Дербес туындылы дифференциалды тедеулерге келтірілетін негізгі есептер.

5.1.1-есеп.Біртекті материалдан жасалан атты керілген зындыы -ге те ішекті арастырайы. Ішек тынышты жадайда ОХ осіні кесіндісімен беттессін. Егер ішекті тартып, одан со оя берсек, онда ішек тербеліске шырайды. Ішек XOUжазытыында (14-сурет) тербелсін жне оны рбір х нктесі ОХ осіне перпендикуляр озалатын болсын (клдене тербеліс). Ауырлы кшіні серін есепке алмаймыз.

 

 

14-сурет

U –деп ішекті тынышты жадайдан х нктесіндегі ауытуын белгілейік. Бл ауыту уаыта да байланысты болады. Демек, U-ауытуы екі айнымалы функция, яни U=U(x,t). Ішекті те аз тербелісін арастыран кезде, осы процеске сйкес келетін математикалы модель

 

 

тедеуі арылы жазылатынын келесі пункте арастырамыз. Бл тедеу бір лшемді толынды тедеумен пара пар. Ішекке сырты кш сер еткен кезде (мысалы, тартылыс кші) оан сйкес келетін математикалы тедеу

 

 

біртекті емес толынды тедеу арылы жазылады. Бл тедеулердегі а –траты физикалы шама, ал сырты кшпен байланысты функция.

5.1.2-есеп. Біртекті материалдан жасалан атты керіліп, штары бекітілген мембрананы арастырайы. Мембрананы стінен рып жіберсек, онда ол тербеліске шырайды. Мембрана тынышты жадайда ХОУ жазытыыны андайда бір облысымен беттеседі (15-сурет) деп, ал тербеліс кезінде оны барлы Р(х,у) нктелері осы жазытыа перпендикуляр озалады деп йарайы. Ауырлы кшіні серін есепке алмаймыз. Сонымен бірге мембранаа сырты кш сер етпейтін болсын.

 

 

15-сурет

U –деп мембрананы t уаыт моментіндегі Р(х,у) нктесіндегі тынышты жадайындаы ауытуды белгілейік, яни U=U(x,у,t). Онда мембрананы те аз тербелісіне сйкес келетін тедеу

 

 

трінде жазылады. Бл тедеу жазытыта берілген толынды тедеуге пара - пар. Осы тедеуге Лаплас операторын пайдаланып,

 

 

трінде айта жазуа болады. Мндаы а- траты физикалы шама.

5.1.3-есеп. Кеістікті андай да бір нктесінде дыбыс шыаратын рал орналасан болсын. Дыбысты таралуына сйкес келетін тедеу кеістікте берілген толын тедеуімен пара-пар.

Амплитудасы кішкентай механикалы тербелістерді физиктер толындар деп атайды. Жоарыда аталан тедеулерді аттары осыан байланысты толынды тедеулер деп аталып кеткен. Физика курсында толындар сфералы, цилиндрлік жне жазы болып шке блінеді. Осыан байланысты кеістіктегі толынды тедеу сфералы толындара, жазытытаы толынды тедеу цилиндрлік толындара, ал бір лшемді толынды тедеу жазы толындара сйкес келеді.

(1.2.7), (1.2.8), (1.2.9) тедеулеріне келтірілетін есептерді арастырайы. Бл тедеулер жылу таралу процесімен байланысты боландытан, оларды жылуткізгіштік тедеулері деп атайды.

5.1.4-есеп. зындыы -ге те біртекті жа материалдан жасалан стерженьді арастырайы. Бастапы жадайда ол біралыпты ыздырылмаан болсын деп йарайы. Онда оны жылу ткізгіштігіне байланысты кбірек ызан блігінен азыра ызан блігіне арай жылу беру процесі пайда болады. Сондытан стерженьні рбір нктесіндегі температурасы нктесіне жне уаыта байланысты екі айнымалы U=U(x,t) функциясын анытайды. Егер стерженьні бйір беті мен шеті жылу ткізбейтін, яни сырты ортамен жылу алмасу процесі болмаса, жне осымша стерженьні ішінде жылу кзі жо болса, онда стерженьні кез келген нктесіндегі температура біраз уаыт ткеннен кейін теесіп, стерженьні бойында траты температура пайда болады. Стерженьні бйір беті жылу ткізбейді жне ішкі жылу кзі болмаан жадайда U=U(x,t) температурасы

 

 

біртекті тедеуді анааттандырады. Егер ішкі жылу кзі болса, онда жылуткізгіштік тедеуі

 

 

біртекті емес тедеу трінде аныталады. Егер стерженьні бйір беті арылы сырты ортамен жылу алмасу процесі болатын болса, онда жылуткізгіштік тедеуі крделі

 

 

тріндегі тедеу арылы беріледі. Мндаы сырты ортадаы температура, -жылу ткізгіш коэффиценті, ал -жылу алмасу коэффиценті. Олар стерженьні жасалан материалына байланысты болады.

5.1.5-есеп. Кеістікте алыпты ыздырылмаан біртекті атты дене берілсін. лбетте, оны жылу ткізгіштігіне байланысты кбірек ызан блігінен азыра ызан блігіне арай жылу алмасу процесі пайда болады. Нтижесінде уаыт ткен сайын денені рбір нктесіні температурасы згеріп отырады. Сондытан денені р нктесіндегі температурасы нктесіне жне уаыта байланысты функциясы арылы аныталады. Денені ішінде жылу кзі болмаан жадайда функциясы

 

 

тедеуін анааттандырады. Егер денені ішінде осымша жылу кзі бар болса, онда жылуткізгіштік тедеуі

 

 

біртекті емес тедеу трінде аныталады. Бл тедеуді Лаплас операторыны анытамасын пайдаланып,

 

 

трінде жаза аламыз. лбетте, бір жне екі лшемді жылуткізгіштік тедеулері кеістіктегі жылуткізгіштік тедеуіні дербес жадайы болып табылады.

Жоарыда біз уаыта жне кеістіктегі орнына байланысты згеріп отыратын процесті арастырды. Біра, уаыта байланыссыз, тек орнына байланысты згеріп отыратын процестер де жиі кездеседі. Мндай процестерді стационар процестер деп атайды. Кптеген процестер біршама уаыттан кейін стационар процеске айналады. Мысалы, денедегі температураны таралуы кп уаыт ткеннен кейін уаыта байланысты болмайды. Демек, . Сондытан температураны стационар таралуын сипаттайтын тедеу трінде аныталады. Бл - Лаплас тедеуі. Егер денені ішінде уаыта байланыссыз зеретін жылу кзі болса, онда стационарлы процесс

 

 

Пуассон тедеуі арылы сипатталады.

5.1.1 - ескерту. Лаплас жне Пуассон тедеулеріне стационарлы процестерден де баса, физика облысында (электростатикада, гидродинамикада) жне техникада (мысалы, пайдалы азбаларды электрлік дістер арылы іздестіру) кездесетін кптеген есептер келеді. Біра, крсетілген тедеулерді зерттеген кезде U функциясын температураны функциясы ретінде арастыран те ыайлы. Дл осы сияты жылуткізгіштік тедеуі жылуды таралу процесімен атар диффузиялы процестерді (мысалы, ттін шыатын трубадаы ттін диффузиясы) сипаттайды. Толынды тедеулер электромагниттік рістерді, электрлік толындарды зерттегенде гидродинамика жне акустикада, серпімділік теориясында кездесетін есептерді шыару кезінде пайда болады. Ілгеріде, біз математикалы физика тедеулері олданылатын облыстарды барлыын бл курста арастыра алмайтын боландытан, те арапайым модельге сйкес келетін процестерді тедеулерін орытып шыарамыз.

5.2. Ішекті тербеліс тедеуін орытып шыару.Ішек тербеліс тедеуіні математикалы моделін ру шін ішекті блігіне сер ететін барлы кштерді арастырамыз (16-сурет). Ішек июге ешандай кедергі жасамаандытан оан сер ететін керілу кші ішекті блігіні шеткі нктелері арылы жргізілген жанама бойымен баытталады. Ішекті те кіші тербелісін арастырандытан, шамалары те кішкентай болады. Сондытан, оларды кбейтінділерін жне квадраттарын ескермеуімізге болады. Енді ішекті аралыындаы блігін арастырамыз. Ауыту кезінде нктелері сйкесінше М₁, М₂ нктелеріне кшеді. Ішекті кез келген блігі ауыту кезінде зіні зындыын згертпейді. Шынында, да

 

 

Сондытан Гук заы бойынша керілу кшіні шамасы жне аргументтеріні барлы мндерінде траты болады, яни . сіне перпендикуляр баытталатын уаыт кезіндегі нктесіне сер ететін сырты кшті тыыздыын деп белгілейік. Енді ішекті арастырып отыран блігіне Ньютонны ІІ заын пайдаланса, онда немесе мндаы -ішекті х нктесіндегі тыыздыы, ішекті кесіндісіндегі массасы, ал осы нктеге сер ететін кш. кші тербеліс клдене боландытан ішекті блігіні штарына сер етуші керілу кштерді вертикаль проекцияларынан жне сырттай сер ететін

кшті осындыларынан трады.

 

16-сурет

 

Олай болса,

 

 

немесе

 

(5.2.1)

 

Кішкентай ауытулар шін те аз шама боландытан,

 

 

ескеріп, (5.2.1) тедігінен

 

 

жуы тедігіне келеміз. Дл тедік алу шін жоарыдаы жуы тедікті екі жаын –ке бліп, оны нлге мтылдырамыз, яни

 

.

 

Бдан

 

,

 

йткені

 

 

бар жне ол -ке те.

 

 

тедеуін еркін емес ішек тербелісіні тедеуі деп атайды.

Егер ішекті тыыздыы барлы жерде бірдей болса, const , яни ішек біртекті материалдан жасалан болса, онда ішекті тербеліс тедеуі

 

(5.2.2)

 

трінде жазылады, мндаы . (5.2.2) тедеуін бір лшемді толынды тедеуі деп те атайды.

Жоарыда орытып шыаран сияты мембрананы кішкентай клдене тербелісіні тедеуі

(5.2.3)

 

трінде болатындыын крсетуге болады. (5.2.3) тедеуін екі лшемді толынды тедеу деп те атайды.

 

(5.2.4)

 

ш лшемді толынды тедеуі біртекті ортада таралатын дыбысты таралу процесіне сйкес келетін тедеу.

Біз (5.2.2), (5.2.3) жне (5.2.4) тедеулерін Лаплас операторын пайдаланып, бір формула

 

 

трінде жазатын боламыз.

5.3. Жылуткізгіштік тедеуін орытып шыару.зындыы -ге те болатын андай да бір материалдан жасалан стержень берілсін. (17-сурет).

 

17-сурет

 

Стерженьні кішкентай блігіндегі температурасыны згеру задылыын рнектейтін тедеуді ру керек. Стерженьні бойымен таралатын жылуды математикалы моделін жасау шін тмендегі крсетілген йарымды жасайы: стержень жылу ткізетін біртекті материалдан жасалан; стерженьні бйір беттері жылу ткізбейді, яни жылу сімен ана таралуы ммкін; стержень те жа, яни стерженьні кез келген клдене имасындаы температура барлы жерде бірдей.

Стерженьні уаыт моментіндегі нктесіндегі температурасын U(x,t) деп, ал деп нктесіндегі сйкесінше оны тыыздыын, меншікті жылу сыйымдылыын жне жылу ткізгіш коэффициентін белгілейік. - уаыт моментіндегі стерженьні нктесінде орналасан жылу кзіні тыыздыы болсын. Физикадан белгілі жылу млшеріні саталу заын: «Стерженьні S имасындаы жылу млшері осы иманы шекарасы арылы тетін толы жылу млшеріне, стерженьні ішкі жылу кзі арылы пайда болатын толы жылу млшерін осана те» деген тжырымды пайдаланып, осы стерженьні S имасындаы уаыт кезіндегі балансын есептейік. Фурье заы бойынша, стерженьні блігіндегі температураны -а ктеру шін кететін жылу млшері

 

 

формуласы арылы есептеледі. Мндаы с(х) стерженьні нктесіндегі жылу сыйымдылыы (массасы 1кг те денені температурасын 1⁰ –а ктеруге кететін жылу млшері). Стерженьні сол жа шынан уаыт кезінде аып тетін жылу млшері

 

 

формуласымен есептеледі, мндаы стерженьні жылу ткізгіштік коэффиценті(арама-арсы шеттеріндегі температураны айырымы 1^о те болан кезде зындыы жне клдене имасыны ауданы 1-ге те стерженьнен 1 секундта тетін жылу млшеріне те шама). Бл формуладаы минус табасы ерекше тсіндіруді ажет етеді. детте, аым -ті су баытына арай аатын болса,о баытталан деп есептеледі. Бл жадайда нктесіні сол жаындаы температураны мні о жаынан лкен болады. Демек, болу керек. Сондытан Q₁-ді мні о болу шін формуланы алдына минус табасы ойылады. Дл осы сияты стерженьні о шынан уаыт кезінде аып тетін жылу млшері

 

 

формуламен есептелінеді. Егер стерженьні тыыздыы –а те ( уаыт бірлігіндегі бірлік бліктен шыатын жылу шамасы) болатын жылу кзі болса, онда жылу млшеріні саталу заын пайдаланып,

 

 

немесе

 

(5.3.1)

 

тедігін аламыз. Осы тедікті рнегіне бліп, пен -ны нлге мтылдырса, онда (5.3.1) тедігінен

 

 

тріндегі тедікке келеміз. Соы тедіктен

 

,

ал

 

екенін ескеріп,

 

(5.3.2)

 

тедігін аламыз.

Егер стержень біртекті болса, онда с, жне шамалары траты болады. Бл жадайда (5.3.2) тедігін

 

, , (5.3.3)

 

трінде жазуа болады. (5.3.3) тедеуін бір лшемді жылуткізгіштік тедеуі деп атайды.

Дл жоарыда крсетілген дісті пайдаланып, егер дене те жа пластинка болса, онда

 

(5.3.4)

 

ал дене ш лшемді кеістікте берілген біртекті атты изотропты дене болса, онда

 

(5.3.5)

 

тедіктері сйкесінше денедегі температураны згеру задылыын сипаттайтын тедеулерді анытайтындыын орытып шыаруа болады.

(5.3.4) тедеуін екі лшемді, ал (5.3.5) тедеуін ш лшемді жылуткізгіштік тедеулері деп атайды. Оларды Лаплас операторын пайдаланып,

 

 

бір формула трінде жазуа болады.

5.4. Стационар тедеу. Стационарлы процестер шін боландытан, толынды та, жылуткізгіштік тедеулері де

 

(5.4.1)

 

трінде беріледі. (5.4.1) тедеуін Пуассон тедеуі деп атайды. Егер (5.4.1) тедеуіндегі болса, яни , онда оны Лаплас тедеуі деп атайды.