Сызыты операторды ядросы мен образы

Айталы, L(V ) берілсін.

Анытама. V кеістігіні, сызыты операторыны нтижесінде нольдік вектора кшетін векторларыны жиынын сызыты операторыны ядросы деп атайды жне ker деп белгілейді. ( kernel – ядро). Сонда,

ker = х V | (х) = 0 .

Анытамадан ker V болатыны тсінікті.

Лемма. Сызыты операторды ядросы V кеістігіні ішкі кеістігі болады.

Длелдеу. Ішкі кеістікті критериі бойынша длелдейміз (ара, §2, теорема).

Айталы х,у ker (х) = 0& (у) = 0. х+у ker – ?

(х + у) = (х) + (у) = 0+ 0=0 х+у ker .

F, ( х) = (х) = 0= 0 х ker . Онда ker – ішкі кеістік.

Анытама. сызыты операторыны ядросыны лшемі сызыты операторды дефектсі деп аталады. Белгілеуі def . Сонда,

def = dim (ker ).

Дефект – ол сан. Ол сызыты операторды тек зіне ана байланысты, оны берілу дісіне байланысты емес. Дефект – сызыты операторды инварианты.

Лемма. Сызыты оператор нсансыз болуы шін оны ядросы жалыз нольдік вектордан труы ажет жне жеткілікті. (Длелсіз).

Анытама. V кеістігіні, сызыты операторыны нтижесінде прообраздары бар векторларыны жиынын сызыты операторыны образынемесе мндеріні жиыныдеп атайды жне im деп белгілейді. (image – образ). Сонда,

im = х V | z V (z) = x немесе

im = (z) | z V .

Анытамадан im V болатыны тсінікті.

Лемма. Сызыты операторды образы V кеістігіні ішкі кеістігі болады.

Длелдеу. Ішкі кеістікті критериі бойынша длелдейміз.

Айталы х,у im х= (z) & у = (t), z,t V . x+y im – ?

x + y = (z) + (t) = (z +t) х+у im .

F, х = (z) = ( z) х im . Онда im – ішкі кеістік.

Анытама. сызыты операторыны образыны лшемі сызыты операторды рангсы деп аталады. Белгілеуі rang . Сонда,

rang = dim (im ).

Ранг – ол сан. Ранг да дефект трізді сызыты операторды берілу дісіне байланысты емес, оны тек зіне ана байланысты. Ол да – сызыты операторды инварианты болады.

Лемма. Сызыты операторды рангсы оны матрицасыны рангсына те болады. (Длелсіз).

Сызыты операторды рангсы мен дефектсі бір-бірімен байланысты, атап айтанда мына тжырымдама дрыс болады.

Теорема. Сызыты оператор берілген векторлы кеістікті лшемі сол операторды дефектсі мен рангсыны осындысына те болады:

dimV = def + rang

немесе dimV = dim(ker ) + dim(im ).

Теореманы длелсіз абылдаймыз.

Ескерту. Соы тедіктен V = ker + im тедігі шыпайды.

Сызыты операторды меншікті векторлары мен

Меншікті мндері

n 1. Матрицаны характеристикалы кпмшелігі мен

характеристикалы тедеуі

Айталы, А –элементтері F рісіне тиісті n-ші ретті квадрат матрица болсын:

А = немесе ысаша А = ( ), i,j=1,2,…,n.

F делік. Берілген А матрицасымен оса А– Е матрицасын арастырамыз.

А– Е = .

Соы А– Е матрицасыны анытауышы |А– Е| – -а байланысты n-ші дрежелі кпмшелік болады:

|А– Е| = = a +a +a +…+a +a .

Бл кпмшелікте -ні коэффициенті a =(-1) , -ні коэффициенті a А матрицасыны бас диагоналы элементтеріні осындысына (a = + + + ... + ), бос мшесі a А матрицасыны анытауышына те болады (a =detА).

Мысал. А= , R. А– Е = ;

|А– Е| = = (жоарыда айтанымыздан, – +3 +? +2 тріндегі кпмшелік шыуы керек) = (1– ) –(1– )+2(1– ) =1–3 +3 – –– 1+ +2–2 = – +3 –4 +2.

Матрица 3-ші ретті боланда, -ны коэффициенті А матрицасыны негізгі 3 анытауышыны арама–арсы табамен алынан осындысына те болады.

Анытама. |А– Е| кпмшелігін А матрицасыны характеристикалы кпмшелігі деп атайды. Оны ( ) деп белгілейміз.

Анытама. ( ) = |А– Е| = 0 тедеуі А матрицасыны характеристикалы тедеуі деп, ал ол тедеуді тбірлері А матрицасыны характеристикалы сандары деп аталады.

Ескерту. Алгебраны негізгі теоремасынан, характеристикалы тедеуді С – комплекс сандар рісінде е болмаанда бір тбірі болатыны белгілі.

Айталы, Т – элементтері F рісіне тиісті нсансыз n-ші ретті квадрат матрица болсын. Онда В = Т·А·Т матрицасы А матрицасына сас екенін білеміз. Осы В матрицасыны характеристикалы кпмшелігін есептейік.

|В– Е| = | Т·А·Т – Е| = | Т·А·Т – Т·Е·Т | = | Т·(А – Е)·Т | =

= |Т|·|А– Е|·| Т | = |Т||·| Т |·|А– Е| = |А– Е|.

Сонда, сас матрицаларды характеристикалы кпмшеліктері те.

Олай болса, барлы сас матрицаларды характеристикалы кпмшеліктері – ( ) те болады; онда ( ) = 0 – характеристикалы тедеулері де жне характеристикалы сандары да те болады.

Егер А жне В = Т·А·Т сас матрицаларын V кеістігіндегі бір ана сызыты операторыны ртрлі базистегі матрицалары деп арастырса, онда осы нтижелерден тмендегідей орытындыа келеміз:

Сызыты операторды матрицасыны характеристикалы сандары базиске туелді емес.Сондытан, оларды сызыты операторды характеристикалы сандары деп атайды.

Ескерту. ( ) = |А – Е| характеристикалы кпмшелігін сызыты операторыны характеристикалы кпмшелігі деп, ал ( ) = |А – Е| = 0 характеристикалы тедеуін сызыты операторыны характеристикалы тедеуі деп атайды.

n 2. Сызыты операторды меншікті векторлары мен меншікті мндері

Айталы, L(V ), F болсын.

Анытама. Егер нольдік емес а V векторы табылып,

(а) = а

тедігі орындалса, онда скалярын сызыты операторыны меншікті мні деп, ал а векторын сызыты операторыны, меншікті мніне сйкес келетін, меншікті векторы деп атайды.

Сонда, def

( – меншікті мні, сыз.опер– ) ( а 0 V (а) = а ),

а – –а сйкес келетін меншікті вектор.

Мысалдар.

1). = – бірлік оператор. Бл сызыты оператор шін, (а) = а = 1·а

тедігінен, меншікті мн 1F, ал оан сйкес меншікті вектор V кеісті –

гіні кезкелген нольден зге векторы болады.

2). = – нольдік оператор. Бл сызыты оператор шін, (а) = 0= 0·а

тедігінен, меншікті мн 0F, ал оан сйкес меншікті вектор V кеісті –

гіні кезкелген векторы болады.

3). – жазытыты брышына бру. =0 жне = =180 , жалпы,

= к ,к Z жадайларын алайы. Онда, сйкесінше, (а) = 0 (а) = а = 1а;

(а) = (а) = – а = ( –1) а боландытан =1 жне = –1 меншікті мндер. Жалпы жадайда, = ( – 1) меншікті мндер, ал кезкелген нольден зге вектор меншікті вектор болады. Барлы баса жадайларда, яни к

боланда, = брышына бру операторыны меншікті векторлары болмайды.

Ескерту. Бл мысал, кезкелген сызыты операторды меншікті векторы бола бермейтінін крсетеді.

n 3. Меншікті мндер мен меншікті векторларды асиеттері

1 . рбір меншікті вектор тек бір ана меншікті мнге сйкес келеді.

Длелдеу. Кері жориы: а 0векторы екі меншікті мнге сйкес келсін:

(а) = а жне (а) = а. Онда а – а = (а) – (а) = 0 |в.к.акс.|

( – )а = 0 | а 0 бол., в.к.акс.| – = 0 = .

2 . рбір меншікті мнге сйкес келетін меншікті векторлар шексіз кп.

Оларды жиыны, нольдік векторды оса есептегенде, векторлы кеіс–

тікті ішкі кеістігін райды. Оны сол меншікті мнге сйкес келетін

меншікті ішкі кеістік деп атайды.

W = a V | (а) = а ;

W 0 = W – ішкі кеістік.

Длелдеу. Ішкі кеістікті критериі бойынша длелдейміз.

х, у W (х)= х, (у)= у жне х 0, у 0. х + у W – ?

Егер х+у = 0 болса, онда х+у W .

Егер х+у 0 болса, онда (х+у) = (х)+ (у) = х+ у = (х+у)

х+у W . Сондытан х + у W .

F х W – ?

( х) = · (х) = · х = ·х = ·х = · х х W . Онда х W .

Олай болса, W – ішкі кеістік.

3 . F рісінде берілген V векторлы кеістіктегі сызыты операторыны

меншікті мндеріні жиыны сол операторды характеристикалы тедеуіні

F рісіне тиісті болатын тбірлеріні жиынымен беттеседі.

Белгілеулер енгізейік.

L = F | a 0 (а) = а – меншікті мндер жиыны,

M = F | ( ) º 0 – ( )=0 тедеуіні тбірлеріні жиыны.

Сонда, L = М екенін длелдеу керек.

Ол шін а) L М , б) М L болатынын крсетеміз.

Длелдеу. V векторлы кеістігіні андайда-бір е , е , ... , е

базисіндегі сызыты операторыны матрицасы

А = болсын ( F).

х = е + ... + е – кезкелген вектор, ал (х) = е + ... + е – оны

образы делік. х пен (х) векторларыны координаталарыны байланысы

белгілі ( §4 ара): ( , ... , ) = ( , ... , ) А немесе

= + + … +

= + + … + (11; 1)

………………………….

= + + … +

а) L М – ? Айталы, L болсын, яни F – сызыты операторды

х меншікті векторы сйкес келетін меншікті мні болсын. Онда х 0 жне

(х) = х немесе ( , ... , ) = ( , ... , ) (11; 2)

(11; 2)-ні (11; 1)-ге ойып мынадай тебе – тедіктер жйесін аламыз:

(11; 3)

(11; 3) жйе – , ... , скалярлары

(11; 4)

тріндегі біртекті СТЖ – нольден зге шешулері екенін крсетеді.

Нольден зге шешулері болса, онда (11; 4) жйені анытауышы нольге те боланы:

º 0 (11; 5)

Ал (11; 5) тедік транспонирленген |А – Е| = ( ) º 0 тедігі.

Онда ( ) = |А – Е| = 0 характеристикалы тедеуіні тбірі, яни

ол характеристикалы сан (жне ол F рісіне тиісті). Онда М. Олай

болса, L М екені длелденді.

б) М L – ? Айталы М болсын, яни – сызыты операторыны

F рісіне тиісті болатын характеристикалы саны болсын. Ол

( ) = |А – Е| º 0 деген сз. Ал |А – Е| анытауышын транспонир-

лесек те ол 0-ге те болады, яни (11; 5) тедікті аламыз (тек - орнына

трады). (11; 5) тедік (11; 4) жйені анытауышы. Біртекті СТЖ-

анытауышы нольге те боласын, оны нольдік емес шешулері боланы.

Оларды біреуі ( , , ... , ) делік. Онда ол (11; 3), (11; 2) рнектерге

сас, – орнына – ді ойандаы рнектерді анааттандырады.

Онда координаталары ( , , ... , ) болатын х векторы шін

( х ) = х

тедігі дрыс боланы. Онда – сызыты операторыны меншікті мні,

ал х векторы оан сйкес келетін меншікті вектор. Онда L. Олай болса,

М L екені длелденді.

Длелденген а), б) жадайлардан L = М. д.к.о.

(ара: 1 , 123 бет, теорема 5.8; ай длелдеу оай, соны тада).

Длелденген асиеттен тмендегідей практикалы ережеаламыз:

Алдымен, сызыты операторды барлы меншікті мндерін табамыз. Оларды саны шекті (n – нен аспайды). Ол шін характеристикалы тедеуді тбірлерін табады. Ол тбірлерді тек негізгі ріске тиістілері ана меншікті мндер болады.

Сонан кейін, рбір меншікті мнге сйкес келетін меншікті векторларды табамыз. Олар шексіз кп (оларды жиыны ішкі кеістік райды). Сондытан оларды тек сызыты байланыссыз болатындарын (базис бола – тындарын) ана табамыз. Ол шін рбір меншікті мнін (11; 4) біртекті жйеге – орнына ояды да, оны базистік (фундаменталь) шешулерін табады. Сол базистік (фундаменталь) шешулер меншікті мніне сйкес келетін сызыты байланыссыз меншікті векторлар болады (базис болады). Оларды саны бос айнымалылар санына, яни n – r санына те (мндаы r – А – Ематрицасыны рангсы).

Мысал. Айталы V – ш лшемді декартты R кеістігі болсын (F = R).

Осы кеістікте сызыты операторы андайда-бір базисте

А = матрицасымен берілген. Осы операторды меншікті мндерін жне рбір меншікті мнге сйкес келетін меншікті векторларын табу керек: (х)= х, – ? х – ? х = (х , х , х ).