абораторная работа №3. Исследование пространственных преобразований графических объектов.
Целью работы являетсязакрепление на практике знаний математического аппарата, положенного в основу пространственных преобразований графических объектов (на примере преобразований четырехгранников).
Теоретическая справка.При пространственных преобразованиях графических объектов каждая точка P(x,y,z) в пространстве однозначно отображается содержащей однородные координаты этой точки матрицей (координатным вектором) размером 1´4 вида 
. Отрезку прямой между точками (x1, y1 ,z1) и (x 2 , y2 ,z2) ставится в соответствие 2´4 матрица вида 
. Многогранник может быть представлен M´4 матрицей (где M – число вершин многогранника), содержащей однородные координаты его вершин: 
. Преобразования осуществляются путем умножения таких матриц на матрицу общего преобразования размером 4´4 вида 
. Результат преобразования зависит от конкретного вида матрицы преобразования. Если координатный вектор преобразованной точки 
содержит h 1 и h 0, результат нормализуют путем деления всех четырех составляющих однородных координат на h, т.е. приводят к виду 
, где x* = x¢/h, y* = y¢/h, z* = z¢/h. Равенство нулю координаты h в результате матричного умножения (координатный вектор преобразованной точки при этом имеет вид 
) свидетельствует о том, что исходная точка преобразована в точку бесконечности, лежащую на луче, который идет из начала координат через точку (x¢,y¢,z¢).
Матрицы простых пространственных преобразований графических объектов представлены в приложении 2.
Рекомендации по выполнению лабораторной работы:
Ряд последовательных преобразований объекта можно комбинировать: предварительно рассчитав матрицу полного преобразования путем перемножения в строгой последовательности матриц отдельных преобразований, применить ее для преобразования исходного объекта.
1. Согласуйте с ведущим преподавателем номер варианта, в соответствии с которым вы будете проводить исследования. Варианты заданий представлены в таблице 2. Ознакомьтесь с данным вариантом задания (с рекомендуемыми значениями координат вершин исходного четырёхгранника и – при выполнении соответствующих пунктов программы – коэффициентов матрицы общего преобразования или иных параметров преобразования).
2. Осуществите следующие преобразования исходного четырехгранника, удаляя каждый раз перед очередным преобразованием результат предыдущего[2]:
a) локальное масштабирование по координатным осям x и z, используя одну матричную операцию;
b) симметричное отражение относительно координатной плоскости xz (y = 0);
c) симметричное отражение относительно оси x;
d) сдвиг вдоль оси x пропорционально координате z;
e) поворот на – 90° вокруг координатной оси z;
f) поворот на угол f вокруг координатной оси y.
Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициентов левой верхней 3´3 подматрицы матрицы общего преобразования.
3. Осуществите перемещения исходного четырехгранника вдоль осей y и z, используя одну матричную операцию.
Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициентов левой нижней 1´3 подматрицы матрицы общего преобразования.
4. Реализуйте по отношению к исходному четырехграннику проецирование в однородных координатах.
Сделайте выводы о математическом смысле проведенного преобразования и процедуры нормализации результата умножения матриц. Сформулируйте также вывод относительно назначения коэффициентов правой верхней 3´1 подматрицы матрицы общего преобразования.
5. Реализуйте общее масштабирование исходного четырехгранника.
Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициента правой нижней 1´1 подматрицы матрицы общего преобразования.
6. Осуществите поворот исходного четырехгранника на угол f вокруг прямой линии, параллельной координатной оси y и заданной, соответственно, значениями двух координат: x = l, z = n; используйте при этом следующие последовательные преобразования:
a) переместите объект преобразования таким образом, чтобы прямая, относительно которой совершается поворот, совпала с осью y;
b) поверните объект на требуемый угол вокруг оси y;
c) осуществите обратное (по отношению к п/п. a) перемещение объекта.
7. Рассчитайте матрицу полного преобразования, реализованного в предыдущем пункте. Примените ее для преобразования исходного четырехгранника. Сравните результаты, полученные в настоящем и предыдущем пунктах.
8. Осуществите поворот исходного четырехгранника на угол вокруг прямой линии, которая заданна точкой с координатами (0, 0, 0) и направляющим вектором, представленным матрицей 
; используйте при этом следующие последовательные преобразования:
a) поверните объект преобразования вокруг двух координатных осей на соответствующие углы таким образом, чтобы прямая, относительно которой совершается поворот, совпала с какой-либо координатной осью;
b) реализуйте поворот на требуемый угол вокруг той координатной оси, с которой в п/п. a совмещена прямая;
c) осуществите обратные (по отношению к п/п. a) повороты в обратной же последовательности.
9. Реализуйте симметричное отражение исходного четырехгранника относительно плоскости 
, используя при этом следующие последовательные преобразования:
a) определив координаты какой-либо одной точки, принадлежащей плоскости отражения, переместите объект преобразования так, чтобы эта точка попала в начало координат;
b) поверните объект вокруг одной или двух координатных осей таким образом, чтобы плоскость отражения совпала с какой-либо координатной плоскостью;
c) симметрично отразите объект относительно той координатной плоскости, с которой в п/п. b совмещена плоскость отражения;
d) осуществите соответственно один или два обратных (по отношению к п/п. b) поворота (во втором случае – в обратной же последовательности);
e) осуществите обратное (по отношению к п/п. a) перемещение объекта.
По результатам выполнения пунктов 6, 7, 8 и 9 сформулируйте вывод о возможных путях реализации комбинаций пространственных преобразований.
10. Получите такую ортографическую проекцию исходного четырехгранника на плоскость xy (z = 0), в которой какая-либо грань объекта, не параллельная ни одной координатной плоскости, была бы отражена без искажения.
Сформулируйте вывод относительно возможности применения ортографического проецирования для формирования вспомогательных видов и сечений геометрически сложных трехмерных объектов с целью адекватного восприятия их формы.
Таблица 2.
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №3 Вариант задания №1 | |
| Координаты вершин исходного четырёхгранника | |
| x1 = 100; y1 = 100; z1 = 50;x2 = 0; y2 = 100;z2 = 150; x3 = 100; y3 = 0; z3 = 150;x4 = 100; y4 = 100; z4 = 150 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 3; j = 1.5* |
| 2d | g = 1.5* |
| 2f | f = 30° |
| m = 100; n = 150* | |
| p = 0.03; q = 0.02* | |
| s = 2* | |
| f = 50°; l = 100; n = 50* | |
| = 105° | |
| D = -50 | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
______________________________________
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №3 Вариант задания №2 | |
| Координаты вершин исходного четырёхгранника | |
| x1 = 200; y1 = 100; z1= 200;x2 = 200; y2 = 250; z2= 100; x3 = 100; y3 = 250; z3= 200;x4 = 200; y4 = 250; z4 = 200 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 0.5; j = 1.5 * |
| 2d | g = -0.5* |
| 2f | f = 120° |
| m = 150; n = 100 * | |
| p = 0.003;r = 0.001 * | |
| s = 0.5* | |
| f = 140°; l = 100; n = 100* | |
| = 80° | |
| D = 100 | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) | |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №3 Вариант задания №3 | |
| Координаты вершин исходного четырёхгранника | |
| x1 = 100;y1 = 250; z1= 50;x2 = 100; y2 = 250; z2= 250; x3 = 200;y3 = 150; z3= 150; x4 = 200; y4 = 250; z4 = 150 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 2.1; j = 1.2* |
| 2d | g = 1.3* |
| 2f | f = 45° |
| m = 50; n = 300 * | |
| q = 0.01;r = 0.02* | |
| s = 3* | |
| f = 80°; l = 300; n = 150* | |
| = 100° | |
| D = 200 | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
______________________________________
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №3 Вариант задания №4 | |
| Координаты вершин исходного четырёхгранника | |
| x1 = 100; y1 = 150;z1= 300;x2 = 200; y2 = 150; z2= 200; x3 = 100; y3 = 50; z3= 200;x4 = 100; y4 = 150; z4 = 200 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 1.6; j = 1.2* |
| 2d | g = 1.1* |
| 2f | f = 90° |
| m = 50; n = -100* | |
| p =0.002;q = 0.001;r = 0.003* | |
| s = 0.6 * | |
| f = 115°;l = 150;n = 150* | |
| = 130° | |
| D = -150 | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) | |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №3 Вариант задания №5 | |
| Координаты вершин исходного четырёхгранника | |
| x1 = -200; y1 = -200;z1= 0;x2 = -100;y2 = -200; z2= 100; x3 = -200;y3 = -100; z3= 100;x4 = -200; y4 = -200; z4 = 100 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 0.5; j = 0.8* |
| 2d | g = 1.2* |
| 2f | f = 30° |
| m = 300; n = 100* | |
| q = 0.002* | |
| s = 1.5* | |
| f = 15°;l = 200;n = 100* | |
| = 160° | |
| D = -200 | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
______________________________________
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №3 Вариант задания №6 | |
| Координаты вершин исходного четырёхгранника | |
| x1 = -100; y1 = -100; z1= -300;x2 = +200;y2 = -100; z2= -200; x3 = -100; y3 = -200; z3= -200;x4 = -100; y4 = -100; z4 = -200 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 0.4; j = 1.3* |
| 2d | g = 0.5* |
| 2f | f = 60° |
| m = 300; n = 400* | |
| r = 0.008* | |
| s = 1.8* | |
| f = 250°;l = -400;n = -300* | |
| = 210° | |
| D = 130 | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |