Численные методы вычисления

Определенных интегралов

 

 

Определенный интеграл

 

(48)

 

с пределами интегрирования a и b можно трактовать как площадь фигуры (рисунок 20), ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс х и графиком подынтегральной функции f(x).

 

 

Рисунок 20 – Графическая интерпретация определенного интеграла

 

 

Определенный интеграл, у которого известна его первообразная F(x), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

 

I = F(b) - F(a) .

 

Поэтому достаточно вычислить значения первообразной функции F(x) при x=a и x=b.

Численное интегрирование применяется, если невозможно аналитически записать первообразную F(x) или эта запись имеет очень сложный вид. Оно заключается в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a; b] аппроксимирующей функцией.

Наиболее распределенными численными методами интегрирования являются: метод прямоугольника, метод трапеций и метод Симпсона [3-5]. Все эти методы являются приближенными.

 

 

Метод прямоугольников

Это самый простейший метод.

Идея метода: кривая подынтегральной функции f(x) заменяется ломаной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс.

Отрезок [a; b] разобьем на n равных частей. Расстояние между двумя соседними точками x_i и x_i+1 обозначим через h - шаг интегрирования. В полученных точках проведем ординаты, которые будут выступать в качестве сторон прямоугольников (рисунок 20). Есть три варианта этого метода.

Рассмотрим случай, когда стороной прямоугольника выступает левая ордината (рисунок 21а). Площадь любого прямоугольника равна

DS_i = (x_i+1 - x_i) f(x_i) = h f(x_i). (49)

 

Тогда, значение определенного интеграла будет соответствовать сумме прямоугольников:

 

, (50)

 

где h=(b-a)/n - шаг интегрирования;

n - число интервалов разбиения.

 

Рассмотрим случай, когда стороной прямоугольника выступает правая ордината (рисунок 21б). Тогда, формула для нахождения определенного интеграла примет вид:

 

. (51)

 

Выражения (50) и (51) обеспечивают низкую точность значения интеграла. Для того, чтобы интегральная сумма мало отличалась от значения интеграла, число интервалов n должно быть достаточно велико. Для повышения точности также применяют следующее, в качестве стороны прямоугольника принимается ордината, соответствующая середине интервала разбиения (рисунок 21в). Тогда, определенный интеграл равен:

 

, (52)

 

где - середина интервала i.

 

Погрешность вычисления по методу прямоугольников e » h при h<<1.

 

 

а б

 

 

в

 

Рисунок 21 – Графическая интерпретация метода прямоугольников:

а) левых; б) правых; в) средних

 

 

Блок-схема алгоритма для вычисления значений определенного интеграла методом средних прямоугольников приведена на рисунке 22.

 

 

 

 

 

Рисунок 22 – Блок схема метода средних прямоугольников

Метод трапеций

 

Идея метода: участок интегрирования [a; b] разбивается на n равных частей. Во всех точках деления проводятся ординаты, и каждая из полученных криволинейных трапеций заменяется прямолинейной трапецией. Тогда приближенной значение интеграла будет равно сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 23).

При равных значениях шага интегрирования h метод трапеций обеспечивает большую точность, чем метод прямоугольников, поскольку подынтегральная функция f(x) аппроксимируется более точно.

Сторонами трапеции будут две соседние ординаты y_i-1 и y_i, участок оси ОХ длиной h и хорда кривой, тогда площадь трапеции равна

 

. (53)

 

Суммирование выражений (53) на участке интегрирования [a; b] приводит к значению определенного интеграла:

 

. (54)

 

 

 

Рисунок 23 – Графическая интерпретация метода трапеций

 

Погрешность интегрирования по методу трапеций при h<<1 составляет e»h² .

Блок-схема алгоритма для нахождения значений определенного интеграла методом трапеций приведена на рисунке 24.

 

 

 

 

Рисунок 24 – Блок-схема метода трапеций

Метод Симпсона (метод парабол)

Идея метода: подынтегральная кривая f(x) аппроксимируется параболами. Интервал интегрирования [a; b] разбивается на n=2m равных отрезков (их число должно быть четным) (рисунок 25).

На паре соседних отрезков, например, в точке x₀=a, кривая y=f(x) заменяется параболой y=ax²+bx+c, коэффициенты которой подбираются так, что она проходит через точки с ординатами y₀, y₁, y₂ .

 

 

 

 

Рисунок 25 – Графическая интерпретация метод Симпсона

 

 

Тогда, площадь фигуры, ограниченной параболой можно определить по формуле:

 

. (55)

 

Суммируя DS_i получим формулу Симпсона для вычисления определенного интеграла:

 

. (56)

 

Метод Симпсона дает более точное приближение интегральной суммы к интегралу и при равных значениях шага интегрирования h обеспечивает большую точность, чем методы прямоугольников и трапеций. Погрешность метода при h<<1 составляет e»h³… h⁴.

Блок-схема алгоритма нахождения значений определенного интеграла методом Симпсона приведена на рисунке 26.

 

 

 

Рисунок 26 – Блок-схема метода Симпсона