айдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству: .
Решение:
Обозначим через множество, состоящее из точек плоскости, расположенных между прямыми и и содержащих точки самих прямых, через множество, состоящее из точек плоскости, расположенных между прямыми и и содержащих точки самих прямых. Искомое множество находится как пересечение множеств и . На рис. это все внутренние точки прямоугольника, вершинами которого являются точки , стороны прямоугольника принадлежат искомому множеству.
Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
41. |
42. |
Пример выполнения задания
Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:
Решение:
Выясним геометрический смысл разности Известно, что каждому комплексному числу соответствует некоторый радиус-вектор с началом в начале координат и концом в точке с координатами Мы имеем два комплексных числа – искомое , ему соответствует точка с координатами и число с соответствующей точкой с координатами Тем самым определены два вектора и .
Тогда разности комплексных чисел будет соответствовать вектор , имеющий начало в точке и конец в точке . По условию задачи , т.е. длина вектора должна быть больше или равна двум и меньше или равна пяти. Если проведем две окружности с центром в точке и радиусами, равными 2 и 5, то точки искомого множества лежат на этих окружностях и между ними, так как расстояние от точки до этих точек удовлетворяют условию задачи.
Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:
43. |
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
Пример выполнения задания
Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:
Решение:
Пусть некоторая точка принадлежит и соответствует комплексному числу , где . По условию задачи имеем: , . Так как модуль комплексного числа определяет расстояние соответствующей точки от начала координат, то согласно условию задачи все точки, принадлежащие искомому множеству , находятся от начала координат на расстоянии меньше 5, т.е. все они лежат внутри окружности с центром в начале координат радиусом, равным 5.
Известно, что аргумент комплексного числа – это угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором из начала координат в точку, соответствующую данному числу. Поэтому точки искомого множества расположены между лучами, выходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси абсцисс углы, равные и , а также лежащими на этих лучах.
Обозначим через множество а через множество . Тогда искомое множество и представляет собой часть круга (сектор) с центром в начале координат и радиусом, равным 5, расположенную между лучами, исходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси абсцисс углы и . Отрезки лучей принадлежат данному множеству, за исключением начала координат, так как для числа аргумента не существует. Дуга окружно сти также не входит в искомое множество.
Найти значение и чисел , соответствующих точкам, заштрихованной области:
51. | 52. | 53. |
54. | 55. | 56. |
57. | 58. | 59. |
60. |
Пример выполнения задания
Найти значение и чисел , соответствующих точкам, заштрихованной области:
Решение:
Пусть – комплексное число, соответствующее одной из точек заштрихованной области , , где и . Из рис. видно, что и или .
Таким образом, множество точек заштрихованной области соответствует множеству комплексных чисел:
или
Найдите значение и чисел , соответствующих точкам заштрихованной области:
61. | 62. | 63. |
64. | 65. | 66. |
67. | 68. | 69. |
70. | 71. | 72. |
73. | 74. | 75. |
Пример выполнения задания
Найдите значение и чисел , соответствующих точкам заштрихованной области:
Решение:
Обозначим искомое множество через . Пусть – произвольная точка заштрихованной фигуры и – ее декартовы координаты.
Легко заметить, что и . Точке соответствует комплексное число .
Таким образом, множество состоит из комплексных чисел , для которых , , т.е. .
Найдите значения действительных и :
76. |
77. |
78. |
79. |
80. |
81. |
82. |
83. |
84. |
85. |
86. |
87. |
88. |
89. |
90. |
91. |
92. |
93. |
94. |
95. |
96. |
97. |
98. |
99. |
100. |
Пример выполнения задания
Найдите значения действительных и из уравнения
Решение:
В правой части уравнения стоит комплексное число, записанное в алгебраической форме. Преобразуем левую часть уравнения так, чтобы получить алгебраическую форму комплексного числа. Получаем:
На основании условия равенства комплексных чисел в алгебраической форме находим, что искомые числа и являются решением системы линейных уравнений:
Ответ:
Решите систему уравнений:
101. |
102. |
103. |
104. |
105. |
106. |
107. |
108. |
109. |
110. |
111. |
112. |
113. |
114. |
115. |
116. |
117. |
118. |
119. |
120. |
121. |
122. |
123. |
124. |
125. |
Пример выполнения задания
Решите систему уравнений:
Решение:
Так как данная система содержит два уравнения и два неизвестных, то прежде всего найдем значение определителя системы.
Так как определитель , решим систему по правилу Крамера. Для этого найдем значения определителей и :
Ответ:
Найдите значения:
126. | 127. | 128. |
129. | 130. | 131. |
132. | 133. | 134. |
135. | 136. | 137. |
138. | 139. | 140. |
141. | 142. | 143. |
144. | 145. | 146. |
147. | 148. | 149. |
150. |
Пример выполнения задания
Найдите значения:
Решение:
Найдем действительные решения этой системы. Для этого возведем каждое уравнение системы в квадрат и, сложив полученные выражения, найдем,
решениями которой являются числа
Сочетая каждое значение с каждым значением , получаем четыре решения системы: .
Условию удовлетворяют решения:
Ответ:
Решите уравнения в поле комплексных чисел:
1. а) ; б) . |
2. а) ; б) . |
3. а) ; б) . |
4. а) ; б) . |
5. а) ; б) . |
6. а) ; б) . |
7. а) ; б) . |
8. а) ; б) . |
9. а) ; б) . |
10. а) ; б) . |
11. а) ; б) . |
12. а) ; б) . |
13. а) ; б) . |
14. а) ; б) . |
15. а) ; б) . |
16. а) 196 ; б) . |
17. а) ; б) . |
18. а) ; б) . |
19. а) ; б) . |
20. а) ; б) . |
21. а) ; б) . |
22. а) ; б) . |
23. а) ; б) . |
24. а) ; б) . |
25. а) ; б) . |
Пример выполнения задания
Решите уравнения в поле комплексных чисел:
а) ; б)
Решение:
а) Пользуясь общей формулой корней квадратного уравнения имеем:
б) Пользуясь общей формулой корней квадратного уравнения имеем:
Дополнительно получаем: . Решениями системы
являются пары чисел:
Среди них находим числа, удовлетворяющие уравнению :
Ответ: а) б)
Вычислите:
151. | 152. | 153. |
154. | 155. | 156. |
157. | 158. | 159. |
160. | 161. | 162. |
163. | 164. | 165. |
166. | 167. | 168. |
169. | 170. | 171. |
172. | 173. | 174. |
175. |
Пример выполнения задания
Вычислите:
Решение:
Данная дробь представляет отношение степеней двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме:
и При решении задачи удобнее пользоваться тригонометрической формой записи комплексных чисел. Представим число в
тригонометрической форме: , где Для нахождения аргумента числа найдем сначала
Ответ:
Найдите значения:
176. | 177. | 178. |
179. | 180. | 181. |
182. | 183. | 184. |
185. | 186. | 187. |
188. | 189. | 190. |
191. | 192. | 193. |
194. | 195. | 196. |
197. | 198. | 199. |
200. |
Пример выполнения задания
Найдите значения:
Решение:
Ответ:
риложение 1
Номера контрольных заданий по вариантам
№ варианта | № заданий | |||||||