Погрешности в косвенных измерениях

Наука начинается с тех пор,

Как начинают измерять.

Д.И. Менделеев

Цель работы - на основе измерения массы цилиндрического твердого те­ла и его объема определить плотность материала этого цилиндра, в процессе чего освоить методику обработки результатов проведенных измерений.

Принадлежности - прямой круговой цилиндр из твердого материала, тех­нические весы, штангенциркуль и микрометр.

Введение

Настоящая лабораторная работа носит в основном методический харак­тер, связанный с овладением навыками простейших физических измерений и процедурой статистической обработки полученных данных. В ходе выполнения лабораторного задания осваиваются правила ведения записей при измерениях, способ анализа их результатов с вычислением погрешностей, а также оформле­ние конечных выводов работы в целом.

В содержание лабораторной работы по определению плотности сплошно­го твердого тела цилиндрической формы прежде всего входят измерения его параметров (массы, диаметра и высоты цилиндра), для чего выбираются соот­ветствующие инструменты, обладающие по отношению к измеряемому объекту точностью не хуже 1%, достаточной для решения поставленной задачи. Масса и геометрические размеры цилиндрического тела устанавливаются из измерений, называемыхпрямыми, тогда как определение его плотности относится ккос­венным измерениям, поскольку эта величина может быть найдена только с по­мощью вычислений как функция других величин, измеренных непосредствен­но.

Полученные в лабораторной работе экспериментальные данные обраба­тываются с использованием методики Стьюдента, позволяющей при малом числе измерений определить для искомой величиныдоверительный интервалс соответствующейдоверительной вероятностью. Данная методика и назван­ные понятия относятся к математической обработке результатов измерений и их последующему представлению, что будет рассмотрено далее. Это рассмот­рение связано с погрешностями измерения, которые следует предварительно квалифицировать на основе терминологии, принятой в специальной литературе (см. [1,2] и библиографические списки в них).

 

Погрешности измерений физических величин

Известно, что в основе науки и ее применений лежат измерения. В то же время опыт показывает, что ни одно измерение, как бы тщательно оно не про­водилось, не может быть совершенно свободным от погрешностей, которые не­избежно содержатся в измеренных величинах. Под погрешностями понимают отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемых величин (в научной литературе наряду с термином «погрешность измерений» исполь­зуются слова «ошибка измерений», что по отношению к измерительному про­цессу является равнозначным).

Типы погрешностей

При рассмотрении результатов измерений можно разделить погрешности по ряду признаков: по характеру и источникам возникновения, по значению и принадлежности к видам измерений, по способу количественного выражения. В классификации погрешностей по причинам, которыми они вызываются, выде­ляют три их основных типа - систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематическая погрешность. Эта погрешность одинакова во всех из­мерениях одной и той же величины, выполненных одним и тем же методом од­ними и теми же измерительными приборами. Такая погрешность называется методической, когда она возникает из-за несовершенства методов измерений, или же инструментальной, если она обусловлена погрешностями средств изме­рений. Источниками систематических погрешностей могут также быть неуч­тенные влияния внешних воздействий и личные ошибки оператора, вызванные его физическими особенностями. Исключение систематических погрешностей возможно путем их устранения или внесения соответствующих поправок, если выявлена причина возникновения этих погрешностей, однако они могут остать­ся и неизвестными. Эффективным способом обнаружения и оценки системати­ческой погрешности является проведение измерений одной и той же величины принципиально разными методами.

Случайная погрешность. Величина этой погрешности, в отличие от сис­тематической, различна при повторяющихся измерениях, проведенных одина­ковым образом, поскольку определяется изменением условий измерений, воз­никающим в результате влияния случайных факторов, действие которых не поддается учету. Происхождение и размер названной погрешности могут быть вызваны как объективными, так и субъективными причинами. Ввиду случайно­го разброса данных, полученных в многократных измерениях одной и той же величины, такие погрешности нельзя исключить, но их можно оценить стати­стическими методами при достаточном числе повторных измерений (что и яв­ляется одним из основных назначений настоящей лабораторной работы).

Грубая погрешность. Источником этой ошибки, называемой промахом, является присутствие неких внешних влияний, нередко обусловленных недос­татком внимания со стороны экспериментатора, что может выражаться либо в грубом просчете при проведении измерений вплоть до использования неис­правной аппаратуры, либо в неверной записи показаний прибора. Основной способ недопущения промахов - тщательное и внимательное выполнение рабо­ты. Если же промахи случаются, то при их обнаружении результаты соответст­вующих измерений должны быть отброшены.

2. Характеристики погрешностей

Как отмечалось во введении, измерения бываютпрямые икосвенные,расчет погрешностей в которых имеет свою специфику. Поскольку и в тех и в других измерениях результат всегда содержит некоторую погрешность, иско­мая величина х не может быть найдена совершенно точно. Наиболее вероятное значение величины х устанавливается из ряда равноточных измерений как среднее арифметическое . Соответственно в задачу входит не только опреде­ление этой величины , но также и оценка для полученного результата по­грешностих, выражающей отклонение от среднего значения , которую на­зываютабсолютной погрешностью. При этом точность измерений характери­зует не сама абсолютная погрешность, а ее отношение к измеряемой величине, т.е. , называемоеотносительной погрешностью.

В целом результат измерений с учетом погрешностей может быть пред­ставлендоверительным интервалом х = ± х, в котором заключено истин­ное значение измеряемой величины х. Степень надежности того, что измерен­ная величина не будет отклоняться от истинного значения более чем на вели­чинух, определяетсядоверительной вероятностью (в технике такую харак­теристику называют надежностью). Доверительная вероятность выражается числом Р, указывающим, с какой вероятностью истинное значение x находится в доверительном интервале ± х. Понятно, что эта вероятность растет с рас­ширением границ доверительного интервала.

При физических измерениях для определения доверительных границ по­грешности результата измерений принимается доверительная вероятность Р = 0.95 (ГОСТ 8.207-76), т.е. полагается указывать такой доверительный ин­тервал, в котором будет лежать 95% результатов всех однотипных измерений. Итак, при представлении любого измеренного значения следует привести дове­рительный интервал и доверительную вероятность, соответствующую это­му интервалу.

3. Погрешности в прямых измерениях

При непосредственных измерениях для получения количественной оцен­ки случайной погрешности, т.е. для нахождения величин, определяющих доверительный интервал, удобно представить исходные данные, полученные в из­мерениях, и их первичную обработку в виде табл. 1.

Таблица 1

№ п/п i	xi	- xi	( - xi)2
	x1	– x1	( – x1)2
	x2	– x2	( – x2)2
	x3	– x3	( – x3)2
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
n	xn	– xn	( – xn)2
Сумма		-
Среднее		-	-

Среднее квадратичное отклонение результата измерений рассчитывается по формуле (2)

В этой таблице приведены результаты выполненных в одних и тех же ус­ловиях n прямых измерений (содержащих случайные погрешности) некоторой физической величины х с последующим вычислением среднего арифметического

как наиболее вероятного значения измеряемой величины. Далее найдены абсолютные погрешности отдельных измеренийх_i = - x_i , ха­рактеризующие отклонения x_i, от , и их квадраты ( - x_i)², которые в отличие от значения х_i образовывают набор только положительных чисел. Сумма по­следних используется для вычисления средней квадратичной погрешности отдельного измерения, называемой также средним квадратичным отклонением, или стандартным отклонением, или стандартной ошибкой:

 

(1)

Квадрат этой величины, ², называется дисперсией измерений (от латин­ского dispersus - «рассеяние») и является мерой отклонения измеряемой вели­чины x_i от среднего значения , т.е. мерой рассеивания результатов измерений.

Наряду со средней квадратичной погрешностью отдельного (индивиду­ального) измерения важным является вычисление средней квадратичной погрешности _m результата измерений, за который принимают среднее из n из­мерений (отсюда другие названия погрешности _m: среднеквадратичное откло­нение среднего, стандартное отклонение среднего, стандартная ошибка средне­го). Эти два среднеквадратичных отклонения - отдельного измерения и резуль­тата n измерений (т.е. среднего значения) - связаны между собой:

(2)

Из выражения (2) видно, что стандартное отклонение среднего в меньше стандартного отклонения отдельного измерения, откуда следует воз­можность понижения погрешности путем увеличения числа измерений. Однако лучше уменьшать погрешность _m, повышая точность измерений, т.е. снизив величину посредством уменьшения абсолютных погрешностей отдельных измерений.

В то же время при небольшом числе измерений абсолютную случайную среднеквадратичную погрешность среднего x, представляющую собой полу­ширину доверительного интервала, следует оценивать на основе стандартного отклонения (2) по формуле Стьюдента (Student - псевдоним английского иссле­дователя B.C. Госсета, что в переводе здесь означает «ученый»). Эта формула, соотносясь с выражением (2), имеет вид

(3)

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от величины доверительной веро­ятности Р и числа измерений п. Для принятого согласно ГОСТ 8.207-76 значе­ния Р = 0.95 коэффициенты при различных п приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0.95 и числе измерений n

n		п		п		п
	12.71		2.45		2.20		2.12
	4.30		2.36		2.18		2.11
	3.18		2.31		2.16		2.10
	2.78е		2.26		2.14		2.09
	2.57		2.23		2.13		1.96

Погрешности приборов

Кроме рассмотренных погрешностей прямых измерений на их результат влияют также ошибки, которые вносят непосредственно измерительные прибо­ры. К этим ошибкам относятся погрешности, связанные с устройством, состоянием и условиями функционирования самого прибора, а также с округлением его показаний.

Максимальная абсолютная погрешность прибора при доверительной ве­роятности Р = 0.95 выражается через предельную погрешность прибора как

= 0.67. (4)

Величина обычно указывается на самом приборе или в его паспорте.

Погрешность, обусловленная округлением показаний прибора, определя­ется для полуширины соответствующего доверительного интервала при задан­ной доверительной вероятности Р = 0.95 по формуле

= 0.48, (5)

где - цена наименьшего деления шкалы прибора.

Значения и и соответственно погрешности и для приборов, используемых в настоящей работе, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Погрешности приборов при Р = 0.95

Прибор	Предельная погрешность прибора,	Абсолютная погрешность прибора,	Цена наименьшего деления прибора,	Погрешность округления показания прибора,
Микрометр	0.01 мм	0.007 мм	0.01 мм	0.005 мм
Штангенциркуль	0.1 мм	0.07 мм	0.1 мм	0.05 мм
Весы технические	0.1 г	0.007 г	0.1 г	0.005 г

Погрешности, вносимые ошибками, которые дают прибор и округление его показаний, суммируются с абсолютной случайной погрешностью измере­ний, определяемой по формуле (3) (суммирование производится по правилу, называемому квадратичным сложением). Тогда результирующая погрешность прямых измерений имеет вид

(6)

5. Запись окончательного результата

Вычисление величины абсолютной погрешностих проводится с точно­стью до одной значащей цифры, если эта цифра больше или равна 2, и до двух значащих цифр, если первая из них единица. При этом среднее значение сле­дует округлить таким образом, чтобы погрешностьх приходилась лишь на по­следний разряд числа среднего , если погрешностьх записана с точностью до одной значащей цифры, либо на два последних разряда числа , еслих оп­ределена с точностью до двух значащих цифр.

Окончательный результат измерений записывается в виде

x = ± х (7)

с указанием единиц измерения.

Погрешности в косвенных измерениях

Как говорилось выше, если измеряемая величина является функцией не­скольких непосредственно измеренных параметров, то измерение такой вели­чины называется косвенным, а соответствующая погрешность результата обу­словливается видом функциональной зависимости. При этом погрешности вхо­дящих в данную зависимость величин в процессе обработки результатов изме­рений «распространяются», приводя к погрешности в конечном результате. От­сюда двухэтапность процедуры: сначала определение погрешностей непосред­ственно измеренных величин, а затем расчет погрешности искомой величины, функционально связанной с ними. Такой расчет погрешности в косвенных из­мерениях может быть представлен как последовательность определенных ша­гов, каждый из которых включает в себя только один из следующих видов опе­раций: нахождение сумм и разностей, расчет произведений и частных, вычис­ление функции одного переменного (например, возведение в степень).

В случае, когда величина z функционально связана с величинами а и Ь, погрешности которых случайны, независимы и сравнительно малы, по­грешность результата косвенного измерения выражается через погрешностиа иb следующим образом.

При z=a+b и z=a-b, z= .

При z = a x b и z = , = .

При z = , = .

Из приведенных формул видно, что при сложении и вычитании измеряе­мых величин складываются квадраты абсолютных погрешностей, в то время как при умножении и делении - складываются квадраты относительных по­грешностей. Соответственно в первом случае из найденной абсолютной по­грешности результата косвенного измерения рассчитывают относительную по­грешность, а во втором случае, наоборот, сначала находят относительную по­грешность, а затем определяют абсолютную (как делается, в частности, в на­стоящей работе).