риведение уравнений кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду.

Определение. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+ 2a₁₂xy+2a₁₃xz +2a₂₃yz+

+2a₁x+2a₂y+2a₃z+с=0. (18)

Выражение, записанное в первой строке, называется квадратичной частью уравнения, выражение 2a₁x+2a₂y+2a₃zназывается линейной частью уравнения, а с называется свободным членом.

Квадратичная часть уравнения (18) представляет собой квадратичную форму. Обозначим её k(). Найдем новую систему координат (x¢,y¢,z¢), относительно которой квадратичная форма k() имеет диагональный вид (13). Для того чтобы узнать, какой при этом вид примет линейная часть уравнения, необходимо найти формулы вида (14¢), выражающие старые координаты x, y, z через новые x¢, y¢, z¢, и подставить их в линейную часть. Обратите внимание на то, что подстановку нужно делать только в линейную часть уравнения; какой вид примет квадратичная часть при такой подстановке мы можем написать сразу – это вид (13). В итоге мы получим выражение вида

l₁x¢²+l₂ y¢²+l₃z¢²+2b₁x¢+2b₂y¢+2b₃z¢+с¢=0.

Теперь применим преобразование, которое называется методом выделения полных квадратов или методом Лагранжа. Предположим, что ни одна из величин l₁, l₂, l₃, b₁, b₂, b₃ не равна нулю. Тогда последнее уравнение можно переписать следующим образом:

l₁ - + l₂- +

+l₃- +с¢=0.

Если и «свернуть» полные квадраты, и обозначить

d=с¢- - - ,

то получим уравнение

l₁²+ l₂²+l₃²+d =0.

Сделаем теперь замену координат

x²=x¢+b₁/l₁,

y²=y¢+b₂/l₂,

z²=z¢+b₃/l₃.

Эта замена эквивалентна переносу начала координат (параллельному переносу координатных осей) в точку O¢(-b₁/l₁,-b₂/l₂,-b₃/l₃)_Ox_¢_y_¢_z_¢. Подчеркнём, что координаты точки O¢ указаны относительно системы Ox¢y¢z¢. Теперь наше уравнение принимает вид

l₁(x²)² + l₂(y²)² +l₃(z²)² +d =0. (19)

Проведенные нами преобразования справедливы и в том случае, когда какая-либо из величин b₁, b₂, b₃равна нулю; например, при b₁=0 получим x²=x¢. Если l₁=0, то избавиться в уравнении от слагаемого 2b₁x¢ нам не удастся. Тогда мы пока оставляем координату x¢ без изменения. Аналогично при l₂=0 оставляем пока без изменения координату y¢, при l₃=0 – координату z¢.

Предположим теперь, что только одно из чисел l₁, l₂, l₃ равно нулю. Тогда мы можем считать, что именно l₃=0 (если это не так, мы поменяем порядок обозначения переменных). После выделения полных квадратов получим уравнение вида

l₁(x²)² + l₂(y²)² +2b₃z¢ +d =0. (20)

где d=с¢- b₁²/l₁ - b₂²/l₂. Тогда мы его преобразуем так:

l₁(x²)² + l₂(y²)² +2b₃(z¢ +d/2b₃)=0

и совершаем замену координат z²=z¢ +d/2b₃. Обратите внимание на то,что делать замену z²=2b₃z¢ +d нельзя, т.к. это не будет эквивалентно переходу к новой декартовой системе координат. После замены получим уравнение вида

l₁(x²)² + l₂(y²)² =-2b₃z². (21)

При этом мы выписываем замену координат:

x²=x¢+b₁/l₁,

y²=y¢+b₂/l₂,

z²=z¢ +d/2b₃,

Эта замена означает перенос начала координат в точку O¢(-b₁/l₁,-b₂/l₂,-d/2b₃)_Ox_¢_y_¢_z_¢.

Предположим, что среди чисел l₁, l₂, l₃ только одно отлично от нуля. Тогда мы можем считать, что именно l₁¹0. После выделения полных квадратов может получиться уравнение вида

l₁(x²)² +2b₂y¢+2b₃z¢ +d =0. (22)

Это наиболее сложный случай. Здесь необходимо сделать такую замену, чтобы вместо двух переменных y¢ и z¢ осталась одна переменная y². При этом, искомая замена переменных должна осуществляться с помощью ортогональной матрицы. Этим требованиям удовлетворяет замена

y²= (b₂/k)y¢+(b₃/k)z¢,

z²=-(b₂/k)y¢-(b₃/k)z¢,

где k= . Осуществив её, получим уравнение

l₁(x²)² +2ky²+d =0. (23)

Подобное уравнение может получиться и сразу после выделения полных квадратов. В примере 7 мы на практике разберём, какую именно следует совершить замену координат, с тем, чтобы получить сразу уравнение (23) вместо (22). Затем, мы избавляемся от свободного члена, так же как и в уравнении (20) и получаем уравнение вида

l₁(x²)² = -2ky². (24)

Итак, любое уравнение кривой второго порядка может быть приведено путем перехода к новой декартовой системе координат к уравнению типа (19), (21) или (24). Если вернуться к исходным обозначениям для координат, эти уравнения примут соответственно вид

l₁(x²)² + l₂(y²)² +l₃(z²)² +d =0;

l₁(x²)² + l₂(y²)² =-2b₃z²;

l₁(x²)² = -2ky².

Далее, в зависимости от знаков величин l₁, l₂, l₃, b₃, d, эти уравнения могут быть легко преобразованы к одному из канонических уравнений поверхностей второго порядка. Список канонических уравнений кривых и поверхностей второго порядка изложен в Приложении.

Этот же метод можно применить и для приведения к каноническому виду уравнения кривой второго порядка. Как это можно сделать показывает следующий пример.

Пример 4. Относительно декартовой системы координат Oxy на плоскости кривая определяется уравнением

3y²- 4xy+4x+2y–1 =0. (25)

Путем перехода к новой декартовой системе координат привести уравнение кривой к каноническому виду и определить тип кривой. Изобразить кривую в системе координат Oxy.

Решение. Пусть

k()=3y²- 4xy

есть квадратичная часть уравнения кривой. Составим матрицу A квадратичной формы k() и матрицу A-lE:

A=, A-lE= .

Характеристическое уравнение можно составить, раскрыв определитель det(A-lE) и приравняв его к нулю. Но можно воспользоваться также следующей формулой для характеристического уравнения:

l²- (trA)l+detA=0.

В нашем случае получаем уравнение

l²- 3l-4=0.

Оно имеет корни l₁= 4, l₂= -1. Составим матрицы A-l₁E и A-l₂E:

A-4E = , A+E = .

По этим матрицам составляем системы уравнений для нахождения собственных векторов и :

-4x-2y=0, x-2y=0,

-2x- y=0, -2x+4y=0,

Им удовлетворяют соответственно векторы (1,-2), (2,1). Затем находим ||=, ||=. Поэтому в качестве новых базисных векторов берем

, ,

Матрица перехода к новому базису {,} имеет вид

С= .

Отсюда получаем формулы, связывающие старые и новые координаты:

x= x¢ + y¢, x¢= x - y,

y= –x¢ + y¢, y¢= x +y,

Относительно новых координат квадратичная форма k() принимает вид

k()= l₁x¢²+l₂ y¢²= 4x¢²-y¢².

Для того, чтобы выяснить, как преобразуется линейная часть уравнения мы в линейную часть уравнения (25) подставим выражения (26). Получаем уравнение

4x¢²-y¢²+4 + 2 – 1=0.

Раскрываем скобки, приводим подобные:

4x¢²-y¢²+2y¢ – 1 =0.

Выделим по y¢ полный квадрат:

4x¢²-(y¢²-2y¢+ ()²)+()²–1=0.

4x¢²-(y¢-)²+5–1=0.

Теперь делаем замену переменных:

x²=x¢,

y²=y¢-,

которая означает перенос начала координат в точку O¢(0,)_Ox_¢_y_¢. Получаем уравнение

4(x²)²-(y²)²=-4.

Его можно преобразовать к каноническому виду

-(x²)²+ = 1 (27)

Данное уравнение определяет гиперболу, действительная ось которой направлена вдоль оси O¢y², а полуоси равны 1 и 2.

Для того, чтобы изобразить кривую в исходной системе координат, сперва необходимо изобразить оси новой системы координат. С помощью формул (26) находим координаты точки в системе Oxy:

x= ·0 + · = 2, y= –·0 + · =1.

Итак O¢(2,1)_Oxy. Направление координатных осей O¢x² и O¢y² задаётся соответственно векторами (1,-2) и (2,1). Мы откладываем эти векторы от точки O¢ и затем проводим оси.

Напомним, что для изображения гиперболы сперва необходимо нарисовать фундаментальный прямоугольник (который ограничен линиями |x²|=1, |y²|=2) и провести асимптоты, которые проходят через диагонали этого прямоугольника. Теперь мы вписываем обе ветви гиперболы в усеченные углы, образованные асимптотами и сторонами прямоугольника. Поскольку действительная ось гиперболы направлена вдоль O¢y², мы выбираем ту пару углов, которая расположена вдоль этой оси.

y²

O¢

x²

Пример 5.Относительно декартовой системы координат Oxyz в пространстве поверхность определяется уравнением

3y²+4xy-2xz-4yz+2x+14y =0.

С помощью выбора новой декартовой системы координат привести уравнение поверхности к каноническому виду.

Решение. Квадратичная часть уравнения совпадает с квадратичной формой из примера 3: k()=3y²+4xy-2xy-4yz. Мы уже выяснили, что с помощью выбора нового ОНБ в пространстве, мы можем привести эту квадратичную форму к виду

k()=-x¢²-y¢²+5z¢²,

и при этом формулы замены координат имеют вид (17). Подставляем эту замену в линейную часть уравнения: 2x+14y, а квадратичную часть пишем сразу в новых координатах:

-x¢²-y¢²+5z¢²+2+14

Раскрываем скобки, приводим подобные:

-x¢²-y¢²+5z¢²+x¢-4y¢+5z¢= 0.

Выделяем полные квадраты:

-(x¢²-x¢+(/2)²) + -(y¢²+4y¢+(2)²)+12+

+5(z¢²+z¢+(/2)²)- = 0.

-(x¢-/2)² -(y¢+2)²+5(z¢+/2)²+ 5= 0.

Делаем замену координат:

x²=x¢-/2,

y²=y¢+2,

z²=z¢+/2.

Она означает перенос начала координат в точку O¢(/2, –2,-/2)_Ox_¢_y_¢_z_¢. После замены получаем уравнение

-(x²)² -(y²)²+5(z²)²=-5.

Делим его на -5 и окончательно получаем каноническое уравнение

+ -(z²)²=1.

Это уравнение задаёт однополостной гиперболоид. Дополнительно можем найти координаты точки O¢ в исходной СК. Для этого подставим найденные выше её координаты в (17). Получим O¢(-2,1,3)_Oxyz.

В следующем примере мы рассмотрим случай, когда все числа l₁,l₂, l₃различные. Это самый простой для решения пример.

Пример 6.Относительно декартовой системы координат Oxyz в пространстве поверхность определяется уравнением

4x²+2y²+3z²+ 4xz-4yz+6x-6y=0.

С помощью выбора новой декартовой системы координат привести уравнение поверхности к каноническому виду.

Решение. Составляем матрицу A квадратичной части уравнения матрицу A-lE:

A= , A-lE= .

Находим коэффициенты характеристического многочлена:

trA = 4+2+3=9,

I₂(A)= + + = 8+2+8=18,

detA= = 2· = 2·0 = 0

(мы прибавили к третьей строке вторую, а затем раскрыли определитель по второму столбцу). Составляем характеристическое уравнение в соответствии с формулой (6):

-l³+9l²-18l+0=0 Û l(l²–9l+18)=0.

Отсюда l₁=0, l₂=3, l₃=6.

A-0E =,

Для данной системы наиболее удобным является следующий способ решения: из 1 и 2 второго уравнений выразить x и y через z, а потом подставить в третье уравнение для проверки.

x=-0,5z,

y = z,

-z-2z+3z=0.

Затем придаём z произвольное ненулевое значение, например, z=2 и находим x=-1, y=2. (–1,2,2).

A-3E=,

A-6E=.

Данные системы решаются таким же способом (проделайте это самостоятельно). Мы находим (2,2,-1), (2,-1,2). Теперь нормируем найденные собственные векторы, и результат оформляем следующим образом.

l₁=0, (–1,2,2), ,

l₂=3, (2,2,-1), ,

l₃=6, (2,-1,2), .

Это является обязательным требованием к оформлению решения в контрольной работе. Составляем матрицу перехода, выписывая координаты новых базисных векторов в столбцы.

C=.

Данная матрица получилась симметрической. Поэтому она является сама к себе обратной: C·C=E. По этой же причине формулы прямой и обратной замены координат выглядят одинаково:

x¢= (-x+2y +2z), x= (-x¢+2y¢ +2z¢),

y¢= (2x+2y -z), y= (2x¢+2y¢-z¢),

z¢= (2x-y +2z), z= (2x¢-y¢+2z¢),

Квадратичную часть уравнения в новых координатах мы выписываем сразу, а в линейную часть необходимо сделать подстановку.

0x¢²+3y¢²+6z¢²+ (-x¢+2y¢ +2z¢)-(2x¢+2y¢-z¢)=0,

3y¢²+6z¢²-6x¢+6z¢=0.

Делим данное уравнение на 3 и выделяем полный квадрат по z¢; коэффициент при x¢ выносим за скобку.

y¢²+2(z¢²+z¢+)- -2x¢=0,

y¢²+2²=2.

Делаем замену координат:

x²=x¢+1/4,

y²=y¢,

z²=z¢+1/2.

Она означает перенос начала координат в точку O¢(-1/4,0,-1/2)_Ox_¢_y_¢_z_¢. После замены получаем уравнение

(y²)²+2(z²)²=2x² Û +(z²)²=x².

Мы получили каноническое уравнение эллиптического параболоида, осью которого является O¢x².

В следующем заключительном примере мы рассмотрим самый сложный случай, когда ноль является собственным числом кратности 2.

Пример 7. Относительно декартовой системы координат Oxyz поверхность определяется уравнением

x²+y²+z²+ 2xy+4xz+4yz+8x+4y-5=0.

С помощью перехода к новой декартовой системе координат привести уравнение поверхности к каноническому виду и определить тип поверхности.

Решение. Пусть k()=x²+y²+z²+ 2xy+4xz+4yz– квадратичная часть уравнения поверхности. Составим матрицу квадратичной формы k() и матрицу A-lE:

A= , A-lE= .

Находим коэффициенты характеристического многочлена:

trA = 1+1+4=6,

а поскольку, очевидно, rankA=1 (т.к. все строки в A пропорциональны), то I₂(A)=0 и detA=0. Составляем характеристическое уравнение в соответствии с формулой (6):

-l³+6l²=0 Û l²(l-6)=0.

Значит, l₁=0, l₂=0, l₃=6. Для собственного числа l₃=6 обычным образом находим собственный вектор (1,1,2).

При l₁=l₂=0 система уравнений для нахождения собственных векторов имеет ранг 1:

Поэтому, так же, как и в примере 2, оставляем первое уравнение

x+y +2z=0, (28)

а остальные уравнения отбрасываем. Этому уравнению удовлетворяет, например, вектор (1,-1,0). Если мы воспользуемся таким вектором , то получим после замены уравнение вида (22). После этого потребуется решать проблему дополнительной замены координат. Наша цель: совершить замену координат так, чтобы после замены в уравнении не осталось координаты x¢ или координаты y¢ (поскольку в квадрате у нас будет только одна координата z¢). Если координаты вектора (x,y,z) будут удовлетворять дополнительному условию a₁x+a₂y+a₃z=0, то после замены в уравнении не останется x¢, а если этому условию будут удовлетворять координаты , то после замены не останется y¢. В нашем случае данное условие выглядит так: 4x+2y=0. Поэтому координаты вектора будем искать из системы

Отсюда (2,-4,1). Вектор (x,y,z) должен удовлетворять условию(28), а также должен быть ортогонален , т.е. (x,y,z)·(2,-4,1)=0. Итак, координаты (x,y,z) мы ищем из системы

Û Û

Отсюда (3,1,-2). Теперь нормируем найденные собственные векторы, и результат оформляем следующим образом.

l₁=0, (2,-4,1), ,

l₂=0, (3,1,-2), ,

l₃=6, (1,1,2), .

Выражение старых координат через новые мы можем выписать сразу, не составляя матрицы перехода.

x= x¢+ y¢ + z¢,

y= -x¢+ y¢+ z¢,

z= x¢- y¢+ z¢.

6z¢²+ 8 +4 -5=0,

6z¢²+ y¢ + z¢-5=0 Û 3z¢²+ y¢ + z¢-2,5=0,

Выделим по z¢ полный квадрат:

3- + y¢-2,5=0,

3²- + y¢-2,5=0,

3²+ =0,

Делаем замену координат:

x²=x¢,

y²=y¢- ,

z²=z¢+ ,

которая означает перенос начала координат в точку O¢(0,,-)_Ox_¢_y_¢_z_¢. В результате получаем уравнение

3(z²)²=-y².

Его можно преобразовать к каноническому виду (z²)²=-2py², где p= . Это уравнение определяет параболический цилиндр, ось которого направлена вдоль отрицательного направления координатной оси O¢y², а образующие параллельны оси O¢x².

Приложение 1

Список кривых второго порядка

Название кривой Каноническое уравнение кривой

1. Эллипс + =1

2. Мнимый эллипс (Æ) + =–1

3. Гипербола – =1

4. Пара пересекающихся прямых a²x²–b² y²=0

5. Пара мнимых прямых пересекающихся в действительной точке a²x²+b² y²=0

6. Парабола y²=2pх,

7. Пара параллельных прямых x²=a²

8. Пара мнимых параллельных прямых x²=–a²

9. Пара совпадающих прямых x²=0

Приложение 2

Список поверхностей второго порядка