Пусть передаточная функция звена имеет вид

Частотная характеристика

(1.25)

В записи (1.25) ЧХ формально представляет собой отношение двух комплексных чисел числителя и знаменателя.

Считая (1.25) показательной формой записи ЧХ, вычисляем АЧХ и ФЧХ:

- АЧХ: (1.26)

- ФЧХ: (1.27)

ВЧХ и МЧХ рассчитываем, используя дополнительное умножение числителя и знаменателя ЧХ на комплексно-сопряженное к знаменателю число:

откуда

(1.28)

Как видно, вывод выражений A(), W(j), P()и Q()принципиально прост. Сложным являются вычисления координат точек годографа ЧХ, если принять во внимание, что при этих вычислениях нужно знать:

- до какого значения аргумента нужно считать (полный интервал изменения от 0 до ¥) ?;

- и каким должен быть шаг jвычислений ?

В сравнении с расчётами переходных процессов расчёты ЧХ сложнее тем, что нет простых процедур определения конечной (верхней) частоты счёта и шага j. Последний, к тому же, будет неравномерным.

Здесь следует пользоваться проверенными на практике приёмами расчёта ЧХ:

1. Необходимо предугадать вчерне вид годографа, а именно, где его начало и конец, через какие квадранты комплексной плоскости и в каком порядке он пройдёт при изменении частоты от 0 до ¥.

Прежде всего, находят точки пересечения годографа с осями координат. Для этого решают уравнения:

P(w)=0 Þ -w⁴+2w²+9=0 Þ w=2,04, т.е. годограф пересекает мнимую ось на частоте w₅=2,04, если в качестве иллюстрации расчётов принять рис.1.7;

Q(w)=0 Þ w(0,5w²+1,5)=0 Þ w=0, т.е. годограф пересекает действительную (вещественную) ось на частоте w₁=0.

Далее вычисляют значения P()и Q(j)при найденных частотах и на бесконечности при =¥.

2. Определяют значение угла j(¥), с которым годограф входит в начало координат, по формуле

j(¥)=-90^o(n-m), (1.29)

где n и m - степени полиномов p, соответственно, знаменателя и числителя передаточной функции.

По результатам описанных вычислений строится в черновом варианте годограф ЧХ (рис.1.7).

3. Подготавливается таблица вычислений, состоящая из 5-ти строк (табл.1.4).

Таблица 1.4

w	w1=0	w2	w3	w4=2,04	w5	w6	w7	w=¥
P(w)				0				0
Q(w)	0							0
A(w)								0
(jw)	0			-90o				-180o

В этой таблице прежде всего нужно заполнить первую строку - строку частот w. Все остальные строки затем заполнятся вычислениями по формулам (1.26)...(1.28).

Сначала находим частоты w₂ и w₃ для точек годографа, лежащих в 4-м квадранте. Очевидно, что эти частоты должны быть такими, чтобы точки годографа на этих частотах равномерно заполняли бы участок в 4-м квадранте, т.е. угол j между соседними точками был примерно равен 30^о (ни в коем случае не надо стремиться получить точно 30^о, а лучше задать, например, 30^о 10^о). Руководствуясь этими соображениями, задаёмся частотой в пределах от 0 до 2,04 (эти значения верны только для рассматриваемого числового примера!) и вычисляем угол j. Если он равен 30^о10^о, то нами найдена (точнее - угадана) частота w₂. Если вычисления дали 60^о10^о, то найдена частота w₃. Иначе нужно снова задать значение w. Аналогично определяют частоты w₅...w₇ для 3-го квадранта.

После заполнения строки частот заполняется значениями вся таблица. По значениям P(w) и Q(w строится годограф) W(wj)(рис.1.7), а по значениям A(w)и j(w)строятся АЧХ и ФЧХ (рис.1.8).

Замечание к расчётам по формуле (4.7) значений угла j на калькуляторе, компьютере и по таблицам тригонометрических функций. Во всех перечисленных случаях определяется только главные значения арктангенса - ARCTG(*), - которые находятся в пределах от -90^о до +90^о. Действительное значение угла определяется с учётом структуры выражения, находящегося под знаком arctg, которое является отношением мнимой Qк действительной P части соответствующего комплексного числа. Если P>0, то угол лежит в 1-м или 4-м квадрантах, если P<0, то угол лежит во 2-м или 3-м квадрантах. При Р=0 угол равен 90^о:

где sign(Q)- знак числа Q.

Как видно из приведенных выше приёмов расчёта ЧХ такой расчёт содержит достаточно громоздкие вычисления.