езависимые случайные события
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Задания для самостоятельной работы
по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
омбинаторика
1.1.Пусть Х1={А;Б;В;Г;Д;Е}.
1) Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из букв Х1
(каждую букву можно использовать не более одного раза)?
2) Сколькими способами можно взять три буквы из Х1?
3) Сколькими способами можно разбить Х1 на два непустых подмно-
жества?
4) Сколькими способами можно составить два «слова» из всех букв Х1?
1.2.Для Х2= {А;А;А;А;А} решите задачи из 1.1.
1.3.Для Х3 ={А;А;Б;В;Г} решите задачи из 1.2.
1.4Для Х4 ={0;1;2;3;4;5} переформулируйте и решите задачи из 1.1.
Домашнее задание №1: 1.1; 1.2; 1.3; 1.4.
1.5. Пусть Х5 ={0;0;1;2;3;3}.
1) Сколькими способами можно выбрать три числа из Х5?
2) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр из Х5?
3) Сколькими способами можно разместить цифры на I, II, III строчках,
если порядок на строке не учитывается и некоторые строчки могут
быть пустыми?
1.6.В группе 15 студентов. Среди них распределяют 3 путевки. Сколькими
способами это можно сделать, если
1) все путевки разные;
2) все путевки одинаковые;
3) две путевки в город А, а одна – в город В?
1.7.Пятьразличных книг нужно отправить в семь библиотек. Сколькими
способами это можно сделать, если
1) каждая библиотека может получить не более одной книги;
2) количество книг, получаемых каждой библиотекой, не оговорено;
3) известно, что одна библиотека получает три книги, а другие две – по
одной.
1.8.Пусть книги из 1.7одинаковые. Решите задание из1.7.
1.9.Три одинаковыегруши и один апельсин раздают (по одному) семерым
детям. Сколькими способами это можно сделать?
1.10.Сколькими способами можно разложить три предмета по трем ящикам,
если:
1) предметы разные и ящики различимые;
2) предметы одинаковые и ящики различимые;
3) предметы одинаковые и ящики неразличимые;
4) предметы одинаковые и ящики неразличимые?
1.11.Сколькими способами можно разложить четыре предмета по трем
ящикам, так что все ящики непустые и
1) предметы и ящики разные;
2) предметы и ящики одинаковые;
3) предметы разные и ящики одинаковые.
1.12.Сколькими способами можно разложить семь различных предметов по
одинаковым ящикам при условии, что все ящики непустые, и если
ящиков: а) два; б) три; в) четыре?
1.13.Решите задачу1.12,если предметы одинаковые.
1.14.1)Сколько способов раздать 12 различных книг четырем читателям,
если каждый получает не менее двух книг?
2)Сколько способов раздать 12 различных фруктов на четыре
одинаковых тарелки (по 3 штуки)?
езависимые случайные события
Первые задания в этом пункте связаны с проверкой равенства
р(Н1 
Н2)=р(Н1) 
р(Н2) для случая геометрического вероятностного простра-нства (отрезки в случае 
и прямоугольники в случае 
). Последующие текстовые задачи основаны на предположении независимости рассматривае-мых событий.
2.1.Пусть Х=[2,5] и Н=[2,4]. Будем ли Н независимо с:
1) W==[3,5]; 2)W=[4,5]; 3)W=[2,5] ?
2.2.Пусть Х=[–1,3] и Н=[0,2]. Найдите х 
[–1,3] :
1) [–1,х] независимо с Н;
2) [х,3] независимо с Н;
3) [х,1] независимо с Н .
2.3.Пусть Х=[0,1] 
[2,3] 
и Н=
[2,3]. Будет ли Н независимо с:
1) 
[2,3]; 2) 
[2,3]; 3) [25;2,7] ?
2.4.В таблице содержатся результаты пяти студентов, которые они
получили при написании двух работ:
| а1 | а2 | а3 | а4 | а5 | |
|
| |||||
|
|
А) Будут ли независимы Н1 и Н2:
1) Н1 = {аi: R1(ai)>3}, H2={ аi: R2(ai) 
3};
2) Н1 = {аi: R1(ai) 4}, H2={ аi: R2(ai)=4};
3) Н1 = {аi: R1(ai) 
3}, H2={ аi: R2(ai)<5}.
Б) Постройте кластеры по «ближнему соседу» и по «дальнему соседу».
2.5.Постройте графики парных линейных регрессий с помощью
статистических данных из2.4.
2.6.Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью – 0,7; второй – 0,8.
Каждый стрелок стреляет два раза. Пусть f есть количество попаданий в
этих четырех выстрелах. Найдите вероятность каждого из значений f .
2.7.Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,75. Он стреляет несколько
раз. Пусть, как в 2.6,f является количеством попаданий.
1) Пусть было сделано 2 выстрела; составьте таблицу вероятности
каждого из исходов;
2) то же задание для 3 выстрелов;
3) то же задание для 4 выстрелов.
Домашнее задание №2: 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 1.5.
2.8.Зерно первого сорта имеет всхожесть 80%, второго сорта имеет всхо-
жесть 70%. Сажают 2 зерна первого сорта и 2 зерна второго сорта.
Затем считают количество взошедших зерен. Составьте таблицу с
вероятностями всех исходов.
2.9.У растения может быть цветок белогоцвета (50%), желтого цвета (30%)и
красного цвета (20%). Посадили 3 растения.
1) посчитали количество f белых цветов; укажите вероятность каждого
значения f.
2) Какова вероятность того, что будет не менее двух белых цветков.
2.10.В условиях задания 2.9найдите вероятность того, что
1) появятся цветки всех цветов;
2) появятся цветки только красного и желтого цвета.
Домашнее задание №3: 2.4.А); 2.8; 2.9; 1.6.
олная вероятность
Решение заданий этого пункта основаны на равенствах:
3.1.На полке 3 английских, 2 французских и 2 немецких книг. С полки берут
сначала первую книгу, а затем вторую.
1) Какова вероятность, что вторая книга французская?
2) Известно, что вторая книга английская; какова вероятность, что и
первая – английская?
3) Известно, что вторая книга немецкая; какова вероятность, что и
первая книга французская?
Домашнее задание №4: 3.1; 2.10; 1.7.
3.2.В мешке зерно первого сорта со всхожестью 80% и зерно второго
сорта со всхожестью 70% . Причем m(I) : m(II) = 2 : 3.
1) Берут одно зерно из мешка; какова вероятность, что оно взойдет?
2) Одно зерно из мешка взошло; какова вероятность, чтоэто зерно
второго сорта?
3) Берут 4 зерна из мешка; какова вероятность, что взойдет не менее
двух зерен?
3.3.В коробке 3 белых шара и 5 красных шаров. Берут два шара. Какова
вероятность, что шары разных цветов?
Домашнее задание №5 3.2; 3.3; 1.8; 2.10.
3.4.В урнах белые и черные шары. В пяти урнах выполнено соотношение:
m(б) : m(ч) = 3 : 4, а в десяти m(б) : m(ч) = 2 : 1. Выбирают одну урну и
достают шар. Он белый. Какова вероятность, что он вынет из урны с
соотношением 2:1.