римеры решения задач к контрольной работе № 1

адача 1.

Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок;

б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.

ешение.

а) Рассмотрим следующие события:

А1 – первый стрелок попал в цель;

А2 – второй стрелок попал в цель;

А3 – третий стрелок попал в цель;

1 – первый стрелок не попал в цель;

2 – второй стрелок не попал в цель;

3 – третий стрелок не попал в цель.

По условию Р(А1) = 0,7; Р(А2) = 0,8; Р(А3) =0,9; Р(`А1) = 1 – 0,7 = 0,3;

Р(`А2) = 0,2; Р (`А3) = 0,1.

Пусть событие В – попал только один стрелок. Тогда

В=А123+`А1А23+`А12 А3

Отсюда в силу несовместности событий-слагаемых и независимости

событий – сомножителей

Р(В) = Р(А1) Р(`А2) Р(`А3) + Р(`А1) Р(А2) Р(`А3) + Р(`А1) Р(`А2) Р(А3) =

0,7 × 0,2 × 0,1 + 0,3 × 0,8 × 0,1 + 0,3 × 0,2 × 0,9 = 0,092

б) Пусть событие С – попадут только два стрелка. Тогда

С = А1А23 + А12А3 +`А1А2А3.

Отсюда

Р(С) = 0,7 × 0,8 × 0,1 + 0,7 × 0,2 × 0,9 + 0,3 × 0,8 × 0,9 = 0,398

в) Пусть событие D – попал хотя бы один стрелок. Тогда противоположное событие`D – не попал ни один из них, т.е. .


Поэтому =0,3 × 0,2 × 0,1 = 0,006.

Отсюда P(D) = 1 – P(D) = 1 – 0,006 = 0,994.

 

адача 2.

Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные – бывшие в употреблении. Наугад взято три микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?

ешение.

Рассмотрим события:

А – первый из взятых микрокалькуляторов новый

В – второй микрокалькулятор новый

С – третий микрокалькулятор новый

Тогда Р(А) =

Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новый, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события В, равна

РА(В) =

Вероятность того, что третьим будет отобран новый микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события С, равна

РАВ (С) =

Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна

Р(АВС) = Р(А) · РА(В) · РАВ (С) = · · =

 

адача 3.

Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80% , а во 2-м – 90% отличного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась отличного качества.

Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.

ешение.

Как и в предыдущей задаче, обозначим события - литера с i-го набора, вероятности этих событий Эти события образуют полную группу событий. Событие В – наудачу взятая литера отличного качества. По условию

Требуется найти вероятность , т.е. переоценить вероятность гипотезы А2 , когда событие В уже наступило. Используем формулу Бейеса , где - формула полной вероятности. Получаем искомую вероятность

 

адача 4.

После года хранения на складе в среднем 10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся годными:

а) 10;

б) больше половины.

ешение.

Событие А – наудачу взятый аккумулятор после года хранения годный. Вероятность для каждого из n=12 аккумуляторов.

а) Следует определить вероятность . применим формулу Бернулли: .

Получаем: .

б) т.е. m = 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Искомая вероятность

адача 5.

Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002.

Определить вероятность того, что из выпущенных 500 отливок количество бракованных составит:

а) 2;

б) более двух.

Решение. В этой задаче n = 500 велико, p = 0,002 мала, произведение

а) m = 2. Найти вероятность P2,500 можно по формуле Бернулли, но это нецелесообразно ввиду громоздкости вычислений. Воспользуемся формулой Пуассона

Вероятность находим, пользуясь таблицей значений функции Пуассона: P2,500 = 0,1839.

б) m >2, т.е. m = 3,4 . . . , 500 P500(m >2) надо найти.

 

Перейдем к противоположному событию , тогда Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона при и .

Получаем, пользуясь таблицей:

адача 6.

Вероятность своевременного выполнения заказа цехами службы быта равна 0,75.

Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят:

а) 120;

б) не менее 110.

 

 

ешение.

Вероятность выполнения каждого заказа невыполнения -

а) n =160 велико, m = 120; p близко к 0,5. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой Муавра-Лапласа: .

Значения функции Гаусса находим по таблице, учитывая ее четность: .

Находим: .

По таблице находим

Искомая вероятность

б) , т.е. надо найти вероятность

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа: , где а - функция Лапласа, значения которой табулированы, функция нечетная.

Вычисляем: .

По таблице находим:

Получаем: искомая вероятность:

адача 7.

Заданы законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y

 


Х -5 2 3 4 Y 1 4

 


Р 0,4 0,3 0,1 0,2 Р 0,2 0,8

 

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z = 2X – 7Y

Решение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайных величин Х и Y.

М(Х) = – 5 · 0,4 + 2 · 0,3 + 3 · 0,1 + 4 · 0,2 = – 0,3;

М(Y) = 1· 0,2 + 4 · 0,8 = 3,4

Напишем законы распределения для случайных Х2 и Y2:

 


Х2 25 4 9 16 Y2 1 16

 


Р 0,4 0,3 0,1 0,2 Р 0,2 0,8

 

Найдем математическое ожидание для случайных величин Х2 и Y2:

М(Х2) = 25 · 0,4 + 4 · 0,3 + 9 · 0,1 + 16 · 0,2 = 15,3;

М(Y2) = 1· 0,2 + 16 · 0,8 = 13,0

Отсюда

D(X) = M(X2) – [ M(X)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21

D(Y) = M(Y2) – [ M(Y)]2 = 13,0 – (3,4)2 = 1,44

Наконец, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и Y, получаем

М(Z) = M(2X – 7Y) = 2M(X) – 7M(Y) = 2(– 0,3) - 7· 3,4 = – 24,4

D(Z) = D(2X – 7Y) = 4D (X) + 49 · D(Y) = 4 · 15,21 + 49 · 1,44 = 131,4

 

адача 8.

Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0 при х £ -3

F(x) = (х + 3)2 при –3< x £ 0

1 при х > 0

Найти:

а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) плотность распределения вероятностей случайной величины Х;

в) математическое ожидание случайной величины Х.

 

ешение.

а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

б) Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины Х по формуле f (x) = F¢ (x)

Получаем

0 при х £ -3

F(x) = (х + 3)2 при –3< x £ 0

0 при х > 0

в) Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле

Имеем


Задача 9.

Станок–автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х его диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением = 0,5 мм, найти, сколько процентов годных шариков изготовляет станок–автомат.

ешение.

Воспользуемся формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания

Р( |Х - | < ) = 2Ф

где = М(Х), 2 = D(X), Ф(х) – функция Лапласа (см. приложение 1).

По условию задачи = М(Х) = 0; = 0,5; = 0,9, поэтому Р(Х<0,9)=2Ф (1,8)=20,4641=0,9282

Таким образом, станок–автомат изготавливает 92,8% годных шариков.