егуляризация плохо обусловленных систем.

Если система линейных уравнений порядка (2.1)-(2.2), п.2.1 Лк 2

плохо обусловлена, п.2.1, (2.1а),(2.2), то это значит, что погрешности определения коэффициентов матрицы и правых частей , даже не очень большие, или погрешности округления при расчетах могут сильно исказить решение . Для уменьшения погрешностей округления можно было бы произвести компьютерный расчет с двойным или даже тройным числом знаков, но при наличии погрешностей в и это бесполезно, и нужно регуляризовать исходную задачу /3/.

Перепишем исходную систему в эквивалентной форме

(2.24)

Если коэффициенты системы или краевые части известны не точно, то решение является также приближенным, поэтому мы можем требовать только приближенного равенства (2.24). Задача становится неопределенной, и для определенности надо добавить какие-то дополнительные условия.

Таким условием может быть требование, чтобы решение как можно меньше отклонялось от некоторого вектора , то есть чтобы скалярное произведение векторов было минимальным. Тогда регуляризованная задача формулируется так:

(2.24а)

где - малый положительный управляющий параметр.

Напомним, что скалярным произведением двух векторов называется сумма произведений их соответствующих элементов.

Перепишем условие (2.24а) в эквивалентной форме

(2.24б)

причем - матрица, эрмитово сопряженная с матрицей . Варьируя в (2.24б), получим разрешающее матричное уравнение, которое является системой:

(2.25)

Решив (2.25), например, методом Гаусса (или методом квадратных корней, так как матрица этой системы эрмитова), найдем регуляризованное значение , зависящее от малого параметра

Относительно выбора параметра : если то система (2.25) переходит в исходную систему (2.1), которая плохо обусловлена apriori. Ежели велико, то регуляризованная система (2.25) будет обусловлена хорошо благодаря наличию в левой части хорошо обусловленной матрицы ; но сама система (2.25) будет сильно отличаться от исходной, и регуляризованное решение не будет близким к истинному решению. Очевидно, оптимальным будет наименьшее значение , при котором обусловленность системы (2.25) еще удовлетворительна.

Для фактического определения оптимума вычисляют невязку и сравнивают ее по норме с известной погрешностью правых частей и с влиянием погрешности коэффициентов матрицы . Если слишком велико, то невязка заметно больше этих погрешностей, если слишком мало – то заметно меньшие. Проводят серию расчетов с различными ; оптимальным считают тот, в котором абсолютная величина невязки приблизительно равна сумме модулей нормированных погрешностей правых частей и коэффициентов системы:

(2.26)