БЕРІЛГЕН ФУНКЦИЯНЫ ФУРЬЕ АТАРЫНА ЖІКТЕУ

ТАРАУ

ФУРЬЕ АТАРЫ.

4.1. Фурье атары.Фурье атары функционалды атарды дербес трі. Функционалды атар деп

тріндегі рнекті айтады. Мндаы - бір немесе бірнеше туелсіз айнымалара байланысты функциялар. Ілгеріде біз екі жне ш туелсіз айнымалыа байланысты функцияларды жиі олданамыз. зірше бір айнымалы функциялардан тратын атарлара байланысты негізгі ымдарды арастырамыз. Функционалды атар туелсіз айнымалысыны рбір бекітіп алынан мнінде

тріндегі санды атара айналады. Санды атар жинаталуы да, жинаталмауы да ммкін. Санды атар жинаталса, онда нктесін функционалды атарды жинаталу нктесі деп атайды. Функционалды атарды жинаталу нктелерінен тратын жиынды атарды жинаталу облысы деп атайды. Математикалы анализ курсында функционалды атарды дербес трі ретінде

дрежелік атары арастырылады. Оны жинаталу облысы бір нктесінен, немесе центрі нктесінде орналасан радиусы – аырлы санына те интервалдан, немесе аралыындаы барлы нктелерден труы ммкін. Жалпы жадайда функционалды атарды жинаталу облысын табу иын есептерді бірі.

Тригонометриялы атарлар теориясында ортонормаланан функциялар жйесі арастырылады. кесіндісінде (немесе интервалында) аныталан жне

болатын, функцияларынан ралан жйесіні мшелері шін

тедігі орындалатын болса, онда жйесін кесіндісінде (немесе интервалында) ортогональ жйе деп атайды.

санын функциясыны нормасы деп атайды. Егер кесіндісінде ортогональ жйедегі функцияларыны нормасы бірге те болса, ондай жйені ортонормаланан жйе деп атайды. Ортогональ жйеге арапайым мысал ретінде аралыында аныталан тригонометриялы функциялардан тратын

(*)

жйесін алуа болады. Осы жйені шынында да кесіндісінде ортогональ жйе болатындыын крсету шін тмендегі интегралдарды есептейік:

1. ; 2.

Егер болса, онда

5. , егер болса.

Егер болса, онда

Демек,

6. , егер

Егер болса, онда

Cондытан,

Сонымен, (*) жйесіні кесіндісінде ортогональ жйе болатындыы длелденді. Біра ол ортонормаланан жйе емес. (*) жйесі ортонормаланан жйені анытайды, егер де оан кіретін функцияларды нормасы бірге те болса, мысалы,

жйесі кесіндісінде ортонормаланан жйе. Таы да ортогональ жйеге

жйелерін мысал ретінде арастыруа болады. Тригонометриялы емес те ортогональ жйелер болады. Оларды ілгерідегі тарауларда арастыратын боламыз.

4.1.1 анытама. Коэффициенттері

(4.1.1)

формулалары арылы табылатын

тригонометриялы атар аралыында аныталан, периоды те болатын функциясыны тригонометриялы Фурье атары деп аталады. Мндаы . Фурье атарыны коэффициенттері деп аталады.

функциясыны асиетіне байланысты оан сйкес келетін тригонометриялы Фурье атарыны трі згеріп отырады. Соан тоталып тейік.

1.Егер функциясыны периоды болса, онда оан сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары

трінде, ал коэффициенттері

формулалары арылы табылады.

2.Егер функциясы аралыында жп функция болса, онда оан сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары

трінде, ал коэффициенттері

=1,2,…

формулалары арылы табылады.

3.Егер функциясы аралыында та функция болса, онда оан сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары

трінде, ал коэффициенттері

формулалары арылы табылады.

функциясына сйкес келетін тригонометриялы Фурье атарына байланысты тмендегідей сратар туындайды.

1. функциясына сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары нктесіні андай мндерінде жинаталады;

2. функциясына сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары жинаталса, онда оны осындысы ай уаытта осы атарды тудыратын функциясына те болады.Бл сратара тменде келтірілетін Дирихле теоремасыны тжырымы жауап береді.

функциясы аралыында Дирихле шартын анааттандырады дейді, егер де ол

а) кесіндісінде зіліссіз немесе осы кесіндіде саны аырлы бірінші ретті зіліс нктелерге ие болса;

) рбір зіліссіз болатын интервалда монотонды немесе осы интервалда саны аырлы экстремум нктелерге ие болса.

Мысалы, 13– суретте крсетілген функция кесіндісінде Дирихле шартын анааттандырады.

Дирихле теоремасы.Егер периоды те функциясы кесіндісінде Дирихле шартын анааттандыратын болса, онда оны тригонометриялы Фурье атарына жіктеуге болады, сонымен атар:

а) функциясы зіліссіз болатын рбір нктесінде тригонометриялы Фурье атары мніне жинаталады;

) функциясы зілісті болатын рбір нктесінде тригонометриялы Фурье атары мніне жинаталады. Мндаы .

13 – сурет.

Ілгеріде дербес туындылы дифференциалды тедеулерді шешу кезінде тригонометриялы Фурье атарын бірнеше рет мшелеп дифференциалдауа тура келеді. Оан байланысты тмендегідей сратар туындайды:

1) андай шарттар орындаланда, тригонометриялы Фурье атарыны мшелеріні туындыларынан тратын атарлар жинаталады?

2) андай жадайда, осындай атарларды осындылары сйкесінше берілген функцияны туындыларына те болады?

Бл сратара толы жауап беру бізді курсты аумаынан шыып кетеді. Сонда да айта кететін жадай, егер функциясыны зіліссіз болуымен атар ажетті зіліссіз туындылары бар болса, онда оан сйкес келетін тригонометриялы Фурье атарын ажетінше мшелеп дифференциалдауа болады жне одан шыан атарлар сйкесінше берілген функцияны туындыларына жинаталады. Алдаы уаытта тек ана осындай функцияларды арастыратын боламыз.

Тригонометриялы Фурье атарын кесіндісінде ортогональ болатын функциялар жйесінен ралан Фурье атарыны дербес жадайы ретінде арастыруа болады. Бл жадайда жйеге атысатын функцияларды периодты болуы міндетті емес.

4.1.2 - анытама. Коэффициенттері

формуласы арылы табылатын атарын кесіндісінде аныталан функциясыны ортогональ жйесі бойынша алынан Фурье атары деп атайды.

Егер ортогональ жйесі ортонормаланан жйе болса, онда Фурье атарыны коэффициенттері формуласы арылы табылады. Мндай атарларды жинаталуы туралы сратар арнайы ылыми дебиеттерде арастырылады. Біз осы параграфта осындай атарлара байланысты Стеклов теоремасын келтіреміз.

Стеклов теоремасы. кесіндісінде зіліссіз екінші ретті туындысы бар, жне біртекті шекаралы шарттарды анааттандыратын кез келген функциясы осы кесіндіде - Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялар жйесі бойынша жинаталатын Фурье атарына жіктеледі, яни . Мндаы Фурье атарыны коэффициенттері

формуласы арылы табылады.

айтадан кесіндісінде ортогональ жйе райтын

, ;

жйелерін арастырайы. – кесіндісінде аныталан функция болсын. Онда осы функцияны жоарыда крсетілген ортогональ жйелер арылы кесіндісінде Фурье атарына жіктеуге болады. Коэффициенттері

формулалары арылы табылатын тригонометриялы атарды функциясыны кесіндісінде косинустар бойынша Фурье атары деп атайды. Егер тригонометриялы атарды коэффициенттері нлге, ал

формуласы арылы табылатын болса, онда

атарын функциясыны кесіндісінде синустар бойынша Фурье атары деп атайды.

Жоарыда арастырылан атарларды Дирихле теоремасын пайдаланып зерттеуге болады. Наты айтса, егер функциясы кесіндісінде Дирихле шартын анааттандыратын болса, онда осы функцияны косинус жне синус бойынша Фурье атарлары жинаталады жне функциясыны зіліссіз болатын нктелерінде берілген атарларды осындысы функцияны осы нктелердегі мніне те болады. функциясыны зіліс нктелерінде атарларды осындысы осы нктелердегі функцияны сол жне о жа шектеріні орта арифметикалы мніне те. Кесіндіні шеткі нктелерінде функцияны косинус бойынша Фурье атарыны осындысы осы нктедегі функцияны мніне, ал синус бойынша Фурье атарыны осындысы нлге те болады.

4.2. Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялары арылы берілген функцияны Фурье атарына жіктеу.Алдымен Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялары тригонометриялы функциялар болатын жадайларды арастырайы. Оны мысалдар арылы тсіндіреміз.

4.2.1 – мысал. - Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялары бойынша функциясын кесіндісінде Фурье атарына жіктеіз.

Шешу:

1. кесіндісінде берілген Штурм – Лиувилль есебін туелсіз айнымалысына алмастыру жасау арылы кесіндісінде берілетін Штурм – Лиувилль есебіне келтіреміз. Ол шін деп алмастыру енгіземіз. Онда болан кезде жне болан кезде болады. Мндай алмастыру кезінде дифференциалды тедеу мен шекаралы шарттар згермейді, йткені

, ;

, . (4.2.1)

(4.2.1) есебі болан кезде 3.3 пунктінде арастырылан (3.3.6) Штурм – Лиувилль есебімен пара – пар болады. Сондытан (4.2.1) есебіні меншікті мндері

ал зіндік функциялары

формулалары арылы табылады.

2. функциясы алмастыруын олдананнан кейін

тріне келеді. Бл функцияны Стеклов теоремасыны тжырымын пайдаланып берілген Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялары арылы жіктейміз, яни

трінде. Мндаы

(Жоарыдаы интегралдарды есептеу кезінде жне болатындыы ескерілген).

Сондытан функциясына сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары

трінде жазылады.

функциясы кесіндісінде зіліссіз жне Дирихле теоремасыны барлы шарттарын анааттандыратын боландытан

(4.2.2)

тедігі орындалады.

3. функциясын кесіндісінде Фурье атарына жіктеу шін (4.2.2) тедігіндегі айнымалысын айнымалысымен алмастырып,

тедігін аламыз. Бл тедік функциясыны кесіндісіндегі берілген Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялары бойынша Фурье атарына жіктеуін анытайды.

4.2.2 - мысал. - Штурм – Лиувилль есебіні зіндік функциялары бойынша

функциясын кесіндісінде Фурье атарына жіктеу керек.

1) - Штурм – Лиувилль есебі болан кезде 3.3 пунктінде арастырылан (3.3.8) есебімен пара–пар болады. Сондытан берілген Штурм – Лиувилль есебіні меншікті мндері ( сандары тедеуіні тбірлері), ал зіндік функциялары

формулалары арылы табылады.

2) Берілген функциясын Фурье атарына жіктейміз:

мндаы

йткені

Сондытан функциясына сйкес келетін тригонометриялы Фурье атары

трінде жазылады. функциясы кесіндісінде Дирихле шартын анааттандыратын боландытан, Дирихле теоремасы бойынша

егер .

Жоарыда арастырылан мысалдарда Штурм-Лиувилль есебіні зіндік функциялары тригонометриялы функциялар болды. Біра, бдан Штурм-Лиувилль есебіні барлы уаытта зіндік функциялары тригонометриялы функциялар болады деген тжырым жасауа болмайды. Соан байланысты мысал арастырайы.

Мысал.

(4.2.3)

тедеуін арастырайы. Мндаы жне функциялары (3.1.5) тедеуіні коэффициенттерінен айырмашылыы болан кезде p(x) пен r(x)нлге те болады, ал , егер . Мндай жадайда x=0 нктесін коэффициенттерді ерекше нктесі деп атайды. Коэффициенттері ерекше болып келетін жай дифференциалды тедеулер дербес туындылы дифференциалды тедеулерді шешу кезінде жиі кездеседі. Мысалы, ілгеріде эллиптикалы типті тедеуге ойылатын Дирихле есебін Фурье дісімен шешу кезінде біз (4.2.3) тедеуіне келеміз.

(4.2.3) тедеуін жне параметрлі Бессель тедеуі деп атайды. Туелсіз х айнымалысыны орнына жаа айнымалысын енгізу арылы (4.2.3) тедеуіндегі параметрінен тылуа болады, яни

немесе

(4.2.4)

Бл жадайда айнымалысы комплекс айнымалы болады. (4.2.4.) тедеуіні шешімдері жалпы жадайда арапайым элементар функциялары арылы рнектелмейді. Оларды - ретті ( - параметрі кез-келген наты немесе комплекс сандар болуы ммкін) цилиндрлік немесе Бессель функциялары деп атайды.

(4.2.4) тедеуіні шешімін

тріндегі жалпыланан дрежелік атар трінде іздестіреміз. Осы атарды (4.2.4) тедеуіне ою арылы атарды коэффициенттері шін

(4.2.5)

трінде аныталатын рекуррентті байланыс аламыз. Осы байланыстарды біртіндеп шешу арылы

(4.2.6)

тріндегі атара келеміз. Жаша ішіндегі атарды х-ті барлы мндерінде жинаталатындыын крсету иын емес. (4.2.6) атарын рнегіне кбейтіп, берілген (4.2.4) тедеуіні шешімі болатын

(4.2.7)

-ретті Бессель функциясын аламыз. Мндаы

Оны Г- функция деп атайды. Г - функция шін

тедігі орындылады. Осы байланыс Г функциясын 0,-1,-2,... сандардан баса параметріні мндерінде анытауа ммкіншілік береді. Егер болса, онда (4.2.4) тедеуіні екінші шешімін

атар трінде іздестіруге болады. Бл жадайда - коэффициенттері шін де (4.2.5) рекурренттік байланысы шыады, тек -ны (- )-а алмастыру керек. Осы байланысты біртіндеп шешу нтижесінде

трінде аныталатын екінші шешімге келеміз. жне функцияларыны сызыты туелсіз болатындыы крініп тр, йткені функциясы нктесінде нлге, ал функциясы нлге мтылан кезде -ке мтылады. Сондытан - параметріні жоарыда крсетілген мндерінде

функциясы берілген Бессель тедеуіні жалпы шешімін анытайды. Бессель функциясыны аралыында шексіз кп нлдері болады. Оларды есептеу машиналары арылы табуа болады немесе олар кейбір дебиеттерде кесте трінде беріледі. Бессель тедеуіні коэффициенттері ерекше боландытан нктесіндегі шекаралы шарт басаша жаа нлге мтылан кезде шешімі шенелген болу керек деген шартпен алмастырылады. Ал нктесіндегі шарт згермейді. Осындай айырмашылытара арамастан Штурм-Лиувилль есебіні зіндік функциялары мен меншікті мндеріні асиеттері Бессель тедеуі шін саталынады. Жоарыда айтыландарды тереірек тсіну шін бтін болан кездегі Бессель тедеуіні дербес трі

(4.2.8)

-функциясы нлге мтыланда шенелген

(4.2.9)

болатын Штурм-Лиувилль есебін арастырайы. Жоарыда крсетілгендей (4.2.8) тедеуіні нлге мтылан кезде шенелген болатын ( шешімі нлге мтылан кезде шенелмеген) шешімі бар. Ол нктесінде

(4.2.10)

тедігін анааттандыру керек. (4.2.10) тедеуіні интервалында шексіз кп шешімдері бар. Оларды трінде белгілейік. Демек, (4.2.8)-(4.2.9) Штурм-Лиувилль есебіні меншікті мндері

, i=1,2,…

ал зіндік функциялары

формулалары арылы табылады.

(4.2.8) )-(4.2.9) Штурм-Лиувилль есебіні меншікті мндері мен зіндік функцияларыны негізгі асиеттерін атап тейік:

1) тек бір меншікті мніне сйкес келетін екі зіндік функция сызыты туелді;

2) р трлі жне меншікті мндеріне сйкес келетін екі жне зіндік функциялары интервалында салмаы бойынша ортогональ;

3) ртрлі меншікті мндерге сйкес келетін зіндік функциялар сызыты туелсіз функциялар жйесін райды;

4) (4.2.8) )-(4.2.9) есебіні меншікті мндері наты сандар;

5) (4.2.8) )-(4.2.9) есебіні

; ,

тесіздігін анааттандыратын шексіз кп меншікті мндері бар;

Стеклов теоремасыны шарттарын анааттандыратын функциясыны Бессель функциялары арылы жіктелінген Фурье атары

тріндегі тедікпен беріледі. Мндаы

Бессель функциясыны нормасын есептеуді арнайы функциялара арналан кітаптардан табуа болады.

4.3. Кейбір арапайым тжырымдар. Ілгеріде ажет болатын математикалы анализде арастырылатын кейбір арапайым тжырымдарды еске тсіріп кетейік.

4.3.1 – лемма. Та (жп) функцияны туындысы жп (та) функция болады.

Длелдеуі. функциясы та функция болсын, яни функцияны аныталу облысы ноль нктесіне араанда симметриялы жиын жне аныталу облысында жатан кез келген – тер шін

(4.3.1)

тедігі орындалады. (4.3.1) тедігін дифференциалдау арылы аныталу облысында жатан кез келген – – тер шін

(4.3.2)

тедігін аламыз. Олай болса, жп функция.

(4.3.2) тедігін таы бір рет дифференциалдау арылы аныталу облысында жатан кез келген –тер шін

тедігіне келеміз. Бдан жп функция болан кезде оны туындысы - та функция болатындыын креміз.

4.3.2- лемма. Егер периодты та функциясыны екінші ретті зіліссіз туындысы бар болса, онда функциясы шін

тедіктері орындалады.

Длелдеуі. Лемманы шарты бойынша – та функция. Сондытан сан тзу бойында жатан кез келген -тер шін тедігі орындалады. кезде соы тедіктен тедігін аламыз. периодты функция боландытан, .

Осы тедікті жне та функция болатындыын ескеріп,

тедігіне келеміз. Сонымен, .

4.3.1-лемманы тжырымы бойынша та функцияны екінші ретті туындысыда та функция болатындытан

тедігі орындалатын болады.

4.3.1- теорема. Егер ( ) функциясы кесіндісінде екі рет (бір рет) зіліссіз дифференциалданатын болса жне шарттын анааттандырса, онда оны аралыында, содан кейін – периодты ылып бкіл сан сіні бойына жаластыруа болады. Сонымен атар, жаластырудан шыан функция екі (бір) рет зіліссіз дифференциалданады жне кесіндісінде осындысы функциясына те болатын синус бойынша Фурье атарына жіктеледі.

4.3.2 – теорема. Егер функциясыны кесіндісінде:

а) рет зіліссіз туындысы бар болса;

б) -ші ретті туындысы блік-зіліссіз болса;

в) болса

онда

атары жинаталады. Мндаы функциясыны Фурье атарыны коэффициенттері. Сонымен атар функциясыны Фурье атары функциясына біралыпты жинаталады жне оны -рет мшелеп дифференциалдауа болады.

Вейерштрасс белгісі. Егер облысында аныталан функционалды атарыны жалпы мшесі облысында жатан кез келген –тер шін тесіздігін анааттандырса жне санды атары жинаталатын болса, онда функционалды атары облысында біралыпты, абсолютті жинаталады жне оны осындысы облысында зіліссіз функция болады.

Вейерштрасс белгісі орындалан кезде санды атарын функционалды атар шін мажорлаушы (баалаушы) атар деп атайды.