пределение доверительных интервалов случайной погрешности

 

Если гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения доказана либо принята, стандартное отклонение среднего арифметического вычисляют по формуле

 

(1.4.1)

Для расчётов обычно принимают доверительную вероятность

Р=0,95. Дополнительно проводят расчёт при Р=0,99 или, иными словами, 99%, при повышенных требованиях к точности.

При n > 40...50 порядок действий следующий.

Если результаты наблюдений Хi распределены нормально, то нормально распределены и величины Xi/n, а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство:

(1.4.2)

Таким образом, интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных измерений ,в раз короче интервала, вычисленного по результату одного измерения, хотя доверительная вероятность у них одинакова.

Потом определяют коэффициент при Ф( )= (1+Р)/2 по таблице «Интегральная функция нормированного нормального распределения» (таблица 2 приложения) или по таблице «Значения функции Лапласа» при P/2.

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде:

; Р=…% (1.4.3)

При n<40…50 пользуются распределением Стьюдента.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале

(1.4.4)

 

Величины , рассчитанные с помощью этой формулы для различных значений доверительной вероятности и числа степеней свободы k=n-1, табулированы (см.таблицу 5 приложения).

 

Рекомендуемая литература (теоретические вопросы):

 

1. Г.Д.Крылова «Основы стандартизации, сертификации и метрологии».

2. И.М.Лифиц «Стандартизация, метрология и сертификация».

3. Я.М.Радкевич, А.Г.Схиртладзе «Метрология, стандартизация и сертификация»

Нормативные документы

Рекомендации по обработке данных и расчету параметров описательной статистики.

Среднее арифметическое значение результата измерений ,являются оценкой истинного значения Q :

,

Где - отдельные результаты измерений; n – число измерений.

Смещённая оценка дисперсии:

Несмещённая оценка дисперсии :

Среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение ,

Среднее арифметическое отклонение:

.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического :

 

Примечание. После расчёта стандартного отклонения можно выявить грубые промахи по 3 сигма критерию (максимальное по абсолютной величине отклонение нормируют к стандартному отклонению, если эта величина превышает 3, то это значение считают грубым промахом, прибор бракуют, а результат исключают из обработки).

Допускается обработка данных с помощью электронных таблиц.

Задача: Обработка результатов многократных измерений при среднем числе опытов

Вариант назначается преподавателем.

Исходные данные: Результаты многократного измерения диаметра металлического стержня (мм).

Требуется : а) выявить результаты, содержащие грубую погрешность и избавиться от них;

б) оценить нормальность распределения результата наблюдения;

в) выполнить интервальную оценку.

Доверительную вероятность в пунктах а) и в) принимать равной Р= 0,95.

Пример решения.

а) Поскольку , для выявления результатов , содержащие грубую погрешность, используем метод вычисления максимального относительного отклонения (критерий ).

Среднее арифметическое составляет:

Внимание! При расчёте необходимо на промежуточных этапах при округлении сохранять на один разряд больше, чем было в исходных числах.

 

Среднее квадратичное отклонение определяется по формуле:

.

.

 

Таблица № 1. Расчёт и (При n= 15).

№
2,99 0,003 0,000009
2,98 -0,007 0,000049
2,98 -0,007 0,000049
2,99 0,003 0,000009
2,98 -0,007 0,000049
2,98 -0,007 0,000049
2,98 -0,007 0,000049
3,05 0,063 0,003969
2,98 0,003 0,000049
2,99 0,003 0,000009
2,99 0,003 0,000009
2,99 -0,007 0,000049
2,98 -0,007 0,000049
2,97 -0,017 0,000289
2,98 -0,007 0,000049
Сумма 44,81   0,004695
Среднее 2,987    

 

Расчётные значения параметра для оценки возможного присутствия грубой погрешности вычисляются по формулам :

или

Критическое значение определяется по таблице 6 приложения: при числе наблюдений n= 15 для уровня значимости находим .

Т.к. 3,443>2,493 (т.е. > ), содержит грубую погрешность; этот результат ( м) отбрасывается.

Т.к. 0,929 <2,493 (т.е. < ), мм не содержит грубую погрешность.

Проводим повторный расчёт по оставшимся значениям

 

Таблица №2. Расчёт и (при n= 14).

№
2,99 0,007 0,000049
2,98 -0,003 0,000009
2,98 -0,003 0,000009
2,99 0,007 0,000049
2,98 -0,003 0,000009
2,98 -0,003 0,000009
2,98 -0,003 0,000009
2,98 -0,003 0,000009
2,99 0,007 0,000049
2,99 0,007 0,000049
2,99 0,007 0,000049
2,98 -0,003 0,000009
2,97 -0,013 0,000169
2,98 -0,003 0,000009
Сумма 41,76 0,072 0,000486
среднее 2,983 (сумма модулей)  

Критическое значение определяется по таблице 6 приложения: при числе наблюдений n= 14 для находим .

Т.к. 1,148< 2.461 (т.е. < ), = 2,99мм не содержит грубую погрешность;

Т.к. 2,131 < 2,461 (т.е. < ) , = 2,97 мм так же не содержит грубую погрешность.

б)Т.к. 10…15< n<40…50, то для оценки нормальности применяем составной критерий.

Статистика dвычисляется по формуле

,

Задаемся уровнем значимости .По таблице 7 приложения при числе измерений n= 14 ; .

Условие < ; 0,6767<0.8729 0,9226 выполняется, поэтому в соответствии с первым критерием гипотеза о нормальности распределения принимается.

Для проверки по второму критерию в табл.8 приложения при n= 14 и = 0,02 находим m=1. В таблице 2 приложения находим значение .

Поскольку m= 1,то значение мм может превзойти только одно из отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического. В расчетной таблице №2 отклонений мм нет ни одного. Таким образом, и второй критерий говорит о том , что экспериментальные данные при уровне значимости не противоречат гипотезе о нормальности распределения результата наблюдения.

в)Т.к. гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения подтверждена и n<40…50, проведем интервальную оценку с помощью коэффициентов Стьюдента.

Половина длины доверительного интервала:

.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического:

.

.

По справочной таблице вида “Распределение Стьюдента” ( табл. 5 приложения) при заданной доверительной вероятности P= 0,95 и числе степеней свободы k=n-1=14-1=13 определяем соответствующий коэффициент Стьюдента :

Тогда

мм

Ответ: 2,983 0,004мм; Р= 95%.

Внимание! При записи окончательного ответа погрешность округляется до того количества значащих цифр, которое требуется по правилам округления. Затем округляется до того же разряда, до которого была округлена погрешность.