Математикалы физика тедеулеріне ойылатын осымша шарттар.

Дербес туындылы дифференциалды тедеулерді жай дифференциалды тедеулер сияты шексіз кп шешімдері бар болады. Математикалы модель физикалы процесті толы бейнелеу шін (мысалы, берілген ішекті тербелісін немесе стерженьдегі температураны таралуын) осымша шарттар ажет. Жай дифференциалды тедеулер теориясында олар бастапы шарттар деп аталады. Нтижесінде шешімі бар жне жалыз болу теоремасыны тжырымы орындалатын Коши есебін алды. Дербес туындылы дифференциалды тедеу шін де бастапы шарттар ою арылы Коши есебін алуа болады. Математикалы физика тедеулерінде бастапа шарттар уаытты бастапы моментіндегі (t₀=0) физикалы процесті сипаттамасын анытайды. Бл шарттарды жай дифференциалды тедеуге ойылатын бастапа шарттардан згешелігі бар. Біріншіден, бастапы шарттар стационарлы емес процестерге сйкес келетін тедеулерге ойылады. Блар толын жне жылуткізгіштік тедеулері. Екінші, дербес туындылы дифференциалды тедеулерге ойылатын Коши есебіні жалыз шешімі болады, егер сйкес тедеулер тзу бойындаы немесе жазытытаы немесе кеістіктегі барлы нктелер шін аныталса. Бан мысал ретінде аырсыз ішек тербелісіне немесе аырсыз стержень бойында жылуды таралуына байланысты ойылатын есептерді айтуа болады. Практикада мндай есептерге процеске штарыны еш сері болмайтын те зын ішекті немесе те зын стерженьні штарынан алыс бліктерінде тетін процестерді арастыран жадайда келеміз. Жалпы жадайда штарыныны серін есепке алмаан дрыс емес. Мысалы зын сымны ортасынан жай ктеріп жіберіп ойса, онда оны бойымен оа жне сола арай толын тарайды. Толындар сымны штарына жетіп, шаылысып кейін айтан кезде алдындаы сымны ауыту бейнесі згеріске шырайды. Сондытан штарыны серін есепке алмаан, шаылысып кейін айтатын толындарды серін есепке алмаанмен бірдей.

 

- толынды тедеу шін

 

(5.5.1)

 

трінде берілетін екі бастапы шарт ойылады. Бірінші шарт уаытты бастапы моментіндегі ішекті ауытуын, ал екінші шарт уаытты бастапы моментіндегі ішек нктелеріні жылдамдыын сипаттайды. Толынды тедеу жазытыта немесе кеістікте берілсе, онда олар шін де екі бастапы шарт ойылады. Мндаы жне функциялары сйкесінше екі немесе ш туелсіз айнымалылара байланысты функциялар.

 

- жылуткізгіштік тедеуі шін

 

(5.5.2)

 

трінде берілетін бір бастапы шарт ойылады. Мндаы стерженьдегі уаытты бастапы моментіндегі температураны таралуын сипаттайтын функция. Жазытыта, кеістікте берілген жылуткізгіштік тедеуі шін де (5.5.2) сияты бір бастапы шарт ойылады. Тек мндаы функциясы сйкесінше екі немесе ш туелсіз айнымалыа байланысты болады.

5.6. Шекаралы шарттар.Егер ішекті немесе стерженьні зындыы аырлы болса, онда оларды штарыны серін есепке алмауа болмайды. Мндай жадайда бір ана бастапы шарт есепті шешіміні жалыздыын амтамасыз ете алмайды. Сондытан штарына осымша шарттар ою керек. Ондай шарттарды шекаралы немесе шектік шарттар деп атайды.

Кбінесе ішек тербелісі шін негізінен ш трлі шекаралы шарттар арастырылады. Олар:

1) бірінші шекаралы шарттар

 

(5.6.1)

 

(5.6.1) шекаралы шарттарыны физикалы маынасы ішекті шеткі нктелеріндегі тербелісін сипаттайды. Егер болса, онда (5.6.1) шекаралы шарттар ішекті штары атты бекітілгенін білдіреді.

2) екінші шекаралы шарттар

 

(5.6.2)

 

Мндай шарттар ішекті штары тік баытта кедергісіз озалып отыратын жадайда ойылады (18-сурет). йткені ішекті сол жне о жа штарына сер ететін кштер рнектері арылы аныталады. Сондытан (5.6.2) шекаралы шарттарыны физикалы маынасы ішекті шеткі нктелерінде андай да бір кштерді сер ететіндігін сипаттайды. Егер болса, онда (5.6.2) шекаралы шарттар ішекті штарыны бос екендігін білдіреді. Бл жадайда ішекті штарына ешандай кштер сер етпейді.

3) шінші шекаралы шарттар

 

(5.6.3)

 

Мндаы тратысыны мні k-серпімділік коэффициентіне байланысты. Крсетілген жадайда k-коэффициентіні мні екі шында бірдей. Кері жадайда ішекті штарындаы - ті мндері р трлі болады. Мндай шарттар ішекті штары серпінді бекітілген жадайа сйкес келеді.

 

 

18-сурет

 

Жылуткізгіштік тедеулері шін ойылатын шекаралы шарттарды трлері толынды тедеулер шін ойылатын шекаралы шарттарды трлерімен бірдей, біра оларды физикалы маынасы басаша. Жылуткізгіштік тедеуі шін (5.6.1) бірінші шекаралы шарттарыны физикалы маынасы стерженьні штарындаы температураны сипаттайды. Егер стерженьні штарындаы температура уаыт ткен сайын згермейтін болса, онда жне болады. Мндаы жне траты шамалар. Егер стерженьні штарындаы температураны мні уаыт ткен сайын нолден згермесе, онда болады, жылуткізгіштік тедеуі шін (5.6.2)-екінші шекаралы шарттарыны физикалы маынасы стерженьні штарындаы жылу млшерін сипаттайды. Егер жне болса, онда (5.6.2) шекаралы шарттарыны физикалы маынасы стерженьні штары жылу ткізбейді дегенді білдіреді, яни стерженьні штарында жылу алмасу болмайды. Егер стерженьні шында сырты оршаан ортамен Ньютон заы бойынша жылу алмасу орындалады десек, онда стерженьні ауданы 1-ге те болатын имасы арылы 1 секундта аып тетін жылу млшеріне те болатын жылу аыныны тыыздыы стержень мен оршаан ортаны температураларыны айырымына тура пропорционал болады, яни

 

Мндаы сырты ортамен жылу алмасу коэффициенті, сырты ортаны температурасы. Сондытан стерженьні сол жа шы арылы тетін жылу млшері - . Мндаы стерженьні сол жа шындаы оршаан ортаны температурасы. Екінші жаынан стерженьні тедеуін орытып шыару кезінде оны сол жаы арылы тетін жылу млшері

те болатынын крсеткен болатынбыз. Жылу млшеріні саталу заын пайдаланып

 

(5.6.4)

 

тедігі трінде аныталатын стерженьні сол жа шында ойылатын шінші шекаралы шартты бірінші тедігіне келеміз. Дл осы сияты стерженьні о жа шына ойылатын шекаралы шарт

 

(5.6.5)

 

тедігі арылы аныталатындыын крсету иын емес. Мндаы стерженьні о жа шындаы оршаан ортаны температурасы, ал . (5.6.4)-(5.6.5) шінші шекаралы шарттар бірінші жне екінші шекаралы шарттара араанда жалпыра. Мысалы, егер стерженьні андай да бір шынан жылу алмасу болмаса (яни сырты ортамен жылу алмасу коэффициенті нлге те болса), онда біз екінші шекаралы шарта келеміз. Егер мысалы, сырты ортамен жылу алмасу коэффициенті те лкен болса, онды (5.6.4) тедігінен, яни

 

 

шексіздікке мтылан кезде бірінші шекаралы шарта келеміз.

Жазытыта, кеістікте арастылатын жылуткізгіштік тедеулері шін де бір лшемді жылуткізгіштік тедеуіне ойылатын сияты шекаралы шарттар ойылады. Мндай жадайларда облысты шекарасы жазытытаы тйы Г исыын немесе кеістіктегі тйы бетін анытайтын болады. Осыан байланысты екінші жне шінші шекаралы шарттардаы белгісіз функцияны туындысы сйкесінше жазытыта Г исыына сырттай жргізілген нормаль баытында алынан туындыа, ал кеістікте бетіне сырттай жргізілген баытында алынан туындыа згереді (19-сурет). Мысалы, жазытаы біртекті бірінші шекаралы шарт , ал кеістікте трінде аныталады. Екінші шекаралы шарт жазытыта , ал кеістікте тедігі трінде аныталады. лбетте, бл шекаралы шарттарды физикалы процестеріні трлеріне байланысты физикалы маыналары р трлі болады. Мысалы, мембрананы тербелісін арастыран кезде ойылатын шарты мембрананы штарыны атты бекітілгенін сипаттайтын болса, онда ол пластинкада жылу таралу процесін арастыран кезде пластинканы штарында нлдік температура саталатындыын сипаттайды.

 

 

 

19-сурет

 

Дл осы сияты жне сырттай те сас боланмен бірінші шарт пластинкада жылу таралу процесін арастыран кезде пластинканы штары жылу ткізбейтіндігін, ал екінші шарт кеістікте берілген денедегі жылу таралу процесін арастыран кезде, денені оршаан бетті жылу ткізбейтіндігін сипаттайтын болады.