Представление экспериментальных данных
Уравнениями
После проведения моделирования на натурных или физических моделях часто возникает необходимость выразить в виде функциональной зависимости связь между результатами измерений (экспериментальными данными) некоторых величин xi, yi, где yi соответствует выходному параметру, а xi - входной переменной. Получаемые зависимости называются эмпирическими.
В общем виде функциональная зависимость
y = f(x), (1)
называемая уравнением регрессии, должна соответствовать экспериментальным данным с достаточной точностью.
Обычно предполагают, что зависимость y = f(x) имеет вид полинома:
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + amxm ,
где a0 ,a1 ,a2, ... am – коэффициенты регрессии, которые нужно определить по экспериментальным данным.
Простейшим уравнением регрессии для описания взаимосвязи результатов эксперимента является линейная зависимость
y = f(x) = a0 + a1x . (2)
График функциональной зависимости называется линией регрессии.
В дальнейшем полученным уравнением регрессии можно пользоваться для определения или прогнозирования значений величины y по известному (измеренному или заданному) значению величины х. Например, получение тарировочной зависимости.
Наибольшее распространение при определения параметров функциональной зависимости (т.е. коэффициентов уравнения регрессии) получил метод наименьших квадратов (МНК) [3-5].
Метод заключается в том, чтобы так подобрать коэффициенты уравнения регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений значений величины y от искомой линии регрессии была наименьшей.
Иными словами, если y1, y2, …, yn – экспериментальные значения параметра, а f(x1), f(x2), …, f(xn) - соответствующие им значения, рассчитанные по уравнению регрессии, то метод наименьших квадратов заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений параметра была наименьшей:
. (3)
Это условие позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии в том случае, если вид этого уравнения заранее известен.
Вид уравнения регрессии для установления функциональной зависимости между экспериментальными данными может быть найден предварительным графическим построением (рисунок 3).
 |
Рисунок 3 - Экспериментальные данные и линия регрессии
Пусть произведено n измерений (опытов) и получено n пар чисел (x1, y1); (x2, y2); .... ; (xn, yn). Предварительный анализ показал, что экспериментальные данные могут быть описаны линейной зависимостью (2).
Нужно определить коэффициенты регрессии a0 и a1 так, чтобы точки с координатами (x1, y1); (x2, y2); .... ; (xn, yn), отложенные по данным экспериментов на плоскости XOY, лежали как можно ближе к прямой y = a0 + a1x .
Расчетные значения параметра будут зависеть от значений коэффициентов регрессии a0 и a1, поэтому в соответствии с принципом наименьших квадратов (2) можно записать:
, (4)
где n - количество результатов измерений, т.е. число пар значений y и x.
Для нахождения минимума функции F необходимо найти частные производные по переменным a0 и a1 и приравнять их нулю, т.е.
; 
.
Тогда, система уравнений имеет вид:
(5)
Используя правила действия над суммами:
; 
; 
,
получается система уравнений:
. (6)
Решаем систему. Из 1-го уравнения выражаем коэффициент a0:
.
Подставляем полученное выражение во второе уравнение системы (6):
.
В результате получаем следующие выражения для нахождения коэффициентов регрессии:
, 
. (7) - (8)
Пример. Рассмотрим пример установления зависимости между двумя величинами y и x по результатам их измерения в виде линейной зависимости y=a0 + a1x (результаты тарировки тензодатчиков). Расчеты удобно выполнять с помощью таблицы (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные и промежуточные результаты расчетов
| Номер опыта | xi | yi | xi2 | xi yi |
| 1.0 | 1.25 | 1.00 | 1.250 | |
| 1.5 | 1.40 | 2.25 | 2.100 | |
| 3.0 | 1.50 | 9.00 | 4.500 | |
| 4.5 | 1.75 | 20.25 | 7.875 | |
| 5.0 | 2.25 | 25.00 | 11.250 | |
| S | 15.0 | 8.15 | 57.50 | 26.975 |
Определяем коэффициенты регрессии по выражениям (7)-(8):
; 
.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
y = 1.024 + 0.202x .
Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью либо быть независимыми. Для оценки степени линейной связи двух величин используется коэффициент корреляции. Теснота связи оценивается при этом по величине рассеяния y вокруг среднего 
.
Коэффициент корреляции равен:
, (9)
где 
, - средние значения величины x и y, определяемые по выражениям
; 
. (10)
В случае строгой линейной функциональной зависимости коэффициент корреляции равен +1 или -1 в зависимости от знака коэффициента a1.
Для рассматриваемого примера определим коэффициент корреляции. Предварительно определяем, что n=5; = 1.63; = 3.0. Для расчетов удобно воспользоваться таблицей следующего вида (таблица 2).
Таблица 2 – Данные для расчета коэффициента корреляции
| Номер опыта | xi | yi | xi -
| yi -
| (xi - )•
( yi - )
| (xi - )2
| ( yi - )2
|
| 1.0 | 1.25 | -2.0 | -0.38 | 0.760 | 4.00 | 0.1444 | |
| 1.5 | 1.40 | -1.5 | -0.23 | 0.345 | 2.25 | 0.0529 | |
| 3.0 | 1.50 | -0.13 | 0.0169 | ||||
| 4.5 | 1.75 | 1.5 | 0.12 | 0.180 | 2.25 | 0.0144 | |
| 5.0 | 2.25 | 0.62 | 1.240 | 4.00 | 1.240 | ||
| S | 2.525 | 12.50 | 0.613 |
Тогда, 
,
т.е. наличие линейной связи правомерно.
Подробная блок-схема определения коэффициентов уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов по экспериментальным данным и расчета коэффициента корреляции приведена на рисунке 4.
Принятые обозначения переменных приведены в таблице 3.
Помимо линейных зависимостей для описания результатов эксперимента используют также показательные, степенные, логарифмические функции. Эти функции легко могут быть приведены к линейному виду, после чего для определения коэффициентов регрессии можно использовать описанный выше алгоритм.
Рассмотрим пример. Уравнение регрессии имеет вид (показательная функция):
. (11)
Для приведения зависимости к линейному виду необходимо прологарифмировать обе части уравнения:
. (12)
Введя обозначения
y' = ln y , x' = x , (13)
a0 = ln a , a1 = ln b , (14)
получаем уравнение линейной регрессии (2)
y' = a0 + a1x' ,
Таблица 3 – Обозначения переменных
| Обозначение | Описание |
| n | Количество результатов измерения |
| xi, yi | Экспериментальные значения переменных x и y. Массивы размерностью [1..n]. |
| yri | Значения параметра y, определенные по уравнению регрессии -  . Массив размерностью [1..n].
|
| s1 | Сумма 
|
| s2 | Сумма 
|
| s3 | Сумма 
|
| s4 | Сумма 
|
| a0, a1 | Коэффициенты уравнения линейной регрессии |
| xsr, ysr | Средние значения переменных x и y |
| s5 | Сумма 
|
| s6 | Сумма 
|
| s7 | Сумма 
|
| r | Коэффициент корреляции |
коэффициенты которого рассчитываются по выражениям (7) и (8). Коэффициенты уравнения (11) определяются с использованием обратного преобразования:
a = exp(a0) , b = exp(a1). (15)
В случае, когда экспериментальные данные могут быть описаны несколькими уравнениями регрессии, выбор наилучшего из них можно осуществить по величине среднеквадратичного отклонения:
, (16)
где - значения выходного параметра, рассчитанное по уравнению регрессии.
Наилучшим считается уравнение регрессии, для которого значение s минимально.
 | |||
 | |||
Рисунок 4 - Блок-схема определения коэффициентов уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов
Основы планирования эксперимента и
Обработка его результатов
Эксперименты в зависимости от характера их проведения подразделяют на пассивные и активные.
Пассивнымназывают такой эксперимент, при котором исследователь дает возможность произвольным образом изменяться условиям протекания процесса, фиксирует эти условия и соответствующие им результаты.
Активнымназывают эксперимент, при котором исследователь изменяет условия протекания процесса по специально разработанной программе и фиксирует только те результаты, которые получены при этих заранее предусмотренных условиях.
Планирование эксперимента возникло в 20..30 годах ХХ века на базе работ английского математика Роберта Фишера. В основе планирования эксперимента лежит принцип построения плана таким образом, чтобы получить максимум информации при минимальных затратах средств и времени.
Выделим основные понятия теории планирования эксперимента [1].
Объект исследования– это изучаемые процесс, агрегат, физическое явление. Он должен быть воспроизводим и управляем.
Факторы– это независимые величины, с помощью которых можно воздействовать на исследуемый объект. Они могут принимать определенные значения, которые называются уровнями.
Отклик – количественно найденная выходная характеристика объекта исследования, наиболее полно отражающая его сущность или эффективность. Отклик еще может называтьсяпараметром.
Зависимость между параметром и факторами называется функцией откликаy=f(x1, x2, ..., xn).
Различают две цели исследования:
1) поиск адекватного математического описания функции отклика в заданной части факторного пространства, т.е. создание математической модели;
2) поиск оптимальных условий протекания процесса, т.е. нахождение экстремумов функции отклика.
Рассмотрим основы планирования экспериментов для достижения первой цели.
Итак, необходимо составить математическую модель, т.е. уравнение, связывающее параметр с влияющими факторами.
Следует отметить, что с помощью математических методов планирования экспериментов можно получить математическую модель объекта исследования даже при отсутствии сведений о природе явлений, происходящих в нем.
Математические модели, полученные с помощью методов планирования экспериментов, принято называть экспериментально-статистическими.
Одним из методов построения математических моделей является метод планирования эксперимента, суть которого заключается в варьировании всех факторов, влияющих на объект исследования, по определенному плану. При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях.
Необходимое количество опытов n при ПФЭ определяется по формуле
n = qk, (17)
где q - количество уровней фактора;
k - число факторов.
Наибольшее распространение в экспериментальных исследованиях получили планы типа 2k, в которых факторы варьируются на двух уровнях.
При этом зависимость параметра от факторов описывается математической моделью (уравнением регрессии):
, (18)
где y - переменная отклика (параметр);
b0 - свободный член;
k - число факторов;
bi, bj, bij - коэффициент регрессии при соответствующем факторе или взаимодействии факторов;
xi, xj - фактор;
c - число сочетаний из k факторов по два;
i, j - номер фактора.
Планирование, проведение и обработка результатов планированного эксперимента состоит из следующих обязательных этапов:
1) кодирование факторов;
2) составление план-матрицы эксперимента;
3) реализация плана эксперимента;
4) проверка воспроизводимости опытов;
5) оценка значимости коэффициентов регрессии;
6) проверка адекватности модели.
Изменение независимых факторов происходит в некотором пространстве с осями, которое называется факторным пространством.
Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называется поверхностью отклика(рисунок 5).
Уровнем фактора называют определенное значение фактора, которое будет фиксироваться при проведении эксперимента.
В планах первого порядка используются нижний и верхний уровни. В расчетах необходим также нулевой уровень.
 |
Рисунок 5 - Поверхность отклика
Обычно до проведения эксперимента по тем или иным соображениям можно выделить диапазон, в котором исследователя интересует зависимость параметра от данного фактора. В этом случае наибольшее значение фактора в диапазоне принимается за верхний уровень, а наименьшее - за нижний.
Интервалом варьированияназывается значение фактора в натуральных единицах, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровень.
Приняты такие обозначения уровней фактора Xi: нижний - Xiн, верхний - Xiв, нулевой - Xi0.
Интервал варьирования:
DXi = Xi0 - Xiн = Xiв - Xi0 . (19)
Для перехода от натурального выражения факторов к безразмерному используют кодирование факторов.
Связь между кодированным и натуральным выражением фактора задается формулой:
, (20)
где xi - кодированное значение фактора;
Xi - натуральное значение фактора;
Xi0 - натуральное значение фактора на нулевом уровне;
DXi - интервал варьирования фактора.
В соответствии с изложенным кодированное значение любого фактора на нижнем уровне равно
,
на верхнем уровне
.
Область определения факторов можно изобразить графически. Для двух факторов до кодирования она представляется прямоугольником, размеры которого зависят от масштабов и значений физических величин (рисунок 6а), после кодирования получается квадрат (рисунок 6б). Для трех факторов, устанавливаемых на двух уровнях, такая область имеет вид куба. В общем случае для k факторов область определения представляет собой k-мерный куб в k-мерном пространстве.
 |
а б
Рисунок 6 - Область определения факторов для ПФЭ 22 в системе координат:
а - натуральной; б - кодированной
План, содержащий запись всех комбинаций факторов, называется матрицей планирования(таблица 2).
Для построения матрицы планирования используют следующие принципы:
1) уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;
2) частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у предыдущего.
Это означает, что элементарное сочетание первого фактора (-1; +1) повторяется для каждого следующего на нижнем и верхнем уровнях. Столбец х0 - это столбец фиктивной переменной. Доказано, что его участие в матрице планирования делает расчеты коэффициентов математической модели более общими.
Таким образом, в первом столбце, соответствующем х0, знаки не изменяются, во втором - изменяются через один, в третьем - через два, в четвертом - через четыре и т.д. В таблице 4 приведены матрицы планирования, построенные по описанному принципу, для двух, трех и четырех факторов.
Таблица 4 - Организация матриц планирования ПФЭ от 22 до 24
| Номер опыта | Тип эксперимента | Факторы | ||||||
| x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | ||||
| ПФЭ 24 | ПФЭ 23 | ПФЭ 22 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | ||||
| +1 | +1 | +1 | -1 | -1 | ||||
| +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | ||||
| +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | ||||
| +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | ||||
| +1 | +1 | +1 | +1 | -1 | ||||
| +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | ||||
| +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | ||||
| +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | ||||
| +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | ||||
| +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | ||||
| +1 | +1 | -1 | +1 | +1 | ||||
| +1 | -1 | +1 | +1 | +1 | ||||
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 |
Порядок обработки результатов планированного эксперимента включает следующие шаги.
1. Расчет коэффициентов уравнения регрессии (18).
Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам:
, i = 0, 1, …, n , (21)
, i, j = 1, 2, …, n , i ¹ j , (22)
где n - число опытов полного факторного эксперимента;
xiu - значение фактора i для опыта u;
yu - значение переменной отклика для опыта u;
u - номер опыта.
2. Проверка воспроизводимости опытов.
Для проверки воспроизводимости опытов поступают следующим образом: проводят несколько параллельных опытов в одной из точек факторного пространства. Обычно такой точкой принимается центр плана, т.е. точка, в которой все факторы зафиксированы на нулевом уровне. В центре плана реализуется 3-4 опыта и по ним рассчитывается дисперсия воспроизводимости 
по формуле:
, (23)
где n0 - число опытов в центре плана;
- значения переменной отклика в центре плана;
- среднее значение переменной отклика в центре плана.
3. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Очевидно, что один фактор больше влияет на переменную отклика, другой - меньше. Для оценки этого влияния используют проверку значимостикаждого коэффициента.
Вначале определяется дисперсия коэффициентов регрессиипо формуле:
, (24)
т.е. дисперсии всех коэффициентов равны, поскольку зависят только от ошибки опыта и количества опытов матрицы планирования n.
Для каждого коэффициента уравнения регрессии рассчитывается расчетное значение критерия Стьюдента:
, (25)
где 
- расчетное значение критерия Стьюдента для i-го коэффициента;
- абсолютное значение i-го коэффициента регрессии.
Оценку значимости коэффициентов осуществляют по условию
, (26)
где tт - табличное значение критерия Стьюдента, зависящее от уровня значимости a и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости fв = n0 - 1 (таблица 5).
Если условие (26) выполняется, то i-й коэффициент признается значимым. Если для какого-то коэффициента условие (26) не выполняется, то соответствующий фактор (или их взаимодействие) можно признать незначимым и исключить его из уравнения регрессии (18). Для инженерных расчетов уровень значимости обычно принимается равным 0.05 .
Таблица 5 – Табличные значения критерия Стьюдента при уровне значимости a = 0.05
| Число степеней свободы f | ||||||||||||||||||
| ¥ | ||||||||||||||||||
| 12.7 | 4.30 | 3.18 | 2.78 | 2.57 | 2.45 | 2.37 | 2.31 | 2.26 | 2.23 | 2.20 | 2.18 | 2.16 | 2.15 | 2.13 | 2.09 | 2.04 | 2.00 | 1.96 |
4. Проверка адекватности уравнения регрессии.
После составления уравнения регрессии переходят к оценке адекватности полученной математической модели, т.е. способности достаточно хорошо описывать результаты эксперимента и прогнозировать результаты опытов.
Для проверки адекватности вычисляют дисперсию адекватности 
по формуле
, (27)
где z - число значимых коэффициентов регрессии;
- расчетное значение переменной отклика в u-том опыте, определенное по уравнению регрессии.
С дисперсией адекватности связано число степеней свободы
fад = n - z.
Затем определяется расчетное значение критерия Фишера:
. (28)
Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие
Fр £ Fт , (29)
где Fт - табличное значение критерия Фишера при уровне значимости a и числе степеней свободы fад и fв (таблица 6).
Таблица 6 - Критерий Фишера F(fад; fв) при уровне значимости a = 0.05
| fв | fад | ||||||||||||||
| ¥ | |||||||||||||||
| 161.4 | 199.5 | 215.7 | 224.6 | 230.2 | 233.9 | 236.8 | 238.9 | 240.5 | 241.8 | 248.0 | 250.1 | 252.2 | 253.3 | 254.3 | |
| 18.5 | 19.0 | 19.2 | 19.2 | 19.3 | 19.3 | 19.4 | 19.4 | 19.4 | 19.3 | 19.4 | 19.5 | 19.5 | 19.4 | 19.5 | |
| 10.1 | 9.6 | 9.3 | 9.1 | 9.0 | 8.9 | 8.9 | 8.8 | 8.8 | 8.7 | 8.7 | 8.6 | 8.6 | 8.5 | 8.5 | |
| 7.7 | 6.9 | 6.6 | 6.4 | 6.3 | 6.2 | 6.1 | 6.0 | 5.9 | 5.9 | 5.8 | 5.7 | 5.7 | 5.6 | 5.6 | |
| 6.6 | 5.8 | 5.4 | 5.2 | 5.1 | 4.95 | 4.9 | 4.8 | 4.8 | 4.7 | 4.6 | 4.5 | 4.4 | 4.4 | 4.3 | |
| 5.9 | 5.1 | 4.8 | 4.5 | 4.4 | 4.3 | 4.2 | 4.1 | 4.1 | 4.0 | 3.9 | 3.8 | 3.7 | 3.7 | 3.6 | |
| 5.6 | 4.7 | 4.3 | 4.1 | 4.0 | 3.9 | 3.8 | 3.7 | 3.7 | 3.6 | 3.4 | 3.4 | 3.3 | 3.2 | 3.2 | |
| 5.3 | 4.5 | 4.1 | 3.8 | 3.7 | 3.6 | 3.5 | 3.4 | 3.4 | 3.3 | 3.2 | 3.1 | 3.0 | 2.9 | 2.9 | |
| 5.1 | 4.3 | 3.9 | 3.6 | 3.5 | 3.4 | 3.3 | 3.2 | 3.2 | 3.1 | 2.9 | 2.8 | 2.8 | 2.7 | 2.7 | |
| 4.9 | 4.1 | 3.7 | 3.5 | 3.3 | 3.2 | 3.1 | 3.1 | 2.0 | 2.9 | 2.8 | 2.7 | 2.6 | 2.6 | 2.5 | |
| 4.5 | 3.7 | 3.3 | 3.1 | 2.9 | 2.8 | 2.7 | 2.6 | 2.6 | 2.5 | 2.3 | 2.2 | 2.16 | 2.1 | 2.0 | |
| 4.4 | 3.5 | 3.1 | 2.9 | 2.7 | 2.6 | 2.5 | 2.4 | 2.4 | 2.3 | 2.1 | 2.0 | 1.9 | 1.9 | 1.8 | |
| 4.2 | 3.3 | 2.9 | 2.7 | 2.5 | 2.4 | 2.3 | 2.3 | 2.2 | 2.2 | 1.9 | 1.8 | 1.7 | 1.7 | 1.6 | |
| 4.0 | 3.2 | 2.8 | 2.5 | 2.4 | 2.3 | 2.2 | 2.1 | 2.0 | 1.9 | 1.7 | 1.65 | 1.5 | 1.5 | 1.4 | |
| 3.9 | 3.1 | 2.7 | 2.45 | 2.3 | 2.2 | 2.1 | 2.0 | 1.9 | 1.9 | 1.7 | 1.6 | 1.4 | 1.3 | 1.25 | |
| ¥ | 3.8 | 3.0 | 2.6 | 2.4 | 2.2 | 2.1 | 2.0 | 1.9 | 1.8 | 1.8 | 1.6 | 1.5 | 1.3 | 1.2 | 1.0 |
При неадекватности математической модели экспериментальным данным наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьирования факторов и повторении эксперимента или проведении эксперимента по плану более высокого порядка.
Необходимо отметить, что в полученном уравнении регрессии все коэффициенты bi, bij имеют размерность переменной отклика y, т.к. xi (i=0…k) - безразмерные величины. Поэтому коэффициенты bi, bij отражают силу влияния соответствующего фактора или их взаимодействия на параметр y. Такая форма записи математической модели называется уравнением регрессии в кодированных переменных.
Уравнение можно привести к виду, в котором факторы будут иметь свое первоначальное физическое значение. Для этого необходимо воспользоваться подстановкой (20). Такая форма записи модели называется уравнением регрессии в физических (натуральных) переменных. Используя полученное уравнение можно вычислить значение параметра в любой точке факторного пространства и построить поверхность отклика.
Пример. Рассмотрим планирование и проведение полного факторного эксперимента на примере исследования работы лабораторного трубчатого конвейера с диаметром трубы 360 мм и длиной 1440 мм при транспортировании песка с постоянной производительностью П=4.4 кг/мин (рисунок 7).
Такие конвейеры применяют в агломерационном производстве для выполнения операций сушки, смешивания, охлаждения, обжига, окомкования и т.д. сыпучих материалов.
Очень важным технологическим параметром процесса является время t пребывания материала в конвейере, которое и является откликом. Факторами в данном случае будут: угол наклона оси конвейера к горизонту a и угловая скорость w.
  |
Рисунок 7 – Трубчатый конвейер
Строгой аналитической зависимости между указанными параметром и факторами пока не получено из-за сложности описания процесса транспортировки сыпучего материала в трубе, поэтому целесообразно воспользоваться методом планирования эксперимента для ее получения.
Уровни варьирования факторов приведены в таблице 7, план-матрица эксперимента и результаты – в таблице 8.
Таблица 7 – Уровни варьирования факторов
| Характеристика | Факторы | |
| a (X1), град. | w (X2), рад/с | |
| Верхний уровень | +1,0 | 2,92 |
| Нижний уровень | -1,0 | 1,46 |
| Нулевой уровень | 0,0 | 2,19 |
| Интервал варьирования | 1,0 | 0,73 |
Таблица 8 - План-матрица и результаты ПФЭ
| Номер опыта | Кодированные факторы | Натуральные факторы | Результат | |||
| x0 | x1 | x2 | a , град. | w , рад/с | t, мин. | |
| +1 | -1 | -1 | -1,0 | 1,46 | 3,70 | |
| +1 | +1 | -1 | +1,0 | 1,46 | 1,95 | |
| +1 | -1 | +1 | -1,0 | 2,92 | 2,55 | |
| +1 | +1 | +1 | +1,0 | 2,92 | 1,20 | |
| +1 | 0,0 | 2,19 | 2,52 | |||
| +1 | 0,0 | 2,19 | 2,40 | |||
| +1 | 0,0 | 2,19 | 2,38 |
Математическое описание будем искать в виде уравнения регрессии (в кодированном виде):
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 ,
где y – время t ;
x1 – угол a ;
x2 - угловая скорость w .
Коэффициенты регрессии определяем по формулам (21)–(22):
b0 = (3,7 + 1,95 + 2,55 + 1,2) / 4 = 2,35 ;
b1 = (-3,7 + 1,95 - 2,55 + 1,2) / 4 = - 0,775 ;
b2 = (-3,7 - 1,95 + 2,55 + 1,2) / 4 = - 0,475 ;
b12 = (3,7 - 1,95 - 2,55 + 1,2) / 4 = 0,1 .
На основании результатов опытов в центре плана (n0=3) находим дисперсию воспроизводимости, предварительно определив среднее значение по опытам 5-7:
,
дисперсия воспроизводимости:
.
Дисперсия коэффициентов регрессии:
, 
.
Расчетные значения критериев Стьюдента для коэффициентов регрессии:
; 
;
; 
.
Проверяем значимость коэффициентов регрессии, табличное значение критерия Стьюдента находим по таблице 5 при уровне значимости a=0.05 и числе степеней свободы дисперсии воспроизводимости fв = n0 – 1=3-1=2:
tт = 4.303 .
Коэффициент при взаимодействии факторов b12 является незначимым и его можно исключить из уравнения регрессии.
Тогда уравнение регрессии в кодированном виде запишется так:
y = 2.35 – 0.775 x1 - 0.475 x2 .
Для проверки адекватности полученного уравнения экспериментальным данным нужно рассчитать дисперсию адекватности. Для этого вначале определим расчетные значения отклика по полученному уравнению регрессии для каждого из опытов в таблице 8:
;
;
;
.
Рассчитываем дисперсию адекватности по формуле (27):
.
Расчетное значение критерия Фишера равно
.
В таблице 6 находим табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости a=0.05 и числе степеней свободы fад=4-3=1, fв=2 - Fт=18.5 .
Проверка по критерию Фишера (29) выполняется, т.е. полученное уравнение регрессии адекватно описывает экспериментальные данные и может использоваться для расчета времени транспортирования песка в трубчатом конвейере.
Перейдем к уравнению в натуральном виде, выполнив замену кодированных переменных в полученном уравнении регрессии:
,
выполняем преобразования:
.
В результате получаем уравнение регрессии, являющееся математической моделью, отражающей связь между временем транспортирования песка в конвейере углом его наклона и угловой скоростью:
.
На рисунке 8 приведена блок-схема алгоритма по планированию эксперимента для плана 22 . Описание введенных переменных представлено в таблице 9.
 |
Ввод плана-матрицы
Ввод значений параметра
Среднее значение параметра на нулевом уровне
Определение дисперсии воспроизводимости
Дисперсия коэффициентов регрессии
Определение коэффициентов регрессии и расчетных значений критерия Стьюдента при факторах
Рисунок 8 - Блок-схема алгоритма обработки результатов планированного эксперимента по плану 22
Определение коэффициентов регрессии и расчетных значений критерия Стьюдента при взаимодействиях факторов
Ввод табличного значения критерия Стьюдента
Проверка значимости коэффициентов регрессии и определение количества значимых коэффициентов
Определение расчетных значений параметра
Рисунок 8 (продолжение)
Определение дисперсии адекватности
Определение расчетного значения критерия Фишера
Ввод табличного значения критерия Фишера
Проверка адекватности полученного уравнения регрессии экспериментальным данным
Рисунок 8 (окончание)
Таблица 9 – Описание переменных блок-схемы