Баылауа арналан сратар жне тапсырмалар

1. андай процестер толынды тедеуімен сипатталады?

2. андай процестер жылуткізгіштік тедеуімен сипатталады?

3. андай процестер Лаплас жне Пуассон тедеулерімен сипатталады?

4. Толынды тедеуді орытып шыару керек.

5. Жылуткізгіштік тедеуді орытып шыару керек.

6. осымша шарттар деген не? Бастапы, шекаралы шарттар деген не?

7. ш трлі шекаралы шарттарды келтірііздер.

8. Гиперболалы жне параболалы типті тедеулерге ойылатын есептерді бастапы шарттарыны айырмашылыы андай?

9. Бйір беті жылу ткізбейтін стерженьні бір жа шы жылу ткізбейді, ал екінші шына сырттан траты жылу аыны Q беріледі. Бастапы температурасы нлге те деп алып, стерженьні температурасын табуа байланысты есепті ру керек.

10. зындыы біртекті ішек нктелеріні арасында керілген. нктесінде ішек тепе-тедік алыптан кішкене ашытыа созылып, уаыт моментінде бастапы жылдамдысыз босатып жіберілген. Ішекті кез келген уаыт моментіндегі ауытуын анытау керек.

11. Центрі координаттарды басында орналасан радиусы біртекті шарды бастапы температурасы Т болсын. Бетті температурасы нольге те згермейді деп йарып, шарды температурасын табуа байланысты есепті ру керек.

 

ТАРАУ

ШЕКАРАЛЫ ЕСЕПТЕР

6.1. Стационар емес тедеулер шін шекаралы есептер.Бастапы жне шектік шарттарды жиынын шекаралы шарттар деп атайды. Дифференциалды тедеулер шекаралы шарттармен бірге шекаралы есептер райды. Шекаралы есептерді шешу деп дифференциалды тедеуді берілген шекаралы шарттарды анааттандыратын шешімін табуды айтады. Шекаралы шартты ішінде бастапы мен шектік шарттарды екеуі де болуы міндетті емес. Егер шекаралы шарт тек бастапы шарттардан тратын болса, мндай шекаралы шарта сйкес келетін есепті Коши есебі деп атайды.

Толынды тедеу шін Коши есебі:

 

(6.1.1)

 

тедеуін

 

, , (6.1.2)

 

бастапы шарттарын анааттандыратын класына жататын функциясын табуды толынды тедеуіне ойылан Коши есебі деп атайды. Мндаы - координатадан тратын вектор, ал , , крсетілген кеістіктерде жататын белгілі функциялар.

Жылуткізгіштік тедеуі шін Коши есебі:

 

(6.1.3)

 

тедеуін

 

, (6.1.4)

 

бастапы шартын анааттандыратын класында жататын функциясын табуды жылуткізгіштік тедеуіне ойылан Коши есебі деп атайды. Мндаы , белгілі функциялар.

Екінші ретті дифференциалды тедеулер шін жалпыланан Коши есебі:

 

(6.1.5)

 

екінші ретті дифференциалды тедеу жне блік–тегіс тедеуімен аныталатын беті берсін. Q –деп тесіздігімен аныталатын жне бетімен шенелген облысты белгілейік. (6.1.5) тедеуін жне

 

, , (6.1.6)

 

шекаралы шарттарын анааттандыратын класына жататын функциясын табу екінші ретті тедеуге ойылан жалпыланан Коши есебі деп аталады. Мндаы - бетіне аргументіні су баытына арай баытталан нормаль вектор.

Енді шекаралы шарта бастапы да, шектік те шарттар атысатын болсын. Мндай шекаралы есептерді бастапы– шекаралы есептер деп атайды. Олар есепке атысатын шекаралы шарттарды тріне байланысты бастапы – бірінші шекаралы, бастапы - екінші шекаралы жне бастапы – шінші шекаралы болып ш класа блінеді. Мысалы, жылуткізгіштік тедеуі шін ойылатын бастапы - бірінші шекаралы есеп бір бастапы шартты жне бірінші шекаралы шарттарды амтиды. Толынды тедеу шін ойылатын бастапы–бірінші шекаралы есеп екі бастапы жне бірінші шекаралы шарттарды амтиды.

Жылуткізгіштік тедеуі шін бастапы –бірінші шекаралы есеп: Rⁿ кеістігінде жататын шенелген D облысын арастырамыз. деп облысымен (0,Т] жартылай кесіндісіні бірігуінен шыан цилиндрді белгілейік, яни

 

.

 

- деп цилиндріні бйір бетін, яни

 

 

жиынын, ал

 

 

- деп Q_T цилиндріні табанын белгілейік.

 

(6.1.7)

 

тедеуін

, (6.1.8)

бастапы шартын,

(6.1.9)

 

шекаралы шартын анааттандыратын класына жататын U(x,t) функциясын табуды жылуткізгіштік тедеуіне ойылан бастапы-бірінші шекаралы есеп деп атайды. Мндаы жне крсетілген кеістіктерде жататын белгілі функциялар.

Жоарыда келтірілген бастап–бірінші шекаралы есепті маынасын, онда келтірілген белгілеулерді толы тсіндіру шін бір лшемді жылуткізгіштік тедеуіне ойылатын бастапы –бірінші шекаралы есепке тоталып тейік, мнда

 

 

жартылай ашы тік тртбрышты, -осы тік тртбрышты Q_T жиынында жатпайтын бйір абыраларында жататын нктелерден тратын жиынды, интервалын, жиынын, ал кесіндісін білдіреді (20 – сурет).

 

20 – сурет

 

 

тедеуін

 

 

бастапы шартын

 

шекаралы шарттарын анааттандыратын класында жататын U(x,t) функциясын табуды бір лшемді жылуткізгіштік тедеуіне ойылан бастапы-бірінші шекаралы есеп деп атайды. Мндаы жне -

осы крсетілген шарттарды анааттандыратын белгілі функциялар.

Толынды тедеуге ойылатын бастапы –бірінші шекаралы есеп:

 

 

тедеуін

 

 

бастапы шарттарын шекаралы шартын анааттардыратын класында жататын функциясын табуды толынды тедеуі шін ойылан бастапы–бірінші шекаралы есеп деп атайды.

6.1.1 - ескерту. класында жататын жылуткізгіштік тедеуді, класында жататын толынды тедеуіні шешімдерін оларды классикалы шешімдері деп атайды.

Жылуткізгіштік жне толынды тедеулері шін бастапы-екінші, бастапы-шінші шекаралы есептер жоарыда арастырылан бастапы-бірінші шекаралы есептер сияты ойылады. Олар сйкесінше екінші жне шінші шекаралы шарттарды амтиды. Мысалы, егер радиусы R - ге те біртекті шарды шекарасы, температурасы - а те сйыпен жуылатын болса, жне шарды шекарасындаы жылу алмасу Ньютон заы бойынша жрсе, онда осы процеске сйкес келетін шекаралы есеп

 

 

трінде беріледі. Мндаы шамасы r баытымен баыттас нормаль баытында алынан функциясыны туындысы.

6.2. Стационар тедеулер шін шекаралы есептер - Лаплас тедеуі стационар процеске сйкес келетін тедеулерді бірі. Бл жадайда Лаплас тедеуіні шешіміне бастапы шартты сері болмайды. Сондытан шекаралы шарттарда тек шектік шарттар ана атысады. Демек, Лаплас тедеуі шін ш трлі шекаралы есеп арастыруа болады.

Кеістікте тйыталан беті берілсін. –беті кеістікті екі облыса бледі. -бетті ішінде орналасан облысты V⁺ - деп белгілейік. Демек, V⁺ облысы шенелген, ал облысы шенелмеген болады. Енді осы облыстарда аныталан Лаплас тедеуіне ойылатын шекаралы есептерге тоталайы.

V⁺ облысында, яни шенелген облыста берілген Лаплас тедеуіне ойылатын шекаралы есептер:

1)

тедеуін

 

 

шекаралы шартын анааттандыратын класында жататын функциясын табуды Лаплас тедеуіне ойылатын бірінші шекаралы есеп немесе ішкі Дирихле есебі деп атайды.

2)

 

 

шекаралы шартын анааттандаратын класында жататын функциясын табуды Лаплас тедеуіне ойылан екінші шекаралы есеп немесе ішкі Нейман есебі деп атайды. Мндаы - S бетіне сырттай жргізілген нормаль вектор, ал - деп функциясыны нормаль баыты бойынша алынан туындысы белгіленген.

3)

 

 

тедеуін

 

 

шекаралы шартын анааттандыратын класына жататын функциясын табуды Лаплас тедеуіне ойылан шінші шекаралы есеп деп атайды. Мысал ретінде радиусы санына те дгелекті шекарасында Дирихле шартын

 

 

немесе

Нейман шартын анааттандыратын полярлы координата арылы жазылан

 

 

Лаплас тедеуін арастырайы. Егер осы есептердегі те жа біртекті дискіде таралан температураа сйкес келетін стационар процесті рнектеген функцияны есептесек, онда дгелекті шекарасында Дирихле шарты болан кезде о , ал болан кезде теріс температура саталатындыын, ал Нейман шарты болан кезде жылу аысы дгелек ішіне арай, ал болан кезде дгелекті сыртына арай баытталандыын крсетеді. Пуассон тедеуі шін жоарыда крсетілгендей есептер ілгеріде арастырылатын боландытан, олара бл пункте тоталмаймыз.

Стационар тедеулер шін жоарыда арастырылан шекаралы есептерден баса шенелмеген ^- облысында сырты есептер арастырылады. Бл есептерде брыны шарттармен ізделінді функцияны шексіздіктегі тртібіне осымша шарттар ойылады. Жазытыта арастырылан шекаралы есептер мен кеістікте арастырылан шекаралы есептер шін бл шарт ртрлі болады. Мысалы, Лаплас тедеуі шін сырты Дирихле есебі былай ойылады:

а) жазытыта

 

 

тедеуін

 

шартын анааттандыратын жне кезде шенелген класына жататын функциясын табуды Лаплас тедеуіне жазытыта ойылан сырты Дирихле есебі деп атайды.

) кеістікте

 

 

тедеуін

 

 

шартын анааттандыратын жне кезде нлге біралыпты мтылатын (яни ).

класында жататын функциясын табуды Лаплас тедеуіне кеістікте ойылан сырты Дирихле есебі деп атайды.

Лаплас тедеуі шін ойылатын сырты Нейман есебіні сырты Дирихле есебінен айырмашылыы ізделінді функцияа жазытыта да, кеістікте де кезде бір ана регулярлы болу шарты ойылады.

6.2.1 - анытама.Ізделінді функциясы облысында регулярлы функция деп аталады, егер бір те лкен саны табылып, тесіздігін анааттандыратын барлы -лер шін

 

( )

 

тесіздіктері орындалатын болса, мндаы -саны нктесіні радиус –векторыны модулі:

 

 

6.3. Дифференциалды тедеулер шін шекаралы есепті корректілі ойылуы. Корректілі емес шекаралы есептерге мысалдар.Жоарыда біз кптеген физикалы, механикалы былыстар дифференциалды тедеулер арылы сипатталатындыын, біра дифференциалды тедеулер бл былыстарды толы сипаттай алмайтындыын, оларды толы сипаттау шін осымша шарттар ажет екендігін крдік. Мндай осымша шарттар ретінде кбінесе шекаралы жне бастапы шарттар арастырылады. Табылан шешім арастырылып отыран физикалы немесе баса былыстарды жуы математикалы сипаттамасын береді, йткені дербес туындылы дифференциалды тедеулер кмегімен физикалы, басада былыстарды математикалы моделін ран кезде, біз наты былысты моделін емес, ал оны негізгі белгілерін сатайтын идеалды моделін жасауа мжбрміз. Сондытан математикалы моделдеуден кейінгі алынан физикалы жне басада есептерді нтижесі дл бола алмайды. Осыан байланысты шекаралы есепті корректілі ойылуы ымы егізіледі.

Шекаралы есепті корректілі ойылуы ымын егізбей трып, осы ыммен байланысты шекаралы есепті шешіміні орнытылыы жайлы ымды енгізейік.

6.3.1. – анытама. Егер шекаралы есепте берілетін деректерді аз згерісі, оны шешіміні аз згерісін тудыратын болса, онда шекаралы есепті ондай шешімін орныты шешім деп атайды.

6.3.2. – анытама. Егер шекаралы есепті:

1) андай да бір функциялар класында шешімі бар болса (шешімні бар болу шарты);

2) андай да бір функциялар класында шешімі жалыз болса (шешімні жалыз болу шарты);

3) берілген деректерді аз згерісі шешіміні аз згерісін тудыратын болса (шешімні орныты болу шарты);

онда мндай шекаралы есепті корректілі ойылан шекаралы есеп деп атайды.

Есепті шешімні бар жне жалыз болу шарты, есепті берілгендеріні ішінде айшылы жо жне олар жалыз шешімді бліп алуа жеткілікті екендігін білдіреді. Кез келген наты есепті берілгендері, кбінесе, егер олар эксперимент арылы алынан болса, оларды мндері жуыпен табылады. Сондытан, берілгендерді аз згерісі шешімні аз згерісіне келуі керек. Бл жадай шешімні орнытылы шартыны ажеттілігін білдіреді.

6.3.2 – анытамасыны шарттарын анааттандыратын шекаралы есепті Адамар маынасында корректілі ойылан, ал функциялар класын корректілік класы деп атайды.

6.3.2.- анытамасыны кем дегенде бір шарты орындамайтын шекаралы есепті корректілі ойылмаан есеп деп атайды.

Енді корректілі ойылмаан есептерге мысалдар келтірейік.

6.3.1.- мысал. Ж. Адамар мысалы жарты жазытыында

 

(6.3.1)

 

Лаплас тедеуіні

 

(6.3.2)

 

 

( 6.3.3)

 

бастапы шарттарын анааттандыратын шешімін табу керек.

Математикалы физикада (6.3.1)-(6.3.3) есебін Лаплас тедеуі шін ойылан Коши есебі деп атайды. Тікелей ою арылы

 

(6.3.4)

 

функциясыны (6.3.1)-(6.3.3) есебіні шешімі болатындыын крсету иын емес. Мндаы,

 

гиперболалы синус.

Бл есепте шешіміні орнытылыы шарты орындалмай тр. Шынында, да (6.3.1) жне (6.3.3) бастапы шарттарынан кезде

 

 

нлге мтылатындарын креміз. Біра (6.3.1)-6.3.3) есебіні шешімі болатын (6.3.4) функциясы шін те лкен боланда

 

 

баасы орындалады. Сондытан, кез келген бекітілген жне шін кезде мтылады.

Сонымен, бастапы шарттарды те кішкентай згерісі Коши есебіні шешімні те лкен згерісін тудырып тр. Бл Лаплас тедеуіне ойылатын Коши есебіні корректілі ойылмайтындыын білдіреді. Лаплас тедеуі эллиптикалы типті тедеу боландытан, жалпы жадайда, эллиптикалы типті тедеулер шін Коши есебі корректілі ойылмаан деген ортындыа келеміз.

6.3.2- мысал. тік тртбрышын арастырайы. Мндаы, - о иррационал сан. - тік тртбрышында

 

(6.3.5)

 

ішек тербелісіні тедеуін

 

(6.3.6)

 

 

(6.3.7)

 

шекаралы шарттарын анааттандыратын функциясын табу керек.

(6.3.5)-(6.3.7) есебін ішек тербелісіне ойылан Дирихле есебі деп атайды.

 

(6.3.8)

функциясы арастырылып отыран есепті шешімі болады. Берілген иррационал сан боландытан, наты сандар теориясынан кез келген рационал саны шін

 

(6.3.9)

 

тесіздігі орындалатындай

 

,

 

рационал сандар тізбегі табылатындыы шыады. аралыында жататын кез келген – тер шін

 

 

екендігін жне (6.3.9) тесіздігін ескеріп

 

(6.3.10)

 

тесіздігін аламыз. Осы тесіздікті пайдаланып тік тртбрышында жатан кез келген бекітілген нктелері шін (6.3.8) функциясын тменнен баалаймыз:

 

 

Бдан кезде мытылатындыын креміз. Демек,

 

,

 

мтылатындыынан нлге мтылмайтынын креміз. Сондытан бл есепте де шешімні орнытылы шарты орындалмайды. Олай болса, ішек тербелісіне ойылатын Дирихле есебі корректілі емес.

Ішек тербелісі тедеуі гиперболалы типті тедеуді арапайым кілі боландытан, гиперболалы типті тедеуге ойылатын Дирихле есебі жалпы жадайда корректілі ойылмаан деген ортындыа келеміз.

6.3.3 – мысал. жарты жазытыында

 

(6.3.11)

 

жылуткізгіштік тедеуін

 

(6.3.12)

 

(мндаы жне берілген те тегіс функциялар) бастапы шарттарын анааттандыратын функциясын табу керек.

Шешімі. (6.3.11)-(6.3.12) тедеуіні шешімі бар деп йарайы. Онда берілген жне функциялары кезде

 

(6.3.13)

 

тедігін анааттандыруы керек. Сондытан тек (6.3.13) шарт орындылан кезде ана (6.3.11)-(6.3.12) есебіні шешімі бар болуы ммкін. Біра, жне функциялары р трлі жне ешандай шарттармен байланысты емес, сондытан жылуткізгіштік тедеуіне ойылатын екі шартпен берілген Коши есебі корректілі емес.

Ілгеріде, бір шартпен, яни

 

,

 

мндаы зіліссіз жне шенелген функция, берілген жылуткізгіштік тедеуіне ойылан Коши есебі корректілі болатынын крсетеміз.

Корректілі ойылмаан есептер кбінесе практикада тікелей зерттеу ммкін болмайтын объектілерді зерттеген кезде жиі кездеседі. Мысалы, жер асты азба байлытарын зерттеу кезінде. Мндай зерттеу кезінде жер астындаы объектісіні асиеттерін, экспериментальді лшеуге ммкін болатын, объектісі мен функционалды трде байланысатын, оны жер бетіне шыарылан бліктері арылы зерттейді. Нтижесінде кері есеп пайда болады. Ол арылы объектісін анытау. Бл есептерді кпшілігі корректілі ойылмаан есептер болады. Кері есептерді шешу теориясы Ресей алымдары А.Н.Тихонов пен М.М. Лаврентьев ебектерінде рылан.

6.4. Коши есебі. Коши – Ковалевская теоремасы. облысында аныталан

 

(6.4.1)

 

екінші ретті туындыларына байланысты сызыты дербес туындылы дифференциалды тедеуін арастырайы. облысында тзетілетін, зындыы аырлы исыы

 

 

параметрлік трде берілген болсын. Мндаы исыыны доасыны зындыы, ал исыыны зындыы (21-сурет ).

 

Y

L

 

D

 

 

X

0

 

21-cурет

 

Коши есебі. исыыны маайында (6.4.1) тедеуін жне

 

(6.4.2)

 

 

(6.4.3)

 

шекаралы шарттарын анааттандыратын функциясын табу керек. Мндаы берілген те тегіс функциялар, исыына жргізілген нормаль бойынша туынды. Дербес туындылы дифференциалды тедеулерге ойылатын Коши есебі шекаралы есептерді ішіндегі е маыздысы болып табылады.

Коши – Ковалевская теоремасы. Егер (6.4.1) тедеуіні коэффиценттері жне функциялары аналитикалы функциялар болса, онда (6.4.1) – (6.4.3) Коши есебіні исыы (6.4.1) тедеуіні характеристикасы болмаан кезде исыыны те кішкентай маайында жалыз аналитикалы шешімі бар болады. Егер исыы (6.4.1) тедеуіні характеристикасы болса, онда жалпы жадайда Коши есебі корректілі ойылмаан болады.

Мысалы, 6.3.-мысалында тзуі жылуткізгіштік тедеуіні характеристикасы, сондытан Коши есебі корректілі ойылмаан.