг.)

V а V , F ( ) a = ( a ) = ( a )

VI а V , F ( + ) a = a + a

VII а,b V F (a + b) = a + b

VIII а V 1a = a ( 1 – F рісіні бірі ) (унитарлы аксиомасы)

 

I – IV аксиомалардан V жиыны + -а атысты абельдік группа болатыны шыады, яни V, + – абельдік группа. Ол сызыты кеістікті аддитивті группасы деп аталады.

Сызыты кеістік ымы те ке ым жне математиканы барлы салаларында маызды роль атарады. Формальды трде сызыты кеістікті векторлы кеістік деп, ал оны элементтерін векторлар деп атайды.

Егер F рісі ретінде R – наты сандар рісі алынса, онда сызыты кеістікті «наты кеістік» деп, ал F = C болса, онда – «комплекс кеістік» деп атайды.

 

n 2. Векторлы кеістікті арапайым асиеттері

 

1 . V, + – абельдік группа боландытан аддитивті группаны барлы

асиеттері векторлы кеістікте орындалады. Олар: 0вектор біреу, – a

векторы біреу, осуды ысарту заы ( а,b,c V (a+b = a+c b=c) ),

ассоциативтік асиетті жалпыламасы, азайту амалы.

Кезкелген а,b V шін – b Vболандытан а + (– b) V (себ. + - БАО).

Осы а + (– b) элементін а – b деп белгілеп, а мен b элементтеріні айыр-

масы деп атайды. Онда а,b V элементтеріне а – b элементін сйкес –

тікке оятын амалды азайту амалы деп атайды.

2 . а,b V (a + b = a b= 0).

Шынында да, a + b = a боласын, III аксиомадан a + 0= a боландытан,

a + b = a + 0, онда осуды ысарту заы бойынша, b= 0.

3 . а V 0a = 0.( мндаы 0 – F рісіні нолі )

VI VIII

Шынында да, 0a = (1-1)a = 1a - 1a = a – a =0.

4 . F 0 = 0.

VII III 2

0 + 0 = (0 + 0) = 0 0 = 0.

5 . а,b V ( a + b = 0 b= – a = (-1) a ).

a + b = 0 болса, екінші жаынан IV аксиомадан a +(- a) = 0 екенінен

a + b = a +(-a ) болады, онда + - ыс. за. b= – a немесе b =(-1) a.

6 . а,b V F ( a = b & 0 a = b ).

V VIII

Берілгенінен, ( a) = ( b) ( ) a = ( )b 1a =1b

a = b.

7 . а V F ( a = 0 = 0 a = 0).

Шынында да, a = 0болса, скаляры шін екі жадай болуы ммкін:

= 0 0a = 0 (3 асиеттен);

0 4 бой. 0 = 0, онда жоарыдаымен екеуінен, a = 0 a=0

(6 асиеттен).

8 . а V , F ( a = a & a 0 = ).

Берілгеніні екі жаына да ( – a ) векторын осамыз:

a +(– a) = a + (– a) ( – )a = 0 (a 0боландытан, 7 бой.)

– = 0 = .

 

n 3. Векторлы кеістікті мысалдары

 

1.F – кезкелген ріс болсын. V жиыны ретінде F F ... F жиынын

алайы: V = F F ... F = < , ,…, > i F = F –

F рісіні элементтерінен ралан, зындыы n –а те кортеждер жиыны.

Бл жиында кортеждерді осу, кортежді скалярына ( F ) кбейту амал-

дарыны алай аныталатыны алгебра курсынан белгілі:

< , ,…, > + < , ,…, > = < + , + ,…, + >

< , ,…, > = < , , … , >

Сонда F , +, F алгебрасын аламыз. Бл алгебрада вектор –

лы кеістікті анытамасындаы I – VIII аксиомаларды орындалатынын

тексеру оай. Онда бл алгебра векторлы кеістік райды. Оны нольдік

векторы < 0,0,...,0 > кортежі, ал a = < , ,…, > векторына арама –

арсы вектор – a = < - ,- ,…,- > кортежі болады. Сонымен,

F , +, F алгебрасы F рісінде берілген векторлы кеістік.

Оны n лшемді арифметикалы векторлы кеістікдеп атайды.

Жеке жадайлары: F = Q,R,Cболанда Q , R , C кеістіктері шыады.

F =R, n = 2 боланда R – жазыты, ал F =R, n = 3 боланда R – деттегі

ш лшемді кеістік болады.

2.V жиыны ретінде жазытытаы бір О нктесінен шыатын баытталан

кесінділер жиынын алайы. Баытталан кесінділерді параллелограмм

ережесі бойынша осуа, наты сана кбейтуге (ол –

кесіндіні зарту не ысарту) болады. Онда бл екі

амал анытамадаы I–VIII аксиомалара баынатыны

тсінікті. Олай болса, баытталан кесінділер жиыны

V, наты сандар рісінде берілген векторлы кеістік

райды.

Ескерту. Мектепте осы мысал вектор ымын енгізуді негізі болады.

3.V = М (R) – n–ші ретті квадрат матрицалар жиыны болсын. Матрица –

ларды осу, матрицаны наты сана кбейту амалдары I – VIII аксиома –

лара баынатынын алгебра курсынан білеміз. Онда бл алгебра да вектор-

лы кеістік болады:

М (R), +, R – R–да берілген векторлы кеістік. Оны

нольдік векторы нольдік матрица, ал a = ( ) векторына (матрицасына)

арама – арсы вектор – a = ( - ) арама – арсы матрицасы болады.

Жеке жадайы, n = 2 болса 2-ші ретті квадрат матрицаларды наты кеіс –

тігі, n = 3 болса 3-ші ретті квадрат матрицаларды наты кеістігі болады.

4.V = C – комплекс сандар жиыны болсын. деттегі, комплекс сандарды

осу, комплекс санды наты сана кбейту амалдары анытамадаы I–VIII

аксиомалара баынатынын оай тексере аламыз. Олай болса, комплекс

сандар алгебрасы C, +, R – наты сандар рісінде берілген

векторлы кеістік болады.

5.V – мшелері наты сандар болатын тізбектер жиыны болсын:

V = R . Тізбектерді мшелеп осатынын, тізбекті

наты сана кбейту шін оны мшелерін сол сана кбейтетінін білеміз.

Бл амалдар жоарыдаы анытамадаы I – VIII аксиомалара баынады.

Онда бл жиын да осы амалдар арылы векторлы кеістік райды.

R , +, R – R–да берілген векторлы

кеістік.

6.V – а,b кесіндісінде аныталан здіксіз функциялар жиыны болсын:

V = f f – здіксіз & D(f ) = а,b = С . здіксіз функцияларды

осу нктелік осу, ал здіксіз функцияны наты сана кбейту оны рбір

нктедегі мнін сол сана кбейту болады.

Блай аныталан амалдар да I–VIII аксиома-

лара баынатынын тексеру оай. Онда бл

алгебра да наты сандар рісінде (яни, R–да)

берілген векторлы кеістік болады:

С , +, R – R–да берілген

векторлы кеістік.

 

 

Ішкі кеістіктер

 

n 1. Ішкі кеістікті анытамасы, критериі, мысалдары

 

Айталы, V= V, +, F – векторлы кеістік, W V болсын.

Анытама. Егер F рісінде берілген Vвекторлы кеістігіні р емес ішкі

жиыны W векторлы кеістікті операцияларынан индуциирленген опера –

циялар арылы зі векторлы кеістік раса, онда оны ішкі кеістік деп

атайды. Белгілеуі;

W= W, + , F V.

Теорема (ішкі кеістікті критериі). Векторлы кеістікті р емес ішкі жиыны W ішкі кеістік болуы шін оны векторлы кеістікті операциялары арылы тйы болуы ажет жне жеткілікті, яни

 

W V а) а,b W a + b W

б) а W F a W

Длелдеу. ажеттігі. Индуциирленген амалды анытамасынан а), б) шарт – тары автоматты трде шыады.

Жеткіліктігі. W ішкі жиыны а), б) шарттарын анааттандырса, яни тйы болса, оны зі векторлы кеістік болатынын длелдеу шін анытамадаы

I–VIII аксиомаларды орындалатынын тексеру керек. I,II, V-VIII аксиомалар универсал аксиомалар боландытан, оларды орындалатыны тсінікті. III,IV аксиомаларды ана тексерсе боланы (студенттерді здеріне).

Мысалдар.

1). Кезкелген векторлы кеістікті екі арапайым ішкі кеістігі (тривиальные подпространства) руаытта белгілі. Олар V -зі жне 0 .

2). F – n лшемді арифметикалы векторлы кеістікті, мысалы,

W = < 0, ,…, > i F тріндегі ішкі жиыны ішкі кеістік болады ( а), б) шарттарын тексеріп крііз).

Жеке жадайы, R кеістігін алайы. W ішкі жиыны ретінде n айнымалылы біртекті сызыты тедеулер жйесіні шешулеріні жиынын алайы. Біртекті СТЖ – кезкелген екі шешуіні осындысы да, кезкелген шешуді наты сана кбейтіндісі де сол жйені шешуі болатындыынан бл жиынны ішкі кеістік болатыны шыады.

Осы мысалды таы бір жеке жадайын, деттегі ш лшемді R кеістігін алайы. W – координаталар бас нктесі арылы тетін жазытыты немесе тзуді бойында жататын векторлар (баытталан кесінділер) жиыны болсын. Онда W ішкі жиыны осу жне наты сана кбейту арылы тйы болатыны тсінікті. Онда ол R кеістігіні ішкі кеістігі. Ол сйкес,R немесеR .

 

3). Мектептен белгілі, жазытытаы бір О нктесінен шыатын баытталан

кесінділер кеістігі берілсін ( §1, 2мысал).

W – сол О нктесі арылы тетін l тзуі

болса, онда ол ішкі кеістік болады. (Неге?)

 

 

4). М (R), +, R – n–ші ретті квадрат матрицалар кеістігіні ішкі жиыны W – шбрышты матрицалар жиыны Т (R) болсын. Ол да ішкі кеістік болады. (алайша?)

Ескерту. Жалпы, векторлы кеістікті ішкі кеістігін табу мселесі оай шаруа емес.

 

n 2. Векторлар жйесіні сызыты абышасы

(линейная оболочка системы векторов)

 

V= V, +, F – F рісінде берілген векторлы кеістік, ал

а , а , ... , а V (1) векторлар жйесі болсын.

Анытама. b = а + а + ... + а векторы ( F) (1) жйені сызыты комбинациясы деп аталады. Кейде, b векторы (1) жйе арылы сызыты рнектеледі деп те айтады.

Анытама. (1) векторлар жйесіні сызыты комбинациясы болатын векторлар жиыны сол (1) жйені сызыты абышасы деп аталады. Белгілеуі L(а , а , ... , а ). Сонда

L(а , а , ... , а ) = х х = а + а + ... + а & F .

Лемма. Векторлар жйесіні сызыты абышасы векторлы кеістікті ішкі кеістігі болады.

Длелдеу. Ішкі кеістікті критериі бойынша, а), б) шарттарын тексереді.

(студенттерді здеріне).

Анытама. L(а , а , ... , а ) ішкі кеістігін а , а , ... , а векторлар жйесіне трызылан ішкі кеістік деп атайды; ал а , а , ... , а векторларыны зін осы ішкі кеістікті жасаушы элементтері дейді.

Сра. а , а , ... , а векторларыны райсысы L(а , а , ... , а ) ішкі кеістігіне тиісті ме? Жауабыызды длелдеіз.

Ескерту. Сонда, векторлы кеістікті ішкі кеістігін табу шін, оны андайда бір векторларын алып, соларды сызыты комбинацияларыны жиынын алса боланы.

 

n 3. Ішкі кеістіктерге амалдар олдану

 

V– F рісінде берілген векторлы кеістік, W ,W –ішкі кеістіктері болсын.

Анытама. W ,W ішкі кеістіктерді имасы деп

W W = х V х W & х W жиынын айтады.

Лемма. W W жиыны ішкі кеістік болады. (Длелдеу збетімен).

Тжырымдалан лемма ішкі кеістіктерді кезкелген жиыны шін де дрыс, яни i IW –ішкі кеістік W –ішкі кеістік.

i I

Анытама. W ,W ішкі кеістіктерді осындысы деп

W + W = х V х = а + а & а W , а W жиынын айтады.

Лемма. W + W жиыны ішкі кеістік болады. (Длелдеу збетімен).

Тжырымдалан лемма ішкі кеістіктерді кезкелген шекті саны шін де дрыс, яни