еоремы сложения и умножения вероятностей
адача 1.
1.1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.
1.2. В урне 5 белых шаров и 4 черных шара. Наудачу извлекается 4 шара. Найдите вероятность того, что будут извлечены два белых и два черных шара.
1.3. Вероятность улучшения спортсменом личного достижения по прыжкам в длину равна 0,4. Чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать три раза.
1.4. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складывают в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в 2 раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая из ящика наудачу деталь будет бракованной.
1.5. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность того, что, вынув наудачу с возвращением 6 шаров, получим белых не менее 3-х.
1.6. На факультете насчитывается 1460 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно пяти студентов.
1.7. Три стрелка в одинаковых независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень; б) только два стрелка попадут в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень.
1.8. В первой бригаде токарей 2 рабочих имеют первый разряд, 2 рабочих – второй, 5 рабочих – четвертый. Во второй бригаде 1 токарь имеет первый разряд, 4 токаря – третий, 2 токаря – четвертый. Из первой бригады во вторую переведен один токарь. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу выбранный из нового состава второй бригады, имеет разряд не ниже второго.
1.9. В правом кармане имеется три монеты по 1 рублю и четыре монеты по 50 копеек, а в левом - шесть монет по 1 рублю и три монеты по 50 копеек. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана (после перекладывания) монеты в 1 рубль, если монета берется наудачу.
1.10. Вероятность нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равна 0,12. Найти вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
адача 2.
Дискретная случайная величина 
может принимать только два значения 
и 
, причем 
. Известны вероятность 
возможного значения 
, математическое ожидание 
и дисперсия 
. Найти закон распределения этой случайной величины.
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
2.10. 
адача 3.
Случайная величина 
задана функцией распределения (интегральной функцией) 
. Найти плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) 
, математическое ожидание 
и дисперсию 
. Построить графики интегральной и дифференциальной функций:
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
адача 4.
Известны математическое ожидание 
и среднее квадратическое отклонение 
нормально распределенной случайной величины 
. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал 
.
4.1. 
.
4.2. 
.
4.3. 
.
4.4. 
.
4.5. 
.
4.6. 
.
4.7. 
.
4.8. 
.
4.9. 
.
4.10. 
адача 5.
Из генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:
1. Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; найти размах выборки;
По полученному распределению выборки:
2. Построить полигон относительных частот;
3. Построить график эмпирической функции распределения;
4. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;
5. С надежностью 
найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.
5.1. 
| 5,0 | 5,6 | 5,8 | 5,4 | 5,8 | 5,2 | 5,0 | 5,6 |
| 5,6 | 5,6 | 5,4 | 5,2 | 5,4 | 5,8 | 5,4 | 5,6 |
| 5,4 | 5,4 | 5,4 | 5,2 | 5,6 | 6,0 | 5,0 | 5,8 |
| 5,2 | 5,8 | 5,6 | 5,2 | 6,0 | 5,8 | 6,0 | 5,8 |
| 5,4 | 6,2 | 5,6 | 6,2 | 5,6 | 5,6 | 6,0 | 5,2 |
5.2. 
5.3. 
| 7,6 | 7,8 | 7,4 | 7,8 | 7,2 | 7,6 | ||
| 7,6 | 7,6 | 7,4 | 7,2 | 7,4 | 7,8 | 7,4 | 7,6 |
| 7,4 | 7,4 | 7,4 | 7,2 | 7,6 | 7,8 | ||
| 7,2 | 7,8 | 7,6 | 7,2 | 7,8 | 7,8 | ||
| 7,4 | 8,2 | 7,6 | 8,2 | 7,6 | 7,6 | 7,2 |
5.4. 
| 13,1 | 11,1 | 12,1 | 9,1 | 12,2 | 12,1 | 10,1 | 12,1 |
| 15,1 | 11,1 | 13,1 | 14,1 | 13,1 | 11,1 | 11,1 | 12,1 |
| 13,1 | 11,1 | 12,1 | 11,1 | 10,1 | 14,1 | 12,1 | 10,1 |
| 9,1 | 10,1 | 12,1 | 15,1 | 9,1 | 13,1 | 11,1 | 13,1 |
| 12,1 | 12,1 | 14,1 | 11,1 | 10,1 | 14,1 | 12,2 | 12,1 |
5.5. 
| 11,7 | 12,3 | 11,1 | 10,8 | 11,4 | 11,1 | 11,1 | 11,4 |
| 11,4 | 11,4 | 11,7 | 11,1 | 12,3 | 11,1 | 10,5 | |
| 10,8 | 10,5 | 10,8 | 11,1 | 11,7 | 11,7 | ||
| 11,4 | 11,1 | 11,4 | 11,4 | 11,4 | 10,8 | 11,4 | |
| 10,5 | 11,7 | 11,4 | 11,4 | 11,7 | 11,4 | 11,4 | 10,8 |
5.6. 
| 11,6 | 11,8 | 11,4 | 11,8 | 11,2 | 11,6 | ||
| 11,6 | 11,6 | 11,4 | 11,2 | 11,4 | 11,8 | 11,4 | 11,6 |
| 11,4 | 11,4 | 11,4 | 11,2 | 11,6 | 11,8 | ||
| 11,2 | 11,8 | 11,6 | 11,2 | 11,8 | 11,8 | ||
| 11,4 | 12,2 | 11,6 | 12,2 | 11,6 | 11,6 | 11,2 |
5.7. 
| 12,5 | 10,5 | 11,5 | 8,5 | 11,5 | 11,5 | 9,5 | 11,5 |
| 14,5 | 10,5 | 12,5 | 13,5 | 12,5 | 10,5 | 10,5 | 11,5 |
| 12,5 | 10,5 | 11,5 | 10,5 | 9,5 | 13,5 | 11,5 | 9,5 |
| 8,5 | 9,5 | 11,5 | 14,5 | 8,5 | 12,5 | 10,5 | 12,5 |
| 11,5 | 11,5 | 13,5 | 10,5 | 9,5 | 13,5 | 11,5 | 11,5 |
5.8. 
| 12,7 | 13,3 | 12,1 | 11,8 | 12,4 | 12,1 | 12,1 | 12,4 |
| 12,4 | 12,4 | 12,7 | 12,1 | 13,3 | 12,1 | 11,5 | |
| 11,8 | 11,5 | 11,8 | 12,1 | 12,7 | 12,7 | ||
| 12,4 | 12,1 | 12,4 | 12,4 | 12,4 | 11,8 | 12,4 | |
| 11,5 | 12,7 | 12,4 | 12,4 | 12,7 | 12,4 | 12,4 | 11,8 |
5.9. 
| 13,6 | 13,8 | 13,4 | 13,8 | 13,2 | 13,6 | ||
| 13,6 | 13,6 | 13,4 | 13,2 | 13,4 | 13,8 | 13,4 | 13,6 |
| 13,4 | 13,4 | 13,4 | 13,2 | 13,6 | 13,8 | ||
| 13,2 | 13,8 | 13,6 | 13,2 | 13,8 | 13,8 | ||
| 13,4 | 14,2 | 13,6 | 14,2 | 13,6 | 13,6 | 13,2 |
5.10. 
адача 6.
Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы значений 
исследуемого количественного признака 
генеральной совокупности; во второй – частоты 
, т.е. количество элементов выборки, значения 
признака которых принадлежат указанному интервалу). Требуется:
1) Построить полигон относительных накопленных частот (кумулятивную кривую);
2) Построить гистограмму частот и гистограмму относительных частот;
3) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, моду и медиану;
4) Проверить на уровне значимости 
гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;
5) В случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью 
доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака 
генеральной совокупности.
6.1.
| 6,5-7,0 | 7,0-7,5 | 7,5-8,0 | 8,0-8,5 | 8,5-9,0 | 9,0-9,5 | 9,5-10 |
|
6.2.
|
| 0,3-0,4 | 0,4-0,5 | 0,5-0,6 | 0,6-0,7 | 0,7-0,8 | 0,8-0,9 | 0,9-1 |
|
|
6.3.
|
| 3-4 | 4-5 | 5-6 | 6-7 | 7-8 | 8-9 | 9-10 |
|
|
6.4.
| 10-12 | 12-14 | 14-16 | 16-18 | 18-20 | 20-22 | 22-24 |
|
|
6.5.
|
| 0,6-0,9 | 0,9-1,2 | 1,2-1,5 | 1,5-1,8 | 1,8-2,1 | 2,1-2,4 | 2,4-2,7 |
|
|
6.6.
|
| 6,5-7,0 | 7,0-7,5 | 7,5-8,0 | 8,0-8,5 | 8,5-9,0 | 9,0-9,5 | 9,5-10 |
|
|
6.7.
|
| 0,3-0,4 | 0,4-0,5 | 0,5-0,6 | 0,6-0,7 | 0,7-0,8 | 0,8-0,9 | 0,9-1 |
|
|
8.8.
|
| 3-4 | 4-5 | 5-6 | 6-7 | 7-8 | 8-9 | 9-10 |
|
|
6.9.
|
| 0,6-0,95 | 0,95-1,30 | 1,30-1,65 | 1,65-2,00 | 2,00-2,35 | 2,35-2,70 | 2,70-3,05 |
|
|
6.10.
|
| 0,6-0,9 | 0,9-1,2 | 1,2-1,5 | 1,5-1,8 | 1,8-2,1 | 2,1-2,4 | 2,4-2,7 |
|
|
Замечание: При отыскании выборочной средней и выборочной дисперсии в задачах 5 и 6 для упрощения счета рекомендуется переходить к условным вариантам.
Методические указания
Рекомендуемые методические указания по изучению курса «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для студентов очного и заочного отделений.
В начале каждого параграфа указывается литература, которую можно изучить с целью углубления усвоения теоретических положений для применения их в решении задач.
1. Классический способ подсчета вероятностей
Предварительно изучите по учебнику В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: Высшая школа, 2004, глава 1, §1–6.
Некоторые определения и формулы
Определение: Событие называется случайным по отношению к данному испытанию, если при осуществлении этого испытания оно может произойти или не произойти.
Классическое определение вероятности. Если испытание сводится к полной группе равновозможных несовместных событий (классическая схема), то вероятность события А в данном испытании равна отношению числа элементарных исходов благоприятствующих появлению этого события к общему числу элементарных исходов испытания.
Вероятность события обозначают через Р (А). По определению
0Р(А)1 (1)
В формуле (1) m – число всех исходов благоприятствующих появлению событий А, n – общее число исходов испытания.
Задача 1. Брошен наудачу шестигранный игральный кубик. Найти: 1) вероятность появления цифры три на верхней грани игральной кости, 2) вероятность появления четного числа очков.
Решение: Испытание состоит в бросании игрального кубика. Всего шесть элементарных исходов испытания: выпадение цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти исходы являются: несовместными, так как никакие два не произойдут одновременно; равновозможными, так как бросают кубик наудачу (никакой из исходов не имеет предпочтений в появлении перед остальными); перечисленные шесть исходов образуют полную группу событий, так как в результате испытания произойдет хотя бы один из них. Таким образом, имеет место классическая схема.
1. Пусть событие А – появление цифры три на верхней грани кубика. Вероятность этого события можно вычислить по формуле (1), где m=1, а п=6. Следовательно, Р (А) = 
2. Событие В – появление четного числа очков на верхней грани кубика. Вероятность этого события вычислим по той же формуле (1), где m=3, так как событию благоприятствуют исходы: появление цифры 2, цифры 4, цифры 6, а n=6. Следовательно Р(В)= 
= 
.
Задача 2. В группе 25 студентов. Из них по контрольной работе 20 студентов получили хорошие и удовлетворительные оценки, остальные не справились с предложенной работой. Какова вероятность того, что два студента, вызванных к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе.
Решение: Имеет место классическая схема. Испытание состоит в выборе двух студентов из 25 человек. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов выбора из 25 человек двух студентов. В комбинациях из 25 человек по два важен состав, но безразличен порядок. Такие комбинации в комбинаторике называются сочетаниями и их число можно подсчитать по формуле числа сочетаний из n элементов по m:
(2)
Где n=25, m=2 и, следовательно, С225= 
= 
= 
=300.
Пусть событие А – два, вызванных к доске, студента имеют неудовлетворительные оценки. Вероятность этого события подсчитаем по формуле (1). Общее число элементарных исходов испытания подсчитано выше, а число элементарных исходов благоприятствующих появлению события А – число способов выбрать двух студентов имеющих неудовлетворительные оценки из общего числа студентов несправившихся с контрольной работой. Число таких комбинаций подсчитаем по формуле (2), где n=25-20=5, а m=2.
= 
= 
= 
=10. Итак, Р(А)= 
= 
.
еоремы сложения и умножения вероятностей
В.Е. Гмурман. Глава 2, §1-3; глава 3, §1-5; глава 4, §1-3.
Для вычисления вероятностей событий применяются косвенные методы, которые предполагают знание основных теорем теории вероятностей: теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.
Определение: Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В; будем ее обозначать А+В.
Определение: Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий; будем обозначать его АВ.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (3)
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (4)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий ровна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) или Р(АВ)=Р(В)Р(А/В) (5)
Следствие 1 Р(А)+Р()=1 , (6)
А и – противоположные события.
Следствие 2 Р(АВ)=Р(А)Р(В) (7)
А и В – независимые события.